Экспериментальная оценка измеряемой величины на основе линейной модели.

Цели лабораторной работы.

В процессе выполнения данной работы студент добивается следующих целей:

• закрепляет знания, полученные при изучении вопросов экспериментальной оценки переменной величины на основе линейной математической модели; развивает умения по организации измерительного эксперимента и последующей его реализации;

• закрепляет навыки выбора соответствующих поставленной задаче алгоритмов обработки многократных измерений и их использование в ручном варианте обработки; закрепляет навыки применения пакетов прикладных программ обработки многократных измерений на ПЭВМ;

• развивает умения надлежащим образом интерпретировать и оформлять результаты эксперимента.

Теоретические основы лабораторной работы.

Установка МЛИ-2 воспроизводит переменную температуру, изменяющуюся во времени по закону, близкому к линейному. Следовательно, экспериментальная оценка этой переменной величины производится с использованием линейной модели вида

где - постоянные коэффициенты;

- вектор коэффициентов;

интервал изменения аргумента (время).

Данная измерительная задача относится к первому типу (по классификации, приведенной в работе [1]) и план измерения для неё имеет структуру ,

где - вектор плана измерения,

- дискретные значения аргумента в которых многократно ( раз) измеряется температура,

 - объем многократных измерений в каждой дискретной точке

При заданном способе задания дискретных значений план измерения можно записать в виде . Для него случайный вектор многократных измерений температуры в момент имеет следующую структуру

где - истинное значение температуры,

- систематическая погрешность результата измерения величины

- случайный результат однократного измерения

величины

- центрированная случайная составляющая однократного результата измерения с дисперсией (равноточные измерения ).

- центрированный случайный вектор с ковариационной матрицей размера ,

- приведенная ковариационная матрица. Для некоррелированных составляющих - единичная матрица.

Используя алгоритм обработки многократных измерений получим:

где - весовые коэффициенты алгоритма, удовлетворяющие условию .

- центрированная составляющая результата обработки с дисперсией ,

где - сумма элементов обратной матрицы

- сумма элементов j-го столбца матрицы

План измерения не является ортогональным. Перейдем к переменной, при которой он станет ортогональным, а именно:

где - середина интервала

- половина длины интервала .

Перенумеруем отрицательные значения новой переменной , а положительные ,

где

Тогда будем иметь

и план измерения , где , будет ортогональным.

Для переменной математическая модель измеряемой величины также будет линейной. Запишем её в виде

где

Как показано в работе [1] для ортогонального плана измерения алгоритмы получения оценок коэффициентов модели и имеют следующий вид:

где

Весовые коэффициенты удовлетворяют условию .

Ковариационная матрица случайного вектора является диагональной и имеет следующий вид

где

Переход к оценкам коэффициентов С₁ и С₂ осуществляется на основе уравнений (1)

Ковариационная матрица случайного вектора не является диагональной и имеет следующий вид

где

Теперь оценку измеряемой температуры можно записать в виде .

Дисперсия этой оценки представляется следующим выражением

,

где

Графическое изображение дисперсии показано на рис. 1, где

Из рисунка следует, что дисперсия минимальна в середине интервала и достигает максимального значения на его границах.

Реализация интервальной оценки температуры будет иметь вид

где

- экспериментальные значения коэффициентов модели.

- оценка дисперсии

- полный вектор многократных измерений, соответствующих плану .

- диагональная блочная матрица размера

- приведенная ковариационная матрица, соответствующая матрице

- ковариационная матрица случайного вектора .

- степень свободы,

- квантиль центрального распределения Стьюдента, соответствующий значению доверительной вероятности Р.

Графическое изображение интервальной оценки (2) показано на рис.2.

Заштрихованная область представляет реализацию доверительной, области. Интерпретация этой реализации такова: истинная функция находится внутри данной, реализации доверительной области. Вероятность того, что это утверждение является достоверным событием, равно доверительной вероятности Р.

