Теорема сложения вероятности для совместных случайных событий.

(диаграмма Венна: A = m₁; B = m₂; A ∩ B = l).

P (AB) =	l
	n
P (A + B) =			(m1+m2−l)	= (в m1 и m2 входит l) =	m1	+	m2	−	l
			n		n		n		n

События A и B называются независимыми, если результат выполнения события A не связан с результатом события B. (извлечение двух чёрных шаров из разных урн – неза-висимые события)

• Теорема умножения вероятности для двух независимых событий:

Если A и B независимы, то P (AB) = P (A) ∗ P (B)

Пример 1: Какова вероятность при двух бросках монеты оба раза выпадет орёл?

P (AB) = ?
A{орёл}	P (A) = 21 ;
B{решка}	P (B) = 1	;
	2	1 .
	P (AB) =
		4

Пример 2: В колоде 52 карты, 4 масти, 2 козыря. Какова вероятность того, что взятая на-угад карта 2 является тузом или козырем?

A{туз} P (A) = 1/13;

B{козырь} P (B) = 1/4;

P (AB) = 1/52;

A и B совместны, независимы.

P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 1/13 + 1/4 − 1/52 = 4/13 .

Условная вероятность.

Рассмотрим пример: В урне M чёрных шаров и N − M белых. Случайное событие A {извлечение чёрного шара} и

B {извлечение чёрного шара из той-же урны после того, как из неё уже вынут один шаp}

(m − 1)

P (B|A) =

(n − 1)

Поскольку, если событие A имело место, то в урне осталось M − 1 чёрных шаров.

¯		m
P (B|A) =	(n	−	1)

^¯ первый вынутый шар - белый

A : { }

Вероятность события B здесь разная. Вероятность, которую имеет событие B в том, слу-чае, когда известно, что событие A имело место называется условной вероятностью со-бытия B при условии выполнения события A.

6

P (B/A) = P (B|A) = P_A(B)

Условные вероятности можно вычислять аналогично вычислению безусловных вероят-ностей.

• случае если A и B независимы, P (A|B) = P (A) ∗ P (B).

• случае зависимости P (AB) = P (A) ∗ P (B|A) = P (B) ∗ P (A|B).

• обоих случаях мы имеем правило умножения вероятностей. В одном случае для неза-висимых событий, в другом для зависимых. Последнее соотношение часто кладут в опре-деление условной вероятности.

P (B|A) =	P (AB)	P (A|B) =	P (AB)
	P (A)		P (B)

Из предыдущей формулы можем составить пропорцию:

P (B|A) ₌ P (A|B)

P (B) P (A)

Из определения условной вероятности вытекают ее основные свойства:

1. 0 6 P (B|A) 6 1, причём P (B|A) = 1 когда A ⊂ B; B - достоверное случайное событие.

P (B|A) = 0 ⇐⇒ A; B несовместны, или известно, что B – невозможное событие. 2. Пусть B₁ ⊂ B (появление B₁ вызывает событие B). P (B1|A) 6 P (B|A).

3. Если B и C несовместны P (B + C|A) = P (B|A) + P (C|A) (теорема сложения веро-ятностей для несовместных событий)

4. ^¯

P (B|A) = 1 − P (B|A)

Замечание: Пусть имеется K (и только K) попарно несовместных исходов некоторого опыта A₁; A₂; : : : ; A_k, называемых гипотезами. Пусть некоторое случайное событие B может произойти при выполнении одной из гипотез. Тогда очевидно, что B = A₁B + A₂B + : : : + A_kB (все события A_iB несовместны, поэтому можно воспользоваться тео-ремой сложения вероятностей)

	(	k		)		k		k	P (Ai) ∗ P (B|Ai)
P (B) = P		i=1	AiB		=	=1	P (AiB) =	i=1
		∑				∑i		∑ (	)

Формула носит название формулы полной вероятности

_∑k

P (B) = P (A_i) ∗ P (B|A_i)

i=1

7

Задача: Имеется 5 урн : в двух по одному белому и пять чёрных шаров; в одной – 2 бе-лых, 5 чёрных; в двух – 3 белых, 5 чёрных шаров. Наудачу выбирается одна урна. Из неё извлекается один шар. Какова вероятность того, что шар белый?

