СММиФ заоч

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский Государственный Технический Университет им. П.О. Сухого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

или (λ + 2)(λ2 −12λ +32) = 0 .

Корнями этого уравнения являются λ1 = 8 , λ2 = 4, λ3 = −2 .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

746.52 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

3. Нормированные линейные пространства. Евклидовы пространства. Ортогональные системы векторов

Нормой элемента f линейного пространства V называется действительное число f , удовлетворяющее следующим условиям:

1) f = 0 f = 0 ;

2) λf = λ f для λ R(C ) ;

3) f + g ≤ f + g для f , g V .

Нормированным линейным пространством называется линейное пространство с введенной в ней нормой • .

Всякое нормированное пространство является метрическим. Метрика вводится по формуле

ρ( f , g ) = f − g .

Таблица основных нормированных пространств

Обозначение

Элементы

Формулы

пространства

пространств

для норм

x = (x1, x2 ,…, xn )

R2n

= ∑ xk2

k =1

x = (x1, x2 ,…, xn )

= ∑

k =1

x = (x , x

,…, x

)

= max

∞

x = (x1, x2 ,…, xn ,…,),

∞

R2∞

∞

= ∑ xk2

∑ xk

< ∞

k =1

x = (x1, x2 ,…, xn ,…,),

∞

R∞

∞

< ∞

= ∑

∑

k =1

∞

x = (x1, x2 ,…, xn ,…,),

= sup

R∞

≤ M

C2 [a,b]

непрерывная

(x)dx

= ∫

на [a, b] функции

C1[a, b]

непрерывная

f (x)

= ∫

на [a, b] функции

C[a, b]

непрерывная

= max

f (x)

, x [a, b]

на [a, b] функции

[a,b]

непрерывная вместе

= max

f (k ) (x)

[a, b]

со своими производ-

[a,b]

ными до n-го порядка

k = 1,n

функция

Пусть V – действительное линейное пространство. Скалярным произведением называется функционал, удовлетворяющий следующим свойствам:

1.x V (x, x) ≥ 0, причем (x, x) = 0 x = 0 ;

2.(x + y, z) = (x, z) + ( y, z) ;

3.(x, y) = ( y, x) ;

4. (λx, y) = λ(x, y) , x, y, z V и λ R .

Линейное пространство V, наделенное скалярным произведени-

ем называется евклидовым пространством.

Всякое евклидово пространство является нормированным с нормой: x = (x, x) . Например:

1)	Для	точек пространства Rn	x = (x1, x2 ,..., xn )	и
y = ( y1, y2 ,..., yn )		скалярное произведение	можно определить	как
(x, y) = x1 y1 + + x2 y2 + ... + xn yn .
2)	Для функций, непрерывных на [a, b], скалярное произведение

вводится по формуле

( f , g) = ∫ f (x) g(x)dx .

Два элемента х и у евклидова пространства Е называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.

Система ненулевых векторов s = {x1, x2 ,..., xn} E называется

ортонормированной, если

1)все векторы системы взаимно ортогональны друг другу, т.е.

(xi , x j ) = 0 , i ≠ j .

2)нормы их равны 1, т.е. xk = 1, k = 1,..., n .

Решение типовых задач

Пример 1. В пространстве многочленов степени не выше 2 со

скалярным произведением ( p, q) = ∫ p(t)q(t)dt проверить, образует ли

−1

−

ортогональный базис система многочленов

1; 2t; t

. Найти нор-

му g2 = 2t .

Решение.

Пусть g = 1, g

2t, g

= t2

−

(g1, g2 ) = ∫1 2t dt = t

= 1 − (−1)2 = 0 g1 g2 .

−1

1 2

(g1, g3 ) = ∫1 t −

dt =

−

= 0

g1 g3.

−1

2t4

(g2 , g3 ) = ∫ 2t t

−

dt =

−

= 0 g2 g3.

