Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский Государственный Технический Университет им. П.О. Сухого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

СММиФ заоч

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

746.52 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

№

z −1

−

( 1)

z +1

(z −1)2

z(z + 1)

(z −1)3

z − a

nan−1

(z −a)2

Cnk

(z −1)k +1

an sin nτ

azsin τ

z2 −2az cosτ+a2

an cos nτ

z(z − a cos τ)

z2 − 2az cos τ+ a2

an sh nτ

az sh τ

z2 − 2az ch τ+ a2

an ch nτ

z(z −a ch τ)

z2 −2az ch τ+ a2

T (x)

= cos(n arccos x)

z(z − x)

z2 −2xz +1

ea / z

Некоторые свойства z-преобразования

I. Линейность.

Если

F* (z) и gn

G* (z), то для любых ком-

плексных постоянных α и β

αf (n) +βg(n) αF* (n)+βG* (n).

II. Теорема запаздывания (первая теорема смещения).

Если fn		F* (z), то для любого целого k > 0 справедливо пре-

образование
	31

fn−k z−k F* (z), k = 1,2,...

III. Теорема опережения (вторая теорема смещения).

Если fn F* (z), то для любого целого k > 0 справедливо пре-

образование			k −1

fn+k	zk	F* (z)− ∑ fm z−m		.

			m=0

IV. Изображение суммы.

	n−1	1
Если fn	F* (z), то ∑ fm		F * (z).

		z −1
	m=0

Для того, чтобы по известному изображению F* (z) найти оригинал fn можно:

1)воспользоваться таблицей, после разбиения дроби F* (z) на сумму простейших дробей;

2)в случае, когда F* (z) есть правильная рациональная дробь отно-

сительно z ,	функцию fn можно найти по формуле
		k
	fn = ∑ res(F * (z)zn−1 ),
	i=1 zi
где сумма берется по всем полюсам функции F* (z).
	Решение разностных уравнений
Разностью первого порядка решетчатой функции fn							называется
величина, обозначаемая как		fn , и равная		fn = fn+1 − fn .
Разностью второго порядка			2 fn называется величина, опреде-
ляемая как	2 fn = fn+1 − fn .	k fn называется величина
Разностью k -го порядка		k fn называется величина
	k fn = k −1 fn+1 − k −1 fn .
	k					k!
k fn = ∑(−1)m Ckm fn+k −m ,			где	Ckm =		k!		.
k fn = ∑(−1)m Ckm fn+k −m ,			где	Ckm =	m!(k − m)!			.
	m=0				m!(k − m)!

ТЕОРЕМА (о z -преобразовании разности). Пусть fn F* (z). Тогда z -преобразование разностей равны

fn = fn+1 (z −1)F* (z)− zf0 ,

( ) ( ) k−1 ( ) − − ( )

k fn = fn+k z −1 k F* z − z ∑ z −1 k m 1 m f0 .

m=0

Уравнение вида

F(n, fn , fn+1,..., fn+ k ) = 0,

где f (n) ≡ fn – решетчатая функция, называется разностным уравнением k -го порядка.

Замечание. Далее в задачах для решетчатой функции будет использоваться обозначение xn ( fn ≡ xn ).

Рассмотрим процедуру решения линейного неоднородного раз-

ностного уравнения:

a0 xn+k

+ a1xn+k−1 +... + ak xn =ϕ(n) .

1) Применяем к обеим частям уравнения дискретное преобразо-

вание Лапласа

X * (z),

ϕ(n)

Φ* (z)

и, учитывая, что

xn+1

z(X * (z)− x0 )− z ,

n+ 2

z2 (X * (z) − x

− x z−1 ),

. . .

получим линейное алгебраическое уравнение относительно изображения X * (z).

2) Разрешив полученное уравнение относительно X * (z), возвращаемся назад к оригиналу – последовательности. Общее решение будет содержать неопределенные константы x0 , x1,…xk−1 , которые фиксируются, исходя из начальных условий.

Решение типовых задач

Пример 1. Пользуясь определением, найти изображение F* (z) для функции fn = eαn .

Решение.

