4.4. Связь корректирующей способности кода с кодовым расстоянием, экспресс – оценки корректирующей способности помехозащищенного кода

Как указывалось выше помехозащищенный – код, имеющийинформационных разрядов,проверочных разрядов иполное число разрядов, может быть сформирован на основе:

- эвристического подхода к фактору кодовой избыточности, вводимой в структуру кода с целью повышения минимального кодового расстояния, контролируемого на множестве используемых (разрешенных) кодовых комбинаций кода;

- систематического подхода, опирающегося на аналитические связи значений проверочных разрядов кода со значениями его информационных разрядов.

В параграфе ставится задача: на основе знания только базовых параметров ПЗКосуществить экспресс – оценку:

- относительного числа обнаруживаемых ошибок;

- кратности исправляемых ошибок;

- кратности обнаруживаемых ошибок;

-минимального кодового расстояния между разрешенными кодовыми комбинациями кода;

- максимального числа передаваемых команд при наперед заданной кратности исправляемых ошибок.

Прежде чем решать перечисленные задачи, докажем два утверждения, устанавливающих связь между минимальным кодовым расстоянием и кратностями исправляемых и обнаруживаемыхошибок.

Утверждение 4.9. Для того чтобы ПЗК код исправлял ошибки кратностинеобходимо и достаточно, чтобыминимальное кодовое расстояние между разрешенными кодовыми комбинациями было бы не меньше величины, то есть чтобы выполнялось неравенство

. □(4.54)

Доказательство. Пусть разрешенные кодовые комбинации таковы, что кодовое расстояние между ними минимально, то есть выполняется условие . Пусть под действием кодов помех нормына базе кодовых комбинаций формируются конусыискаженных кодовых комбинаций. Тогдаусловием исправления ошибок кратности является отсутствие пересечения приведенных конусов

,

что имеет эквивалентное представление

Если последнее условие записать в терминах кодовых расстояний между кодовыми комбинациями , то получим условие (4.54). ■

Утверждение 4.10. Для того чтобы ПЗК код обнаруживал ошибки кратностинеобходимо и достаточно, чтобыминимальное кодовое расстояние между разрешенными кодовыми комбинациями было бы не меньше величины, то есть чтобы выполнялось неравенство

. □(4.55)

Доказательство. Пусть разрешенные кодовые комбинации таковы, что кодовое расстояние между ними минимально, то есть выполняется условие . Пусть под действием кодов помех нормына базе кодовых комбинаций формируются конусыискаженных кодовых комбинаций. Тогдаусловием обнаружения ошибок кратности являетсяотсутствие пересечения приведенных конусов c соседними разрешенными кодовыми комбинациями

,

что имеет эквивалентное представление

Если последние условия записать в терминах кодовых расстояний между кодовыми комбинациями , то получим , что совпадает сусловием (4.55). ■

Из соотношений (4.54) и (4.55) видно, что, если ПЗК в состоянии исправлять ошибки кратности , то он способен обнаруживать ошибки кратности

Для оценки относительного числа обнаруживаемых ошибок рассмотрим возможные трансформации массива мощностью разрядных разрешенных кодовых комбинаций (РКК) при передаче по каналу связи с помехами. Граф трансформаций представлен на рисунке 4.3.

Рисунок 4.3

Нетрудно видеть из приведенного графа, что полное число трансформаций при передаче по КС составляет величину, из них число обнаруживаемых составляет. Тогда относительное число обнаруживаемых ошибок составит величину

. (4.55)

Из формулы (4.55) видно, что относительное число обнаруживаемых ошибок не зависит от числа информационных разрядов, полного числаразрядов ПЗК, а зависит лишь отчисла проверочных разрядов. Для большей наглядности, вычисленные в силу (4.55) значения сведены в таблицу 4.7.

Таблица 4.7

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	50	75	87.5	93.75	96.875	98.42	99.21	99.6	99.8	99.9

Из таблицы видно, что при , то естьпри одном проверочном разряде можно организовать только проверку на четность (нечетность) и тем самым обнаруживать всех возможных ошибок. С ростом числаэта зависимость усложняется и определяется характером заложенной в ПЗК систематики.

Оценка кратности исправляемых ошибок ПЗК на основании его базовых параметров может быть произведена на основе разрешения условия (4.2) относительнов форме

.

Оценка кратности обнаруживаемых ошибок ПЗК на основании его базовых параметров может быть произведена на основе соотношения

Оценка кратности минимального кодового расстояния между разрешенными кодовыми комбинациями ПЗК на основании его базовых параметров может быть произведена на основе соотношения

Оценка максимального числа передаваемых команд при наперед заданной кратностиисправляемых ошибок ПЗК на основании его базовых параметров может быть произведена на основе соотношения

. (4.56)

Оценка (4.56) именуется границей Р.Хэмминга числа .

Пример 4.6. Сформировать экспресс – оценки корректирующей способности ПЗК .

Решение задачи сведено в таблицу 4.8.

Таблица 4.8

11	4	7	99.21%	2	4	5	30	8

184