−1

4t3

(g2 , g2 ) = ∫(2t)

= (g2 , g2 ) =

−1

Ответ: система многочленов является ортогональной и g2 = 83 . ▲

Пример 2. Исходя из системы векторов арифметического пространства, с заданным скалярным произведением, с помощью процесса ортогонализации построить ортонормированный базис

					a = (1,0,1) , b = (2,1,0) , c = (0,1,1) ,
				(x, y) = 2x1 y1 + x2 y2 − x1 y2 − y1x2 + x3 y3 .
					Решение.
1)	Проверим, является ли система векторов {a, b, c} линейно-
независимой. Для этого рассмотрим равенство α1a +α2b +α3c = 0 .
Так как		1	2	0	= 3 ≠ 0 , все α1 =α2 =α3 = 0 , следовательно, система
		1	2	0
		0	1	1
		1	0	1

векторов линейно независима и образует базис.

2) Составим ортогональную систему векторов { f1, f2 , f3} сле-

дующим образом.																				(b, f1 )
Пусть			f	= a	,	f	2	= b + λ f				, где λ = −								(b, f1 )					.
Пусть			f	= a	,	f		= b + λ f				, где λ = −													.
			1								1									( f1, f1 )
																				( f1, f1 )
				(b, f1) = 2 2 1 +1 0 − 2 0 −1 1 + 0 1 = 3,
				( f1, f1 ) = 2 1 1 + 0 0 +1 1 − 2 1 0 = 3,
											λ = −		3		= −1.
											λ = −		3		= −1.
													3
Тогда			f2	= (2,1,0) + (−1) (1,0,1) = (2,1,0) + (−1,0,−1) = (1,1,−1) .
Проверка ортогональности векторов																f1 и f2 :
				( f1, f2 ) = 2 1 1 + 0 1 −1 −1 = 0 f1 f2 ,
f	3	= c + λ			f	+ λ			f	2	, где		λ			= −			(c, f1 )			,		λ			2	= −			(c, f2 )				,
f		= c + λ			f	+ λ			f		, где		λ			= −						,		λ				= −							,
				1	1			2					1					( f1, f1 )													( f2 , f2 )
																		( f1, f1 )													( f2 , f2 )
				(c, f1 ) = 2 0 1 +1 0 +1 1 −0 0 −1 1 = 0 ,
											λ = −			0		= 0 ,
											λ = −					= 0 ,
											1		3
			(c, f2 ) = 2 0 1 +1 1 + (−1) 1 −0 1 −1 1 = −1,
			( f2 , f2 ) = 2 1 1 +1 1 + (−1) (−1) −1 1 −1 1 = 2,
											λ2 = −		−1 =				1		,
											λ2 = −		−1 =						,
									1				2			2				1			1						1			1		3		1
f3 = (0,1,1) + 0									1											1			1						1			1		3		1
					(1,0,1) +						(1,1,−1)		=			(0,1,1) +					,					,−				=			,		,		.
					(1,0,1) +				2		(1,1,−1)		=			(0,1,1) +					,		2			,−				=			,	2	,	2	.
									2											2			2						2			2		2		2
												14

Проверка на ортогональность:


( f2 , f3 ) = 2		1	+ 0 +		1	−		3	− 0 = 0 f2 f3 ,
( f2 , f3 ) = 2	2		+ 0 +		2	−		2	− 0 = 0 f2 f3 ,
	2				2			2
( f1, f3 ) = 2 1	1		+ 1	3	−		1	−		3	−	1	= 0 f1 f3 .
( f1, f3 ) = 2 1	2		+ 1	2	−	2		−	2		−	2	= 0 f1 f3 .
	2			2		2			2			2

