Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Теория информации - Лекции.doc
Скачиваний:
44
Добавлен:
20.03.2016
Размер:
992.77 Кб
Скачать

Решение:

M =

k

(ak e−a)

= e−a

k

(kak)

=

k=0

k!

k=0

k!

11

= e−a

(k ak−1a)

= e−aa

as

(формула Маклорена) = eaaea = a

s!

(k

1)!

k=0

s=0

Математическое ожидание случайной величины, распределённой по закону Пуассона с параметром распределения a равно этому параметру распределения.

Если непрерывна, её закон распределения определяется плотностью распределения

f (x) > 0 M = xf (x)dx. Если имеется функция g( ); g( ; ), то математическое

−∞

ожидание вычисляется по формулам:

Mg = g(x)f (x)dx

−∞

∫∫

M( ; ) = g(x; y)f (x; y)dx dy

−∞

где f( ; ) - плотность совместных случайных величин.

Эти математические ожидания существуют, если все написанные несобственные инте-гралы сходятся.

Пример: вычислить математическое ожидание , равномерно распределённое по зако-ну Пуассона

Решение:

f (x) =

1

; a 6 x 6 b | 0; x в остальных случаях

b

a

1

b

x2b

a + b

M =

xf (x)dx =

a

xdx =

a =

b − a

2(b a)

2

−∞

Пример 2: вычислить математическое ожидание случайной величины , распределён-ной нормально (по закону распределения Гаусса)

1

(x a)2

1

(x a)2

f (x) =

e

=

(x a)e

dx+

2 2

2 2

2

2

−∞

a

(x a)2

a

(x a)e

+

dx (интеграл Лапласа) = 0 +

2 = a

2 2

2

2

−∞

Вывод: Распределение случайной величины, распределённой нормально, равно пара-метру распределения.

12

Дисперсия случайной величины и её основные свойства.

Дисперсия D - число, определяемое формулой D = M( M )2 (1), т.е. дисперсия представляет собой квадрат разности случайной величины и её математического ожида-ния. Другое название - квадрат среднеквадратического отклонения.

Часто в прикладных задачах вместо D рассматривают величину D, называемую сред-неквадратическим отклонением

Формулу (1) можно продолжить, тогда мы получим

D = M ( 22 M + (M )2) = M22M + 2M + (M )2 = M2(M )2;

откуда (2) D = M2 + (M )2

  1. Пусть - дискретная величина, принимающая значения x1; : : : ; xn с вероятностями p1; : : : ; pn

n

n

D =

(xkM )2 pk = (2) =(xk2 pk)2 (M )2

k=1

k=1

  1. Пусть - непрерывная случайная величина, значит может быть определена функция f (x).

D = (1) = x2f (x)dx(M )2

−∞

Дадим механическую интерпретацию математического ожидания и дисперсии случай-ной величины. Будем представлять закон распределения вероятностей pk = P ( =

n

xk); pk = 1 случайной величины , как закон распределения единичной массы на пря-

k=1

мой: в точках xk сосредоточены массы pk :

− − −

x1

− − −

x2

· · · −

xn

− −− > x

p1

p2

xn

Тогда

n

M = xkP ( = xk) - центр тяжести СМАТ

k=1

n

D = (xkM )2 pk - момент инерции относительно начала координат

k=1

13

(x a)2

Пример: D =?; f (x) = e 2 2