32. Преобразование прямоугольной системы координат.
Предположим,
что система
координат XOY перенесена
параллельно себе так, что начало координат
сместилось в точку M(a;b).
Найдем связь между координатами любой
точки в старой и новой системе координат.
Возьмем произвольную точку N.
В плоскости XOY она
имеет координаты N(x; y),
в плоскости 
она
имеет координаты
.
|
| |
|
|
|
- преобразование координат при параллельном переносе; выражение старых координат через новые и новых через старые.
Поворот системы координат y y
M X
N X
0 K
Предположим,
что прямоугольную
систему координат повернули
на угол в
положительном направлении и получили
новую систему координат 
.
Эти соотношения описывают преобразование координат при повороте, они выражают старые координаты через новые. Из этих соотношений можно выразить новые координаты. Выражение новых координат через старые:
33. Уравнение плоскости в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Теорема. Всякое невырожденное уравнение первой степени с тремя переменными описывает некоторую плоскость в пространстве, и наоборот: всякая плоскость может быть описана таким уравнением.
Ax + By + Cz + D = 0 - общее уравнение плоскости,
A2 + B2 + C2 0 - условие невырожденности.
Рассмотрим различные случаи расположения плоскости в пространстве в зависимости от коэффициентов общего уравнения.
1. D = 0, Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;
A = 0, By + Cz + D = 0 - параллельна оси ОХ;
B = 0, Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси OY;
C = 0, Ax + By + D = 0 - параллельна оси OZ;
2. A = D = 0, By + Cz = 0 - содержит OX;
B = D = 0, Ax + Cz = 0 - содержит OY;
C = D = 0, Ax + By = 0 - содержит OZ;
A = B = 0, Cz + D = 0 - параллельна плоскости XOY;
A = C = 0, By + D = 0 - параллельна плоскости XOZ;
B = C = 0, Ax + D = 0 - параллельна плоскости YOZ;
3. A = B = D = 0, Cz = 0 - совпадает с плоскостью XOY;
A = C = D = 0, By = 0 - совпадает с плоскостью XOZ;
B = C = D = 0, Ax = 0 - совпадает с плоскостью YOZ.
Расстояние от точки M0 (x0, y0, z0) до плоскости, заданной общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, вычисляется по формуле
.