Итак, получили систему ортогональных векторов. Пронормируем полученные векторы:

		e1	=	1				f1 =			1		(1,0,1) =							1			,0,			1		,

				( f1	,	f1 )						3
				( f1	,	f1 )						3								3						3
				1						1										1				1				1
e2	=						f2		=			(1,1,−1) =										,				,−						,
e2	=		( f2 , f2 )				f2		=	2		(1,1,−1) =										,			2	,−						,
			( f2 , f2 )							2									2						2				2
			1							1				1		3		1					1			3				1
e3 =						f3	=								,		,				=				,		,						.
e3 =		( f3 , f3 )				f3	=			6 / 4				2	,	2	,				=		6		,	6	,						.
		( f3 , f3 )								6 / 4				2		2		2					6			6					6

Искомая ортонормированная система векторов:

e1 = 13 ,0, 13 ; e2 = 12 , 12 ,− 12 ; e3 = 16 , 36 , 16 . ▲

Замечание: В случае, когда исходная система векторов задана в ортонормированном базисе, скалярное произведение вычисляется следующим образом:

(x, y) =x1y1 + x2 y2 + x3 y3 .

Пример 3. В пространстве многочленов степени не выше 2 со

скалярным произведением ( p, q) = ∫ p(t)q(t)dt построить ортогональ-

−1

ный базис, применив процесс ортогонализации к системе многочле-

нов {1;2t −3;t2 +1}.

Решение.

Пусть g

=1, g

= 2t −3,

= t2

+1. Положим

(g2 , f1 )

f =1;

= g

+ λ f

, где λ = −

( f1, f1 )

1−1 =1 −(−1) = 2 .

( f1, f1 ) = ∫1

dt = t

−1

		1																															1
(g2 , f1 ) = ∫ (2t −3) 1dt												= (t2 −3t)																					1					=12 −3 1 −((−1)2 −3 (−1)) = −6 .
		−1									− 6																							−1
																																		−1

					λ = −															= 3;												f2 = 2t −3 +3 = 2t .
					λ = −								2							= 3;												f2 = 2t −3 +3 = 2t .
													2																			1
						1																		t	2
						1																			2
		( f1, f2 ) =				∫1 2tdt = 2																															=1 −(−1)2																						= 0 f1 f2 .
		( f1, f2 ) =				∫1 2tdt = 2																															=1 −(−1)2																						= 0 f1 f2 .
						−1															2											−1
						−1																										−1																(g3 , f1 )																									(g3 , f2 )
f	3	= g	3	+ λ	f		+ λ f												2		, где														λ					= −								(g3 , f1 )													, λ				2	= −							(g3 , f2 )							.
f		= g		+ λ	f		+ λ f														, где														λ					= −																					, λ					= −														.
				1		1				2																											1												( f1, f1 )																								( f2 , f2 )
																																																	( f1, f1 )																								( f2 , f2 )
				1			2																								3												1										1											(−1)						3
				1																											3												1																											3
		(g3 , f1 ) = ∫			(t																						t									+ t													=							+ 1					−													−

								+ 1) 1dt =																				3																									3													3											1 =
				−1																								3															−1										3													3
																					1															1							−1							8
															=						1		+ 1						+							1				+ 1 =										8		.
															=								+ 1						+						3					+ 1 =												.
																					3														3														3
				1		2															1																3																									4					2t			2						1
				1																	1																																									4								2						1
(g3 , f2 ) = ∫ (t							+ 1)				2tdt = ∫																	(2t												+ 2t)dt =																			2t					+													= 0 .
(g3 , f2 ) = ∫ (t							+ 1)				2tdt = ∫																	(2t												+ 2t)dt =																				4				+			2										= 0 .
				−1																				−1																																				4							2									−1
																													4t							3			1																																					−1
									1																																						4																									8
									1
				( f2 , f2 ) =					∫ 2t 2tdt =																																	=									(13							−(−1)3 ) =																	.
				( f2 , f2 ) =					∫ 2t 2tdt =																						3											=			3						(13							−(−1)3 ) =																	.
									−1																						3									−1					3																										3
Тогда									−1										8																					−1
Тогда
																												4																										0
							λ = −											3				= −						4						;						λ		2				= −								0			= 0
																		3

