15 Векторы

Линейная алгебра

Вектором в курсе математики средней школы мы называли направленный отрезок. Вектор характеризуется длиной и направлением. Вектор можно перемещать параллельно самому себе. Аналитически вектор определяется его координатами. Координатами вектора называются координаты конца вектора, если начало совпадает с началом координат. Векторы можно складывать (покоординатно, правило прямоугольника) и умножать на число (покоординатно, растяжение). Умеем вычислять скалярное произведение и угол между векторами. Векторы в пространстве имеют три координаты и с ними можно выполнять те же действия. Аналогично можно обобщить понятие вектора на случай п-мерного пространства.

§1. Линейное векторное пространство.

Евклидово пространство.

Опр. Упорядоченная совокупность п действительных чисел а₁, а₂, …, а_п называется п-мерным вектором =( а₁, а₂, …, а_п). Числа а₁, а₂, …, а_п называются координатами вектора.

Геометрически для п>3 вектор изобразить нельзя, однако применить это понятие для практических целей вполне можно. Например, в виде вектора можно представить объем выпуска п видов продукции, цены этой продукции и т.д.

Два вектора называются равными, если равны их соответствующие координаты: .

Суммой (разностью) двух п-мерных векторов и называется п-мерный вектор, каждая координата которого равна сумме (разности) соответствующих координат исходных векторов:

.

Произведением п-мерного вектора на число к называется п-мерный вектор, каждая координата которого равна произведению соответствующей координаты исходного вектора на число к: .

Свойства операций над векторами.

1. - коммутативность суммы

2. - ассоциативность суммы

3. - ассоциативность относительно числового множителя

4. - дистрибутивность суммы

5. - дистрибутивность относительно суммы числовых множителей

6.

7.

8. .

Опр. Совокупность всех п-мерных векторов с введенными на ней операциями сложения и умножения на число, удовлетворяющая приведенным выше свойствам, называется линейным векторным пространством (Е^п).

Скалярным произведением двух п-мерных векторов и называется число, равное сумме попарных произведений их координат:

.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. ;

2.

3.

4. .

Линейное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным свойствам, называется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) п-мерного вектора называется величина

Угол между двумя п-мерными векторами и определяется по формуле:

.

Два ненулевых п-мерных вектора и называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90º. Условием ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Два п-мерных вектора и называются коллинеарными, если найдется ненулевое число , такое, что . Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их координат:

.

Единичным п-мерным вектором или ортом называтся вектор, у которого i-я координата равна единице, а остальные – нулю: , , …, .

§2. Линейная зависимость векторов

Пусть дана система п-мерных векторов .

Опр. Линейной комбинацией векторов называется вектор, равный сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

=,

где - некоторые коэффициенты.

Пример. Составить линейную комбинацию векторов

Опр. Говорят, что вектор разлагается по системе векторов , если вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов :

.

Опр. Выпуклой линейной комбинацией векторов называют линейную комбинацию,в которой все коэффициенты неотрицательны, и сумма коэффициентов равна единице.

Опр. Векторы называют линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю только при нулевых значениях коэффициентов:

.

В противном случае векторы называют линейно зависимыми. Т.е. векторы линейно зависимы, если при выполнении равенства

среди чисел найдется хотя бы одно ненулевое.

Пример. Доказать, что векторы и из предыдущего примера линейно независимы.

Теорема. Система векторов является линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы. Верно и обратное утверждение.

Док-во. Пусть линейная комбинация векторов равна нулю, и при этом среди коэффициентов есть ненулевой, например,

Тогда , т.е.один из векторов системы представлен в виде линейной комбинации других.

Пусть теперь один из векторов равен линейной комбинации других, т.е.

.

(перенесем все в одну часть)

.

Линейная комбинация равна нулю, и при этом не все коэффициенты нулевые, т.е. система линейно зависима.▲

Нетрудно доказать, что различные п-мерные единичные векторы линейно независимы.

Самостоятельно.

Каждый п-мерный вектор может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации единичных п-мерных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора

.

§3. Свойства систем векторов линейного пространства

Теорема 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Док-во. Пусть, например, . Тогда равенство справедливо при с₁=1, с₂=с₃=…=с_п=0, т.е. при ненулевом коэффициенте с₁. Значит, система линейно зависима.

Теорема 2. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Док-во. Пусть, например, векторы линейно зависимы. Тогда в равенстве не все коэффициенты равны нулю. Но тогда при тех же коэффициентах и с₁=0 будет справедливо и равенство . Система линейно зависима.

Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.

Доказывается «от противного».

Теорема 3 (теорема Штейница). Если каждый из векторов является линейной комбинацией векторов и m>n, то система векторов линейно зависима.

Следствие. В любой системе п-мерных векторов не может быть более чем п линейно независимых.

Док-во. Каждый п-мерный вектор выражается в виде линейной комбинации п единичных векторов. Поэтому, если система содержит т векторов и т>п, то по теореме Штейница эта система линейно зависима.

Линейное пространство называется п-мерным, если в нем существуют п линейно независимых векторов, а любые п+1 векторов являются линейно зависимыми.

§4. Ранг и базис системы векторов

Опр. Рангом r системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

Опр. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

В частности, любая совокупность п линейно независимых векторов п-мерного пространства является базисом.

Теорема. Любой вектор системы можно единственным образом представить в виде линейной комбинации векторов базиса этой системы.

Док-во. Пусть система имеет базис .

1) Пусть вектор из базиса (например, это ). Тогда .

2) Пусть вектор не из базиса. Например, это вектор , где р>к.

Рассмотрим систему .Она является линейно зависимой. Следовательно, найдутся числа , не все равные нулю, такие, что . Очевидно, что , т.к. в противном случае базис являлся бы линейно зависимым. Тогда

.

3) докажем, что разложение вектора по базису единственно.

Предположим противное: имеются два разложения вектора по базису:

и

.

Вычитая эти равенства, получим:

.

Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим:

, …, .

Следовательно, разложение единственно.▲

Ранг п-мерного пространства равен его размерности. Значит, любой его базис состоит из п линейно независимых п-мерных векторов. Любая система в п-мерном пространстве, содержащая больше, чем п векторов, линейно зависима. Любой вектор пространства можно однозначно разложить по векторам любого базиса. Коэффициенты разложения называются координатами данного вектора в этом базисе.