Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

 

Даны две плоскости, заданные общими уравнениями:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Они имеют нормальные векторы:

₁(A₁, B₁, C₁),

₂(A₂, B₂, C₂).

1. Если плоскости параллельны, то векторы нормалей коллинеарны.

 - условие параллельности плоскостей.

2. Если плоскости перпендикулярны, то векторы нормалей ортогональны.

_1 2 = 0,

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0 - условие перпендикулярности плоскостей.

34. Уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой в пространстве

 

Пусть прямая проходит через точку M₁ (x₁, y₁, z₁) и параллельна вектору (m ,n, l). Составим уравнение этой прямой.

 

                                   Z                                                                   

                                                    

                                                                                                         

                                                                                                         

                                                                M                                      

                                                   M₁                                                 

                                                                                                         

                                                                    Y                                   

                                                                                                         

                           X                                                                            

                                                                                                         

 

Возьмем произвольную точку M (x, y, z) на этой прямой и найдем зависимость между x, y, z. Построим вектор

.

Векторы иколлинеарны.

 - каноническое уравнение прямой в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве,

проходящей через две данные точки

 

Пусть прямая проходит через две точки M₁ (x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂). Составим ее уравнение. Рассмотрим вектор .Данная прямая параллельна этому вектору и проходит через точку M₁ (x₁,y₁, z₁). Используя каноническое уравнение, получаем

- уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

35. Метрическое пространство, выпуклые множества.

Евклидово пространство. Выпуклые множества

 

Определение 1.Упорядоченная совокупность изnдействительных чиселназываетсяn-мерной точкой.

Определение 2.Расстоянием между двумяn-мерными точкаминазывается величина

.

Определение 3. Совокупность всехn-мерных точек с введенной на ней метрикойназываетсяn-мерным евклидовым (метрическим) пространствомRⁿ.

Определение 4. -окрестностью точкивRⁿназывается множество точек, удовлетворяющих условию.           

Определение 5. МножествоА Rⁿназывается открытым, если любая точка входит в него вместе с некоторой окрестностью.

Определение 6. МножествоB Rⁿ называется замкнутым, если оно является дополнением до некоторого открытого множества.

В- замкнутое óRⁿ \B- открытое.

Определение 7.Отрезком вRⁿ, соединяющим точкии, называется множество точек, удовлетворяющее условию.

Определение 8.МножествоА Rⁿназывается выпуклым, если вместе с любыми двумя точками, входящими в него, оно содержит отрезок, их соединяющий.

           

           

           

             Выпуклые множества.                              Невыпуклые множества.              

 

Определение 9.Точках Rⁿназывается угловой точкой множестваА, если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком лежащего вА.

 

Угловые точки                                                           

           

           

                                                          

Неугловые точки                                                  

 

Теорема. Пересечение конечного числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Доказательство.ПустьАиВ- выпуклые множества.

Докажем, что - выпуклое множество.

Пусть х,у.

Следовательно, - выпуклое множество.