Решение: Выберем в качестве гипотез 3 способа
A1	: {Выбрана урна с 1 б.ш}	P (A1) = 2/5	P (B|A1) = 1/6
A2	: {Выбрана урна с 2 б.ш}	P (A2) = 1/5	P (B|A2) = 2/7
A3	: {Выбрана урна с 3 б.ш}	P (A3) = 2/5	P (B|A3) = 3/8

B = извлечён белый шар

P (B) = ¹₆ ∗ ²₅ + ²₇ ∗ ¹₅ + ³₈ ∗ ²₅ = ²³₈₄

Математическое ожидание случайной величины и его основные свойства

Введение.

Важнейшей числовой характеристикой является её математическое ожидание или

∑ⁿ

среднее значение, вычисляемое по правилу M = x_ip_i), где x_i – принимаемые зна-

i=1

чения, p_i – вероятности их выпадения.

С помощью математического ожидания мы можем сравнивать между собой две случай-ные величины (например, из двух стрелков лучший тот, кто выбивает в среднем наиболь-шее число очков), однако встречаются задачи, в которых знание одного лишь M недо-статочно.

Пример: Пушка ведёт прицельный огонь по мишени, удалённой от пушки на расстояние a. Обозначим дальность полёта снаряда через километров; M = a

Отклонение M от a свидетельствует о наличии систематической ошибки (производ-ственный дефект, неправильный угол наклона). Ликвидация систематической ошибки до-стигается изменением угла наклона орудия.

Вместе с тем, отсутствие систематической ошибки ещё не гарантирует высокую точность стрельбы. Чтобы оценить точность надо знать, насколько близко ложатся снаряды к цели.

Как определить точность стрельбы и сравнить между собой качество стрельбы двух ору-дий?

Отклонение снаряда от цели - − a

M( − a) = M − a = a − a = 0

В среднем, положительные и отрицательные значения M сокращаются. Поэтому приня-то характеризовать разброс значений случайной величины математическим ожиданием квадрата её отклонения от своего математического ожидания. Полученное таким обра-зом число называется дисперсией случайной величины .

D = M( − a)² = M[ − M ]²

Ясно, что в случае орудий, ведущих стрельбу, лучшим следует считать орудие, у которого D будет наименьшей.

8

Пусть характеризуется таблицей вероятностей

xi :	x1	x2		: : :	xn
pi :	p1	p2		: : :	pn
					n		n
			M = xipi;				D = M( − M )2 = (xi − M )2 ∗ pi
					i=1		=1
					∑		∑i

Определение математического ожидания

Пусть есть некоторое пространство, в котором имеется некоторое = (!_i).

!_i – неразделимое событие (пример: исходы броска монеты); !_i : (i = 1; n¯).

Совокупность !_i образует пространство элементарных событий Ω = {!₁; !₂; : : : ; !_n}

Математическим ожиданием случайной величины называется число, обозначаемое M и равное

∑ ∑ⁿ

M = {(!_i) ∗ P (!_i)} = (!_i) ∗ p(!_i), где p_i - элементарные вероятности.

!_i∈Ω i=1

Из определения математического ожидания вытекают следующие свойства: 1. Аддитивность. M( + ) = M + M .

( n	)	n
∑		∑
Следствие M	k =	(M k).
k=1		k=1

2. ∀C = const : M(C ∗ ) = C ∗ M . Совокупность свойств 1 и 2 даёт нам свойство линейности математического ожидания:

M(C_{1 1} + C_{2 2} + : : : + C_{n n}) = C₁M( ₁) + C₂M( ₂) + : : : + C_nM( _n)

3. Математическое ожидание индикатора случайного события равно вероятности этого случайного события.

