Традиционные алгоритмы
Методика синтеза традиционных алгоритмов
преобразования основывается на
полиномиальном разложении ускорения
и матрицы ориентации
на интервале (
)
интегрирования при непосредственном
вычислении интеграла (7.40). При этом
производные
от матрицы ориентации в окрестности
точки
рассчитываются через значения данной
матрицы, вычисленные на текущем и
предыдущих тактах решения задачи угловой
ориентации с использованием того или
иного метода численного дифференцирования.
Производные
от кажущегося ускорения в окрестности
точки
выражаются через выходные сигналы
акселерометров на текущем и предыдущих
тактах их опроса.
К алгоритмам этой группы относится известный алгоритм вида
.
(7.44)
Общепринятый подход к вычислению
интеграла (7.43) состоит в полиномиальной
аппроксимации угловой скорости
и ускорения
на интервале (
)
интегрирования. Решение для искомого
интеграла выражается через коэффициенты
полиномиальных моделей измеряемых
сигналов, которые соответственно
вычисляются через традиционные выходные
сигналы гироскопов и акселерометров в
форме квазикоординат
,
в промежуточных точках внутри интервала
интегрирования.
При константной модели
и
алгоритм вычисления
имеет следующий вид [3]:
.
(7.45)
Для линейной модели аппроксимации
и
на интервале (
),
когда имеется по два выходных сигнала
от измерителей на такте интегрирования
,
алгоритм вычисления
имеет следующий вид:
,
(7.46)
где
;
.
Как известно, традиционные алгоритмы
эффективны только в случае, когда шаг
решения задачи существенно меньше
периода наиболее значимых высокочастотных
составляющих в спектрах как
,
так и
,
включая и спектр линейных вибраций.
«Инвариантные» алгоритмы
При использовании в задаче интегрирования дискретных алгоритмов (7.35) и (7.38) задача преобразования кажущихся ускорений на навигационные оси сводится к вычислению следующих интегралов [5]:
.
(7.47)
Данная постановка отличается от
стандартной тем, что предполагает
формирование величин
,
представляющих двойные интегралы от
составляющих вектора кажущегося
ускорения в навигационных осях на шаге
решения задачи интегрирования.
Если представить матрицу
на интервале интегрирования (
)
в виде разложения в ряд Тейлора в
окрестности точки
и подставить в (7.47), то воспользовавшись интегрированием по частям можно получить следующие квадратурные формулы для вычисления интегралов (7.47) [5]:
,
,
(7.48)
где
;
.
Ограничивая число членов в разложении
(7.48) и задаваясь методами численного
дифференцирования при вычислении
производных от матрицы
,
могут быть получены различные по точности
алгоритмы преобразования, пригодные
для реализации в вычислителе БИИМ.
В отличие от традиционного решения данный подход обладает новым качеством - обеспечивается инвариантность к тому из сомножителей в подынтегральном выражении (7.47), для которого не использовалось полиномиальное представление (в данном случае – к кажущемуся ускорению).
Алгоритм для линейной модели матрицы
ориентации
(что соответствует константной модели
для угловой скорости) имеет следующий
вид:
,
,
(7.49)
где
,
- выходные сигналы от акселерометров:
- значения первого и второго интегралов
от измеряемого кажущегося ускорения,
приведенные к осям измерительного блока
БИИМ;
.
Алгоритм для квадратичной модели матрицы
ориентации
(что соответствует линейной модели для
угловой скорости) и возможностью
формирования первого, второго и третьего
интегралов от измеряемого кажущегося
ускорения, имеет вид [4]:
,
,
(7.50)
где
;
.
В соответствии с выражениями (7.35), (7.38) дискретные алгоритмы выработки составляющих векторов кажущейся линейной скорости и кажущегося перемещения в осях географического трехгранника имеют следующий вид:
(7.51)
При этом единственное ограничение на использование данных алгоритмов сводится к тому, что частота решения задачи должна быть выше максимальной частоты угловых движений объекта. Отсутствие ограничений на характер изменения измеряемого ускорения на шаге решения задачи является принципиальных для данных алгоритмов. В случае, когда частота угловых движений объекта (условия морских объектов) много меньше частоты линейной вибрации, из квадратурных формул (7.42) могут быть получены алгоритмы, позволяющие обеспечить требуемую точность вычислений при частоте решения задачи преобразования, не превышающей частоту вибрации.
Основываясь на результатах проведенных исследований в работе [5] были представлены результаты сравнения соответствующих алгоритмов в условиях движения типа «sculling». В качестве характеристики использована относительная погрешность по ускорению в условиях синфазного варианта движения, равная отношению постоянной составляющей погрешности по ускорению к ускорению «sculling».
Относительная погрешность равна:
-
для константной модели угловой скорости
- для традиционного алгоритма;
- для «инвариантного» алгоритма;
-
для линейной модели угловой скорости
- для традиционного алгоритма;
- для «инвариантного» алгоритма.
Еще одной важной характеристикой
алгоритмов преобразования ускорений
в БИИМ являются систематические
погрешности, которые могут возникать
при наличии в исходной измерительной
информации высокочастотных гармонических
составляющих (шумов измерителей), частоты
которых могут превышать частоту решения
задач БИИМ. Указанные погрешности,
называемые «pseudo-sculling»,
возникают когда соотношение частот и
фаз гармонических составляющих в
выходных сигналах измерителей совпадает
с таковым для движения типа «sculling».
Так при решении задачи преобразования
ускорений с частотой, превышающей
частоту гармонических составляющих
шумов измерителей (которые воспринимаются
в этом случае как движение объекта),
по одной из осей навигационного базиса
будет иметь место постоянная погрешность
по ускорению, равная
(здесь
- амплитуды гармонических составляющих
по углу и линейному ускорению,
соответственно), называемая ускорением
«pseudo-sculling».
Очевидно, что по мере того, как частота
решения задачи преобразования будет
становиться ниже частоты гармонических
составляющих шумов измерителей,
гармонические составляющие будут
сглаживаться алгоритмом и, следовательно,
систематическая погрешность БИИМ будет
ослабляться. Степень ослабления
погрешности «pseudo-sculling»
также является существенной характеристикой
алгоритмов преобразования.