									1										2									3																											8
																			2									3																											8
																4																																							3				4									1
				f3 = t2 + 1							−					4				1 + 0									2t = t2 + 1 −																														4	= t2 −								1		.
				f3 = t2 + 1							−				3					1 + 0									2t = t2 + 1 −																														3	= t2 −										.
															3																																												3							3
Проверка на ортогональность:																																														1
				1				2			1															t			3											1																1
				1																									3
( f1, f3 ) = ∫1									−																										−																=								(1 + 1						− (1 + 1)) = 0 .
						t
						t									dt =										3															3	t															3
				−1								3													3															3						−1										3
																																														−1																			4						2						1
				1										1																	1													t																									t
				1																											1
									2																															3																							t
( f2 , f3 ) = ∫ 2t							t			−							dt = 2 ∫																		t						−								dt = 2																	−											= 0 .
( f2 , f3 ) = ∫ 2t							t			−							dt = 2 ∫																		t						−			3					dt = 2																	−				3							= 0 .
				−1										3																−1														3																	4									3							−1
																																																													4																−1
Искомая ортогональная система:																																f			1		= 1,												f		2		= 2t							,			f	3		= t2								−				1	.
Искомая ортогональная система:																																f					= 1,												f				= 2t							,			f			= t2								−					.
																																																																													3
																																																																													3
																															16

Ответ:	f =1,	f	2	= 2t ,	f	3	= t2	−	1	. ▲

	1							3

ЗАДАНИЯ

1.Проверить, образует ли система векторов ортогональный базис, если (x, y) =x1y1 + x2 y2 + x3 y3 . Найти нормы векторов.

a)a = (1,1,−1) , b = (−4,0,5) , c = (3,−1,−4) ,

b)a = (1,1,2) , b = (−1,0,2) , c = (0,−1,−4).

2.В пространстве многочленов степени не выше 2 со скалярным

произведением ( p, q) = ∫ p(t)q(t)dt проверить, образует ли ортого-

−1

нальный базис система многочленов {1; t; 6t2 − 2}. Найти норму g3 = 6t2 − 2. Найти нормы векторов.

3. Система векторов задана в ортонормированном базисе евклидова пространства своими координатами. При помощи процесса ортогонализации построить ортонормированный базис.


a)	a = (1,1,−1) ,	b = (−4,0,5) ,	c = (−8,2,0) .
b)	a = (3,−1,−2) ,	b = (4,0,−1) ,		c = (5,1,0) .
c)	a = (1,0,−1) ,	b = (3,1,0) ,	c = (4,1,2) .

4. Исходя из системы векторов арифметического пространства, с заданным скалярным произведением, с помощью процесса ортогонализации построить ортонормированный базис.

a)	a = (2,1,1) ,	b = (0,1,−2) ,	c = (−1,1,3) ,
(x, y) = x1 y1 − 2x1 y2 − 2x2 y1 +5x2 y2 .
b)	a = (1,3,−1) ,	b = (1,0,2) ,	c = (−1,2,1),

(x, y) = 4 x1 y1 − 2x1 y2 − 2x2 y1 + 4x2 y2 .

5. В пространстве многочленов степени не выше 2 со скалярным

произведением ( p, q) = ∫ p(t)q(t)dt построить ортогональный базис,

−1

применив процесс ортогонализации к системе многочленов: a) {1, t + 2, 2t2 }.

b){1, 2t +1, t2 +1}.

c){1, 2t +3, 2t2 −1}.

d){1, 3t −1, t2 + 2}.

4. Линейные операторы

Определение: Пусть V и W два линейных пространства. Тогда всякое отображение А, сопоставляющее каждому элементу f V

единственный элемент g = Af W , называется оператором, дейст-

вующим из V в W.

Оператор А называется линейным, если

1.A(x + y) = Ax + Ay для любых x, y V

2.A(λx) = λAx для любых x V , λ R .

Пусть E – комплексное векторное пространство.

Определение: Комплексное число λ называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой элемент u E , такой, что

Au = λu .

