- •Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Решение:
- •Правило сложения вероятностей для двух событий:
- •Теорема сложения вероятности для совместных случайных событий.
- •Теорема умножения вероятности для двух независимых событий:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Энтропия и информация
- •Историческая справка
- •Решение:
- •Литература по кодированию и декодирова-нию
Решение:
-
M =
∞ k
∗
(ak ∗ e−a)
= e−a
∞ k
∗
(kak)
=
k=0
k!
k=0
k!
∑
∑
11
-
= e−a
∞
(k ∗ ak−1a)
= e−aa
∞ as
(формула Маклорена) = e−aaea = a
s!
(k
−
1)!
k=0
s=0
∑
∑
Математическое ожидание случайной величины, распределённой по закону Пуассона с параметром распределения a равно этому параметру распределения.
Если непрерывна, её закон распределения определяется плотностью распределения
∫∞
f (x) > 0 ⇒ M = xf (x)dx. Если имеется функция g( ); g( ; ), то математическое
−∞
ожидание вычисляется по формулам:
∫∞
Mg = g(x)f (x)dx
−∞
∫∫∞
M( ; ) = g(x; y)f (x; y)dx dy
−∞
где f( ; ) - плотность совместных случайных величин.
Эти математические ожидания существуют, если все написанные несобственные инте-гралы сходятся.
Пример: вычислить математическое ожидание , равномерно распределённое по зако-ну Пуассона
Решение:
-
f (x) =
1
; a 6 x 6 b | 0; x ∈ в остальных случаях
b
−
a
∞
1
b
x2b
a + b
M = ∫
xf (x)dx =
∫a
xdx =
a =
b − a
2(b − a)
2
−∞
Пример 2: вычислить математическое ожидание случайной величины , распределён-ной нормально (по закону распределения Гаусса)
-
1
(x a)2
1
∞
(x a)2
f (x) =
√
e−
=
√
∫ (x − a)e−
dx+
2 2
2 2
2
2
∞
−∞
a
(x a)2
a
√
∫
(x − a)e−
√
√
+
dx (интеграл Лапласа) = 0 +
2 = a
2 2
2
2
−∞
Вывод: Распределение случайной величины, распределённой нормально, равно пара-метру распределения.
12
Дисперсия случайной величины и её основные свойства.
Дисперсия D - число, определяемое формулой D = M( − M )2 (1), т.е. дисперсия представляет собой квадрат разности случайной величины и её математического ожида-ния. Другое название - квадрат среднеквадратического отклонения.
√
Часто в прикладных задачах вместо D рассматривают величину D, называемую сред-неквадратическим отклонением
Формулу (1) можно продолжить, тогда мы получим
D = M ( 2 − 2 M + (M )2) = M2 − 2M + 2M + (M )2 = M2 − (M )2;
откуда (2) D = M2 + (M )2
-
Пусть - дискретная величина, принимающая значения x1; : : : ; xn с вероятностями p1; : : : ; pn
-
n
n
D =
(xkM )2 ∗ pk = (2) =(xk2 ∗ pk)2 − (M )2
k=1
k=1
∑
∑
-
Пусть - непрерывная случайная величина, значит может быть определена функция f (x).
∫∞
D = (1) = x2f (x)dx − (M )2
−∞
Дадим механическую интерпретацию математического ожидания и дисперсии случай-ной величины. Будем представлять закон распределения вероятностей pk = P ( =
∑n
xk); pk = 1 случайной величины , как закон распределения единичной массы на пря-
k=1
мой: в точках xk сосредоточены массы pk :
-
− − −
x1
− − −
x2
− · · · −
xn
− −− > x
p1
p2
xn
Тогда
∑n
M = xkP ( = xk) - центр тяжести СМАТ
k=1
∑n
D = (xk − M )2 ∗ pk - момент инерции относительно начала координат
k=1
13
(x a)2
Пример: D =?; f (x) = e− 2 2