F * (z) = ∑ eαn z−n = ∑ (eα z−1 )n =

1 = z

при z > eReα . ▲

∞

n=0

−

eα

z − eα

найти изображение F* (z)

Пример 2. Пользуясь определением,

для функции fn

= sin n.

Решение.

sin n = ein −e−in

Тогда

sin n

∞

; ein

∑ (z−1ei )n =

;

e−in

1 − z

−1

z −e

z − e

−i

n=0

1	z

		i
2i z −e

−	z		=

	z −e	−i
	z −e


z	ei −e−i		z sin1
	(z −ei )(z −e−i ) =				.
2i			z2 + 2z cos1+1
Ответ: sin n			z sin1	. ▲
		z2 + 2z cos1+1

Пример 3. Найти оригинал для изображения F* (z) =

3z2 − z

Решение.

(z +1)4

Точка z0 = −1 является полюсом четвертого порядка для функ-

ции F* (z). Тогда оригинал

= res

F (z)zn−1 = res

(3z2 − z)zn−1

= res

3zn+1 − zn

(z +1)4

z0 =−1

(z +1)4

d 3

3zn+1 − zn

n+1

′′′

lim

4 (z +1)

lim (3z

− z

)

(z +1)

3! z →−1 dz

6 z →−1

lim (3(n +1)zn − nzn−1)′′ =

lim (3(n +1)nzn−1 − n(n −1)zn−2 )′ =

6 z →−1

lim n(n −1) (3(n +1)zn−2 −(n − 2)zn−3 )=

(−1)n

n(n −1) (4n +1).

6 z →−1

Ответ:

(−1)n

n(n −1)(4n +1). ▲

Пример 4. Найти оригинал для изображения F * (z) =					z	.
Пример 4. Найти оригинал для изображения F * (z) =					(z −1)(z − 2)2	.
		Решение.			(z −1)(z − 2)2
		Решение.
Вынесем z в числителе изображения F* (z) за скобки:
			1
F	*

		(z) = z	(z −1)(z − 2)	2
			(z −1)(z − 2)

и разобьем дробь в скобках на сумму простейших дробей:

(z −1)(z −

2)2

z −

(z − 2)2

A(z − 2)

2 + B(z −1)(z − 2) + C(z −1)

(z −1)(z − 2)2

После чего приравняем числители начальной и конечной дроби: 1 = A(z −2)2 + B(z −1)(z − 2) +C(z −1).

Подставляя в полученное равенство различные значения переменной

z , найдем неизвестные коэффициенты A, B, C :

z = 2 :

1 = C;

z =1:

1 = A;

z = 0 : 1 = 4A + 2B −C, B = −1.

Тогда

(z) = z

−

z − 2

(z − 2)

z −1

z − 2

(z −

z −1

Оригинал находим из таблицы:

fn =1 − 2n + n 2n−1.

Ответ:

fn =1−2n +n 2n−1. ▲

Пример 5. С помощью дискретного преобразования Лапласа решить линейное разностное уравнение

xn+2 −6xn+1 +9xn = 0; x0 =1, x1 = −1.

Решение.

Способ 1. Пусть xn X * (z), тогда

xn+1 z(X * (z)− x0 )= z(X * (z) −1)= zX * (z)− z ,

xn+2 z2 (X * (z) − x0 − x1z−1 )= z2 X * (z)− z2 + z .

Применяя к обеим частям уравнения дискретное преобразование Лапласа, получим операторное уравнение

z2 X * (z)− z2 + z −6zX * (z) + 6z +9X * (z) = 0 ,

откуда

(z −3)2 X * (z) − z2 + 7z = 0 .

Выразим функцию X * (z):

X * (z) =

z(z −3) − 4z

− 4

z −3

(z −

3)2

(z −3)2

Так как

3n ,

n3n ;

то

z −3

(z −3)2

xn = 3n − 4n3n−1 = 3n−1 (3 − 4n) .