Последовательность выполнения лабораторной работы.

Исходные данные:

1. Экспериментальная установка- установка МЛИ-2.

2. План измерения - (задается преподавателем).

3. Интервал изменения аргумента .

4. Многократные измерения являются равноточными и некоррелированными.

Таблица2.

где

Проверка

Задание №1. Реализация многократных измерений в соответствии с планом .

На установке МЛИ-2 включается режим воспроизведения линейного изменения температуры. Результаты многократных измерений представляются в форме табл. 1.

Таблица 1

Номера однократных измерений	Результаты измерения
	t1	t2	...	tn
1	y11	y21	...	yn1
2	y12	y22	...	yn2
...	...	...	...	...
	y1	y2	...	yn

Задание №2. Обработка результатов многократных измерений.

Обработка массива экспериментальных данных производится с использованием следующих алгоритмов:

Соответствие обозначений показано в табл.2.

Задание №3. Построение графиков дисперсии и реализация доверительной области.

Расчеты значений дисперсии, СКО и границ доверительной области проводятся при трех значениях аргумента t и записываются в форме табл.3

Таблица 3.

t	t1		tn

Графические изображения представляются в виде, показанном на рис. 1 и рис.2.

Требования к оформлению лабораторной работы.

В отчете о выполнении лабораторной работы должны быть указаны её номер, наименование и цели и отражены следующие разделы:

1. Исходные данные, нужные для выполнения лабораторной работы в соответствии с её особенностями.

2. Задание №1. Реализация многократных измерений по плану

3. Задание №2. Обработка результатов многократных измерений и построение приведенных в методических указаниях таблиц, графиков и т.п.

4. Интерпретация результатов экспериментов и выводы.

5. Список использованных источников.

УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП РАБОТЫ

Установка представляет собой застольную конструкцию с наклонной передней панелью. На передней панели показано условное отображение нагреваемого объекта и измерителей температуры в виде стандартных термометров. Для проведения измерений используются один образцовый и пять рабочих термометров.

На задней панели корпуса размещены клавишный переключатель коммутации сетевого питания, предохранитель, шнур сетевого питания, клемма заземления и переменные резисторы введения погрешности в показания температуры рабочих термометров.

На рис.3 приведено изображение передней панели установки с органами управления и индикации.

№	Назначение
	Переключатель режима нагрева объекта
	Переключатель рабочих термометров
	Регулятор плавного изменения температуры объекта
	Индикатор рабочего термометра
	Индикатор образцового термометра
	Индикатор секундомера
	Кнопка пуска секундомера и включения режима динамического изменения температуры
	Кнопка остановки секундомера и режима динамического изменения температуры Кнопка сброса показаний секундомера и установки начальных условий режима динамического изменения температуры

Принцип работы установки заключается в моделировании тепловых процессов эквивалентными электрическими процессами. Для этой цели вместо нагреваемого объекта и датчиков температуры используются генераторы напряжений с ручным и автоматическим изменением значения выходного напряжения и вольтметры.

В качестве генератора напряжения с ручным изменением значения выходного напряжения используются источник напряжения постоянного тока и сдвоенный переменный резистор. Напряжения, снижаемые о подвижных выводов отдельных резисторов, через переключатель режимов работы поступают на вольтметры в плате АЦП, где измеренное напряжение преобразуется в цифровую форму.

Напряжение, снимаемое с одного резистора, принимается за опорное и отображается на 4-х разрядном индикаторе, соответствующем образцовому термометру. Напряжение, снимаемое с другого резистора, находящегося на общей оси с первым резистором, и изменяемое с помощью добавочных резисторов, коммутируемых переключателем рабочих термометров, отображается на 3-х разрядном индикаторе, соответствующем рабочему термометру.

Добавочные переменные резисторы в цепи рабочих термометров позволяют ввести искусственную дополнительную погрешность в показания рабочих термометров.