(1)

Всякий вектор u , удовлетворяющий соотношению (1) называется собственным вектором оператора А, соответствующим собственному значению λ .

В конечномерных пространствах всякий линейный оператор задается матрицей. При этом уравнение (1) эквивалентно системе ли-

нейных уравнений
( A − λI )u = 0 ,	(2)

где I – единичная матрица.

Для того, чтобы система (2) имела ненулевые решения, она должна быть вырожденной, а значит,

det( A − λI ) = 0 .

(3)

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением и

имеет n корней.

Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение, но существует бесконечное множество векторов для заданного собственного значения.

Решение типовых задач

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей А:

	6	0	2
A =		− 2
A =	0	− 2	0 .
		0
	2	0	6

Решение.

Найдем собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение det( A − λI ) = 0 имеет вид

чим через (α1,α2 ,α3 ) координаты собственного вектора u1 с собст-

венным значением			λ1 = 8 . Тогда из системы (2)
6 − 8		0		2	α1		0	− 2α1 + 2α3 = 0,
	0	− 2 − 8		0
					α2		= 0	или −10α2 = 0,
	2	0	6 −		α
								2α1 − 2α3 = 0.
					8 3		0
Решив эту систему,				получим α1 =α3 = c , c R , α2 = 0 . Таким
образом, собственный вектор u1 = (c,0, c) , c R , c ≠ 0 .
Аналогично находим собственные векторы u2 = (t,0,−t) , t R ,
t ≠ 0 и u3	= (0, l,0) ,		l R матрицы А с собственными значениями
λ2 = 4 и λ3 = −2 .			Ответ: Множество собственных векторов:

			u1 = (c,0, c) , u2				= (t,0,−t) , u3 = (0, l,0) , c, t, l R . ▲
						19

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей А:

					2	0	0
			A =		4	3	−1 .

				−1		−1	3
				−1		−1	3

				Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид:
	2 − λ	0	0			(2 −λ)(λ2 −6λ +8) = 0 .
	2 − λ	0	0
	4	3 − λ	−1		или
	−1	−1	3 − λ

Корнями этого уравнения являются λ1,2 = 2 кратности m = 2 и

λ3 = 4 .

Найдем собственный вектор u1 = (α1,α2 ,α3 ) с собственным значением λ1,2 = 2 . Система (2) примет вид:

0 α1

4α1

+α2 −α3 =

−1 α2

0 или

−α2 +α3 = 0.

−α1

−1

Решив эту систему,

получим α1 = 0 , α2 =α3 = c,

c R . Тогда

собственный вектор u1 = (0, c, c) , c R , c ≠ 0 .

При λ3 = 4 система (2) примет вид

− 2α1 = 0

−α2 −α3 = 0

− 4α1

−α1 −α2 −α3 = 0.

Откуда находим, что α1 = 0 ,

α2 = k , α3 = −k , k R и собствен-

ный вектор u2

= (0, k,−k)

k R .

Ответ: Множество собственных векторов:

u1 = (0, c, c) , u2

= (0, k,−k) ,

c, k R . ▲

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.09.2019252.42 Кб13Связь между этносом и группами крови.doc
#
11.08.201927.85 Mб1Семейство членистоног..doc
#
19.09.20192.19 Mб12Сетевые технологии2.doc
#
25.09.2019196.61 Кб9Системы, основанные на знаниях.doc
#
15.04.2015361.44 Кб23словарь форм воспитательной работы.doc
#
21.03.2016746.52 Кб44СММиФ заоч.pdf
#
15.04.2015211.46 Кб34Содержание вопросов по менеджменту.doc
#
15.04.201554.75 Кб19Содержание.docx
#
03.09.20192.4 Mб5Создание WEB-СТРАНИЦ СРЕДСТВАМИ FRONTPAGE.doc
#
01.08.2019121.34 Кб3Создание и редактирование.doc
#
15.04.2015404.22 Кб11Списки на заселение в общежитие ФАИС 2014.pdf