Экспериментальная оценка аддитивной систематической погрешности на основе баланса измеряемых величин.

Цели лабораторной работы.

В процессе выполнения данной работы студент добивается следующих целей:

- закрепляет знания, полученные при изучении теории погрешностей и методов обработки многократных измерений;

- развивает умения по постановке измерительного эксперимента, ею организации и последующего его проведения;

- закрепляет навыки выбора соответствующих поставленной задаче алгоритмов обработки многократных измерений и их использование в ручном варианте обработки;

- закрепляет навыки использования пакетов прикладных программ при обработке многократных измерений на ПЭВМ;

- развивает умения надлежащим образом оформлять результаты эксперимента;

- осваивает приемы исключения аддитивной систематической погрешности из результата измерения.

Теоретические основы лабораторной работы.

Наиболее логичной и обоснованной математической моделью статической характеристики СИ является линейная модель следующего вида

т_у (х) = kx + m_h ,

где коэффициент чувствительности СИ,

q - размер единицы величины, воспроизводимой СИ,

т_h, - аддитивная систематическая погрешность результата измерения (смещение нуля),

x - измеряемая величина.

СИ с такой статической характеристикой формирует результат измерения, как случайную величину следующей структуры

где - центрированная случайная составляющая погрешности с дисперсией D_e.

Найдем выражение для погрешности

(2.1)

где - полная систематическая погрешность,

- мультипликативная систематическая погрешность. Из выражения (2.1) видно, что полная систематическая погрешность определяется двумя параметрами k и m_h, . Поэтому, для того чтобы оценить систематическую погрешность m_e(x) нужно оценить параметры k и т_h,.

Обозначим экспериментальные оценки этих параметров соответственно и .. Тогда оценка полной систематической погрешности будет равна

и ее можно исключить из результата измерения, т.е.

где -- неисключенная систематическая погрешность.

Поскольку всегда имеет место отношение , то систематическая погрешность обязательно присутствует в результате измерения. Но с позиции обеспечения единства измерения важно, чтобы не исключенная систематическая погрешность удовлетворяла условию

где Tm_e, допуск на систематическую погрешность результата измерения,

-диапазон измерений.

В данной лабораторной работе рассматривается способ оценки только аддитивной погрешности на основе баланса измеряемых величин.

Пусть х - измеряемая величина, которую можно представить в виде суммы измеряемых величин , т.е.

(2.2)

Это условие назовем балансом измеряемых величин. Проведем однократные измерения величин и х и результаты измерения запишем следующим образом

где m_h, - const для всех результатов измерений

- возможные значения центрированной случайной погрешности.

Найдем теперь разность

В правой части полученного уравнения пренебрежем центрированными составляющими . Тогда получим следующее выражение для оценки систематической погрешности

(2.3)

В этом выражении отсутствуют значения измеряемых величин. Это означает, что данный способ оценки аддитивной погрешности не требует использования эталонных измеряемых величин. Важно лишь выполнение условия (2.2).

Поскольку результаты измерений являются случайными величинами, то оценка аддитивной систематической погрешности также будет случайной величиной, т.е.

Будем считать результаты измерений распределенными по нормальному закону. Тогда и случайная оценка также будет иметь нормальный закон распределения. Найдем математическое ожидание и дисперсию этой оценки при допущении, что результаты измерения являются равноточными и некоррелированными

Поскольку центрированная случайная составляющая оценки , то получим

Из полученных выражений следует: во-первых, оценка является несмещенной и, во-вторых, она тем точнее, чем больше число слагаемых в условии (2.2).

Дисперсия D_e, как правило, также является величиной, значение которой неизвестно. Поэтому рассмотрим план измерения

где - вектор плана измерения,

- вектор объема измерений,

- объем многократных измерений величины соответственно . Положим, что результаты многократных измерений являются нормально распределенными, равноточными и некоррелированными. Тогда алгоритм обработки многократных измерений при оценке аддитивной систематическом погрешности представляется следующими выражениями

- несмещенная оценка дисперсии , (2.4 )

дисперсии случайных величин ,

где

Найдем выражение для дисперсии оценки

Поскольку , то будем иметь

(2.5)

Подставим в полученное выражение вместо неизвестной дисперсии D_e ее оценку (2.4)

(2.6)

Теперь интервальная оценка для аддитивной систематической погрешности запишется следующим образом

Где - квантиль центрального распределения Стьюдента с N-(n+1) степенями свободы соответствующий доверительной вероятности P_дов.

Интервальная оценка для дисперсии будет иметь вид

где q₁ - решение уравнения

q₂- решение уравнения

- табулированная функция центрального распределения с v=N-(п+1) ст. свободы. Упростим выражения (2.5) и (2.6), введя следующее условие

При этом получим

,

где - есть решение уравнения

- табулированный интеграл вероятности распределения Стьюдента c N-(п+1) ст. свободы.