Индикатор [ ]: M _A(!) = P (A) - случайная величина, принимающая 2 значения:

_A(!) = {1; ! ∈ A | 0; ! ̸∈A}

∑

P (!) = P (A)

!∈A

M A(!) =	1 ∗ p(!) +0 ∗ p(!) =	1 ∗ p(!) = P (A):
!∈A	!̸∈A	!∈A
∑	∑	∑

4. Свойство монотонности > ⇒ M > M .

9

Докажем вначале, что имеет место следующее свойство > 0 ⇒ M > 0 (при разложе-нии по определению неотрицательны).

∑

M = (!)p(!) > 0:

!

Применим полученное свойство:

− > 0 ⇒ M( − ) > 0 ⇒ M − M > 0 ⇒ M > M :

Формулы вычисления математического ожидания

Пусть x₁; x₂; : : : ; x_n –- значения случайной величины , принимаемые с вероятностями p₁; : : : ; p_i. Тогда имеет место следующая формула для вычисления математического ожи-дания :

∑ⁿ

M = x_i ∗ P ( = x_i)

i=1

Чтобы доказать формулу будем исходить из того, что может быть представлена в виде линейной комбинации индикаторов случайных событий

∑ⁿ

= x_i ∗ _Ai (!)

i=1

A_i{!_i : = x_i}

Левые и правые части соотношения совпадают. Применим к написанному равенству опе-рацию математического ожидания:

(

n

)

n

n

n

M

i=1

xi Ai (!)

=

i=1

M xi Ai

(!) =

i=1

xiM Ai

(!) =

=1

xiP ( = xi)

∑

∑

(

)

∑

(

)

∑i

Рассуждая аналогично, нетрудно получить формулы вычисления математического ожи-дания от величин, представляющих собой функции случайных величин.

Пусть заданы f( ); g( ; ).

В этом случае

n

M(f( )) =			(f(xi) ∗ P ( = xi))
		=1
		∑i		)
	n	m
M(g( ; )) =	=1	(j=1 g(xi; yj) ∗ P= xi; = yi
	∑i	∑	(	)

Здесь P ( ; ) – совместная вероятность.

10

• Мультипликативное свойство математического ожидания

Пусть ; - независимые случайные величины, то M( ; ) = M ∗ M Доказательство:

	n	m		)
M( ; ) =	=1	(j=1 xi ∗ yj ∗ P= xi; = yj
∑i		∑	(	)

Если ; независимы, то для них применима теорема умножения вероятности.

P ( = x_i; = y_j) = ( ; независимы) = P ( = x_i) ∗ P ( = y_j)

n	m
=1	(j=1 xi ∗ yj ∗ P ( = xi) ∗ P ( = yj))	=
∑i	∑
n	m
∑	∑

• x_i ∗ P ( = x_i) ∗ y_i ∗ P ( = y_j) = M ∗ M

i=1 j=1

Замечание: Все написанные формулы имеют место, если вероятностное пространство конечно, т.е. число элементарных событий конечно !_i = (1; n¯).

В случае, если вероятностное	пространство счётно, количество элемен-
тарных сообщений бесконечно,	тогда для случайной величины (!); !			∈
(счетное вероятностное пространство) имеют место следующие формулы:
	!i; i = [1; ∞]
	∞
M =	(xi ∗ P ( = xi))
	=1
	∑i

_∑∞

Mf( ) = (f(xi) ∗ P ( = x_i))

i=1

В формулах справа стоят ряды. Чтобы математические ожидания существовали надо, что-бы эти ряды сходились. Ряд сходится, если он имеет конечную сумму.

Задача: Вычислить M , распределённой по закону Пуассона. P ( = k) = (a^k/k!)e^−a, где k = {0; 1; 2; 3; 4; : : : ; ∞}; a > 0 – заданный заранее характер распределения.