Решение:

M =	∞ k	∗	(ak ∗ e−a)	= e−a	∞ k	∗	(kak)	=
	k=0		k!		k=0		k!
	∑				∑

11

= e−a	∞	(k ∗ ak−1a)			= e−aa	∞ as		(формула Маклорена) = e−aaea = a
							s!
		(k	−	1)!
	k=0					s=0
	∑					∑

Математическое ожидание случайной величины, распределённой по закону Пуассона с параметром распределения a равно этому параметру распределения.

Если непрерывна, её закон распределения определяется плотностью распределения

∫^∞

f (x) > 0 ⇒ M = xf (x)dx. Если имеется функция g( ); g( ; ), то математическое

−∞

ожидание вычисляется по формулам:

∫^∞

M_g = g(x)f (x)dx

−∞

∫∫^∞

M( ; ) = g(x; y)f (x; y)dx dy

−∞

где f( ; ) - плотность совместных случайных величин.

Эти математические ожидания существуют, если все написанные несобственные инте-гралы сходятся.

Пример: вычислить математическое ожидание , равномерно распределённое по зако-ну Пуассона

Решение:

f (x) =

1

; a 6 x 6 b | 0; x ∈ в остальных случаях

b

−

a

∞

1

b

x2b

a + b

M = ∫

xf (x)dx =

∫a

xdx =

a =

b − a

2(b − a)

2

−∞

Пример 2: вычислить математическое ожидание случайной величины , распределён-ной нормально (по закону распределения Гаусса)

1

(x a)2

1

∞

(x a)2

f (x) =

√

e−

=

√

∫ (x − a)e−

dx+

2 2

2 2

2

2

∞

−∞

a

(x a)2

a

√

∫

(x − a)e−

√

√

+

dx (интеграл Лапласа) = 0 +

2 = a

2 2

2

2

−∞

Вывод: Распределение случайной величины, распределённой нормально, равно пара-метру распределения.

12

Дисперсия случайной величины и её основные свойства.

Дисперсия D - число, определяемое формулой D = M( − M )² (1), т.е. дисперсия представляет собой квадрат разности случайной величины и её математического ожида-ния. Другое название - квадрат среднеквадратического отклонения.

√

Часто в прикладных задачах вместо D рассматривают величину D, называемую сред-неквадратическим отклонением

Формулу (1) можно продолжить, тогда мы получим

D = M ^{( 2} − 2 M + (M )²⁾ = M² − 2M + 2M + (M )² = M² − (M )²;

откуда (2) D = M² + (M )²

1. Пусть - дискретная величина, принимающая значения x₁; : : : ; x_n с вероятностями p₁; : : : ; p_n

n	n
D =	(xkM )2 ∗ pk = (2) =(xk2 ∗ pk)2 − (M )2
k=1	k=1
∑	∑

2. Пусть - непрерывная случайная величина, значит может быть определена функция f (x).

_∫∞

D = (1) = x²f (x)dx − (M )²

−∞

Дадим механическую интерпретацию математического ожидания и дисперсии случай-ной величины. Будем представлять закон распределения вероятностей p_k = P ( =

_∑n

x_k); p_k = 1 случайной величины , как закон распределения единичной массы на пря-

k=1

мой: в точках x_k сосредоточены массы p_k :

− − −	x1	− − −	x2	− · · · −	xn	− −− > x
	p1		p2		xn

Тогда

∑ⁿ

M = x_kP ( = x_k) - центр тяжести СМАТ

k=1

∑ⁿ

D = (x_k − M )² ∗ p_k - момент инерции относительно начала координат

k=1

13

(x a)²

Пример: D =?; f (x) = e^{− 2 2}