Алгоритм 4.5

формирования циклического ПЗК, основанный на формировании проверочной и образующей матриц кода

1.Сформировать число информационных разрядов помехозащищенного– кода в соответствии с алгоритмом 4.1;

2.По заданным: категории системы, характеризующейся величиной допустимой вероятности приема ложной команды, и параметру модели двоичного канала связи в формевероятности искажения разряда (бита) кода, определяемому выражением, определить кратность исправляемой ошибкив силу соотношения

,

где – число синдромов,– число исправляемых ошибок, в зависимости от величины – кратности исправляемой ошибки выбрать (прииз таблицы П1.1 неприводимых многочленов или (прииз таблицы П1.2 неприводимых многочленов, сформированных с помощью БЧХ-технологии, образующий многочленкода степении сформировать–формат ПЗК, где;

3. Представить искажение го разряда кодаMM ;

4. Вычислить остатки от деления ММ, на образующий ММв силу соотношения

;

5. На основании (4.45) сформировать ММ синдромов однократных ошибок в форме

; (4.50)

6. Сформировать кодовые аналоги ММ синдромов в форме– разрядных вектор-строк;

7. Сформировать проверочную матрицу циклического– ПЗК с учетом его полной блоковой систематики

;

(4.51)

8. Сформировать образующую матрицу циклического– ПЗК с учетом его полной блоковой систематики

. (4.52)

9. Сформировать аналитическое описание процессов помехозащитного кодирования и декодирования на основании полученных матриц в форме ■

Примечание 4.10. Рассмотрим последнюю (ю) строчкуматрицы, для которой оказывается справедливой цепочка равенств

. (4.53)

Соотношение (4.53) обладает хорошими идентификационными свойствами, позволяющее по последней строке матрицыопределять:

1. корректность составления образующей матрицы ПЗК по заданному образующему ММкода;

2. определять образующий ММ ПЗК по заданной образующей матрицекода. □

Проиллюстрируем алгоритм 4.5 примером.

Пример 4.4. Сформировать проверочную (4.51) и образующую (4.52) матрицы на примере кода (7.4).

Решение

1. Опираясь на алгоритм 4.1 и п.1 алгоритма 4.5 осуществим формирование базовых характеристик ПЗК, приводящих к формату (7,4) кода, характеризующегося следующими свойствами:

- полное число разрядов

- число информационных разрядов

- число проверочных разрядов так, что синдромы ошибок в коде имеют трехразрядное представление вида;

- код является оптимальным так, как выполняется равенство ;

- минимальное кодовое расстояние между кодовыми комбинациями ПЗК

- код способен исправлять ошибки кратности в режимеисправления;

- код способен обнаруживать ошибки кратности в режимеобнаружения;

- синдромы ошибок в коде строятся по правилу «синдромы ошибок в младшихразрядах образуют единичную матрицу», что доставляет ПЗКполную блоковую систематику.

2. Выберем из таблицы П1.1 неприводимых ММ многочлен степени в качестве образующего ММ циклического кода.

3. На основании выполнения п.п. 3 – 6 алгоритма 4.5 составим таблицу 4.6 ММ ошибок и синдромов, а также их кодовых аналогов

Таблица 4.6

№ искаженного разряда	–вектор-строка искажения в КС	ММ ошибки (искажения)	ММ синдрома	Код ММ синдрома
7	=			1	1	0
6	=			0	1	1
5	=			1	1	1
4	=			1	0	1
3	=			1	0	0
2	=			0	1	0
1	=			0	0	1

4. На основании выполнения п.7 алгоритма формируем проверочную матрицу циклического– ПЗК с учетом его полной блоковой систематики

;

5. На основании выполнения п.8 алгоритма сформируем образующую матрицу циклического– ПЗК с учетом его полной блоковой систематики

6. На основании выполнения п.9 алгоритма формируем аналитическое описание процессапомехозащитного кодирования:

а также процесса помехозащитного декодирования:

. ■

Завершая рассмотрение процессов помехозащитного преобразования кодов с использованием их представлений с помощью модулярных многочленов, обратимся к проблеме выбора образующего ММ степени , котораядо настоящего момента по умолчанию считалась решенной. Это не так, ситуация может быть исправлена перечислением требований, которым должен удовлетворять образующий ММ .

Требования,

предъявляемые к образующему модулярному многочлену (ОММ) кода

1. ОММ должен бытьнеприводимым, то есть обладать свойством делимости «нацело» только при делении на единицу и сам на себя;

Примечание 4.11. Свойство неприводимости ММ эквивалентно свойству простоты целых чисел, в силу наличия которого деление на простое число порождает множество остатков максимальной мощности. Свойство неприводимости также порождает множество остатков максимальной мощности, а это доставляет ПЗК широкие корректирующие возможности, так как остатки от деления есть синдромы, в режиме исправления выполняющие функции адресов искаженных разрядов.

Неприводимый ММ «как правило» не имеет корней в поле , его корнями являются ММ. Последнее означает, что неприводимый ММ не обнуляется ни значениемни значением, как следствие неприводимый ММ имеет единичный свободный член и нечетное число членов. □

2. Степень ОММ , определяющая число проверочных разрядов ПЗК, выбирается из условия обеспечения корректирующей способности кода

где число ненулевых синдромов ПЗК;число исправляемых ошибок.

Примечание 4.12. Если требования к корректирующей способности ПЗК формулируется в форме обеспечения необходимого минимального кодового расстояния между его кодовыми комбинациями в форме , то требование к степени ОММ формулируется следующим образом:

– в случае нечетного ;

– в случае четного ;

где результатоперации округления до целого большего числа . □

3. Образующий ММ ПЗК должен принадлежать показателю, то есть ондолжен входить в разложение двучлена и при это не должно существовать такого , при котором образующий ММвходит в разложение двучлена .

Примечание 4.13.

Наличие свойства п.3 у образующего ММ иллюстрируется следующим образом. Очевидно, в силу циклических свойств циклических ПЗК оказывается справедливой запись

,

где циклический ПЗК при

Запишем выражение для в мультипликативной форме. Из полученного представления следует, что условиевыполняется только при выполнении условия.При этом, если будет существовать, то число синдромов однократных ошибок

Отметим еще одно полезное обстоятельство в связи с рассматриваемым свойством п.3 образующего ММ . Оно состоит в том, что если, то в разложение двучленавходят все без исключения неприводимые ММ, степени которых входят в разложение числа

Проиллюстрируем высказанное примером . В разложение числавходят числаи.Это значит, что в разложение двучленабудет входить ММвсе неприводимые ММ степени. В соответствии с таблицей П1.1 неприводимых ММ таких ММ два:Тогда должно выполняться равенство, справедливость которого проверим простым перемножением с приведением подобных по. В результате получим

□

4. Минимальное кодовое расстояние на множестве разрешенных кодовых комбинаций циклического ПЗК с образующим ММ не превышает числа ненулевых элементов ММ .

Примечание 4.14. Наличие свойства п.4 у образующего ММ иллюстрируется на примере циклического кодирования двух информационных кодов:и, которым соответствуют ММи. Если осуществить помехозащитное циклическое кодирование с образующим ММ, то будут сформированы ММПЗК видаи.Сформируем на полученных ММ ПЗКи, и вычислим кодовое расстояние между ними

,

где – число ненулевых членов образующего ММ ПЗК. □■