Способ 2. Используем для определения функции xn

формулу:

n−1

−7z n−1

n+1

−7z

xn = ∑ res(X

(z)z

2 z

(z −3)

)= res

−3)

= lim

(z −3)

i=1

z=3

z→3

lim ((n +1)zn − 7nzn−1 )= n3n + 3n − 7n3n−1 = 3n−1 (3 − 4n) .

z→3

Ответ: xn = 3n−1 (3 − 4n) . ▲

Пример 6. С помощью дискретного преобразования Лапласа решить линейное разностное уравнение

x	n+2	− 4x	n+1	+ 4x	n	= 5n ,	x = 0, x = 1.
	n+2		n+1		n		0	1

Решение. Способ 1. Пусть xn X * (z), тогда

n+1

z(X * (z)− x

n+2

z2 (X * (z)− x − x z−1 ), 5n

z −5

Имеем

z2 X * (z)− z − 4zX * (z)+ 4X * (z) =

z −

(z) =

z2 − 4z

(z − 2) X

(z)− z =

z −5

(z −5)(z − 2)2

Разложим функцию X * (z) на слагаемые следующим образом

z2 − 4z

= z

z − 4

1 z

−

1 z

(z −5)(z − 2)2

z −5

z − 2

(z − 2)2

Так как

2n ,

n 2n−1

5n , то

− 2

− 2)2

z −5

xn =

(5n − 2n )+

n 2n−1.

Способ 2. Используем для определения функции xn

формулу

n−1

n+1

− 4z

n+1

− 4z

xn = ∑ res(X

(z)z

)= res

(z − 5)(z

−

+ res

(z − 5)(z

−

i=1

z=2

z=5

zn+1 − 4zn

=lim

(z − 2)

−

2 (z

− 5)(z − 2)

+ lim

(z −

5)(z − 2)

z→2

z→5

=lim

((n +1)zn − 4nzn−1 )(z −5) −

(zn+1 − 4zn )

5n+1 − 4

(z −5)

z→2

((n + 1)2n − 4n2n−1 )(−3) − (2n+1 − 4 2n )+

(5n − 2n )

n 2n−1.

Ответ: xn =

(5n − 2n )

n 2n−1.▲

Пример 7. С помощью дискретного преобразования Лапласа решить линейное разностное уравнение

x	n+2	− 5x	n+1	+ 6x	n	= 3n ,	x = 1, x = 0.
	n+2		n+1		n		0	1

Решение.

Способ 1. Пусть xn X * (z), тогда

n+1

z(X *

(z)− x

)= zX * (z)− z ,

z2 (X *

(z)− x − x z−1 )= z2 X * (z)

− z2 ,

n+2

z −3

Подставляем в уравнение:

z2 X * (z)− z2 −5zX

* (z)+ 5z + 6 X * (z) =

z −3

(z2 −5z + 6)X * (z) =

+ z2 −5z

X * (z) =

z3 −8z2 +16z

−3

(z − 2)(z −3)2

Разложим функцию X * (z) на слагаемые следующим образом

z3 −8z2 +16z

= z

z2 −8z +16

−3z

(z − 2)(z −3)2

z −3

(z −3)2

z − 2

Из таблиц находим оригинал:

= −3n +1 + n 3n −1 + 4 2n.

Способ 2. Используем для определения функции xn

формулу

(z − 4)

−

xn = ∑ res(X

(z)z

n−1

)= res

+ res

(z −

2)(z −

i =1 zi

z =3 (z − 2)(z −

z =2

(z − 4)2 zn

= lim

(z − 2)(z −3)

2 (z −3)

+ lim

− 2)(z −3)

2 (z − 2)

z→3 dz

z→2

=lim (2(z − 4)zn + (z − 4)2 nzn−1)(z − 2) − (z − 4)2 zn + 4 2n =

→3 − 2)2(z 1z

=	2(−1)3n + n3n−1	−3n	+	4	2n	= −3n+1	+ n 3n−1 + 4 2n.
=	1		+		1	= −3n+1	+ n 3n−1 + 4 2n.
	1				1
				Ответ: xn			= −3n +1 + n 3n −1 + 4 2n.▲

ЗАДАНИЯ.

1. Пользуясь определением, найти изображение F* (z) для сле-

дующих функций:

a) fn = e−n . б) fn = eαn .

в) fn = n2 .

2. Найти оригиналы для следующих изображений:

а) F (z) =	z	.	б) F (z) =	z	.
	(z −3)2
				z2 +1

3. С помощью дискретного преобразования Лапласа решить линейное разностное уравнение

n+2

−8x

n+1

+16x

= 2n , x

=1, x =1.

n+2

− 2x

n+1

+ x

= 4n , x

=1, x = 0.

= 3n

n+2

− 6x

n+1

+ 5x

, x

=1, x =1.

xn+2 + 4xn+1 + 3xn = n, x0 = 1, x1 = 1.

n+2

−5x

n+1

+ 6x

= 8n

, x

= 0, x =1.

n+2

− 2x

n+1

= 5n , x

=1, x = 0.

n+2

− 6x

n+1

+ 5x

= (−1)n , x

= 0, x = −1.

n+2

− 4x

= 5n , x

= −1, x = 2.

xn+2 +8xn+1 +16xn = 3, x0 = 1, x1 = 0.

10.

n+2

− 2x

n+1

+ x

= 6n ,

= 0,

x = 0.

11.

n+2

+ x

= (−1)n , x

=1,

=1.

12.

xn+2 − 4xn+1 + 3xn

= n,

= 0,

x1 = 0.

13.

xn+2 −6xn+1 + 8xn

= 2,

= 0,

x1 = 1.

8. Вариационное исчисление

Определение. Если каждой функции y(x) из некоторого множе-

ства поставлено в соответствие некоторое число J, то говорят, что на этом множестве задан функционал J ( y) = J[ y] .

Приведем примеры функционалов:

1. Длина плоской кривой, заданной уравнением y = y(x) , a ≤ x ≤ b :

J[ y] = ∫ 1 + y′2 (x)dx .

2.Стоимость проезда по дорогам, имеющим вид кривых, соединяющих пункты А и В.

Простейшая задача вариационного исчисления ставится так:

среди всех функций

y(x) , найти ту,

которая доставляет экстремум

функционалу J[ y] . Эта кривая удовлетворяет уравнению Эйлера

(a, A)

(b, B)

Fy −

Fy′ = 0,

y(a) = A,

y(b) = B.

∂F

(Здесь Fy =

;

Fy′ =

∂y

∂y′

Данная краевая задача может иметь единственное решение, может иметь множество решений или не иметь ни одного.

Решение типовых задач

Пример 1. Найти экстремали функционала

0
J ( y) = ∫ ( y′2 + 2 yy′+ y2 )dx ,					y(1) =1, y(2) = 0 .
1
Решение.
′			′2	+	2 yy	′	+ y	2	.
F (x, y, y ) = y				+	2 yy		+ y		.
Найдем частные производные функции F (x, y, y ) :
									′
Fy = 2 y′+ 2 y , Fy′ = 2 y′+ 2 y .
Уравнение Эйлера примет вид
2 y′+ 2 y −	d	(2 y′+ 2 y) = 0 ,
2 y′+ 2 y −	dx	(2 y′+ 2 y) = 0 ,
2 y′+ 2 y − 2 y′′− 2 y′ = 0					или		y′′− y = 0 .
40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.09.2019252.42 Кб13Связь между этносом и группами крови.doc
#
11.08.201927.85 Mб1Семейство членистоног..doc
#
19.09.20192.19 Mб12Сетевые технологии2.doc
#
25.09.2019196.61 Кб9Системы, основанные на знаниях.doc
#
15.04.2015361.44 Кб23словарь форм воспитательной работы.doc
#
21.03.2016746.52 Кб44СММиФ заоч.pdf
#
15.04.2015211.46 Кб34Содержание вопросов по менеджменту.doc
#
15.04.201554.75 Кб19Содержание.docx
#
03.09.20192.4 Mб5Создание WEB-СТРАНИЦ СРЕДСТВАМИ FRONTPAGE.doc
#
01.08.2019121.34 Кб3Создание и редактирование.doc
#
15.04.2015404.22 Кб11Списки на заселение в общежитие ФАИС 2014.pdf