9. Сопряженная математическая модель электромагнитных и тепловых процессов индукционного нагрева

Нестационарные электромагнитные и тепловые процессы индукционного нагрева могут быть представлены сопряженной системой нелинейных уравнений в частных производных

где – вектор магнитного потенциала, который представляет собой функции координат и времени;

–напряжение на одном витке индуктора;

–магнитная проводимость вакуума;

–относительная магнитная проницаемость;

–удельная электрическая проводимость стали;

–удельная теплоемкость;

– плотность;

–коэффициент теплопроводности;

–удельная объемная мощность в заготовке, которая определяется по закону Джоуля–Ленца ;

Электрические и теплофизические характеристики зависят от температуры:

а магнитная проницаемость стали зависит от температуры и напряженности магнитного поля Н [1; 2; 3].

где – температура магнитных превращений (температура Кюри), для большинства сталей°C;

–температура в Кельвинах;

–начальная температура заготовки в Кельвинах.

Для определения напряженности магнитного поля определимиз теплового расчета индуктора приведенного в [1]. Из теплового расчета приведенного в пункте 4.2 и 4.3 видим, чтоиндуктора методического и периодического действия отличаются друг от друга всего на 3,3%. Далее для холодного режима определяем значение, взяв за удельное сопротивление, частоту,. Из графика функцийопределяемА/м в холодном режиме.

Уравнения электромагнитного поля удовлетворяют следующим граничным условиям на поверхностях сопряжения сред с разными электромагнитными свойствами приведенным на рисунке 9.1.

Граничные условия IV рода определяется из следующего выражения:

Откуда получим граничные условия для следующих границ:

1. воздух ˗ внешняя поверхность заготовки (R₂₂):

2. внутренняя поверхность заготовки (R₂₁)-воздух (полость заготовки):

3. воздух-теплоизоляция:

Рисунок 9.1 – Граничные условия на поверхностях сопряжения двух сред с разными электромагнитными свойствами.

На внешней границе значение магнитного потенциала принимаем равным 0 (А=0). Тем самым мы пренебрегаем воздействием внешних магнитных полей, которые могут появиться от сторонних источников.

На границе индуктор ˗ теплоизоляция так же применим граничные условия четвертого рода: . При этомопределяется из закона полного тока без учета токов смещения.

Рассмотрим тепловые процессы, которые графически представлены на рисунке 9.2.

При анализе примем следующие допущения:

1. Излучение на внутренней поверхности цилиндра не учитывается потому, что излучение внутри заготовки происходит на собственную противоположную поверхность. Тем самым потери будут совсем не значительными.

Рисунок 9.2 – Графическое представление тепловых процессов при индукционном нагреве в заготовке.

2. Так же не учитывается отражение тепла, излученной с наружной поверхности заготовки, от теплоизоляции индуктора, ввиду большой разницы температур между заготовкой и теплоизоляцией индуктора. Считаем, что все тепло поглощается теплоизоляцией и охлаждается водой.

Теплообмен конвекцией через наружную стенку описывается следующим выражением:

;

где – коэффициент теплоотдачи,;

–температура стенки,;

–температура окружающей среды, ;

–площадь поверхности конвективного теплообмена, .

В этом выражении определенную сложность составляет вычисление коэффициента теплоотдачи . Ниже приведен расчет коэффициента теплоотдачи для цилиндрической заготовки по методике, приведенной в [7]. В данной методике определениеосуществляется с помощью безразмерных параметров [7].

;

где Nu – число Нуссельта, представляет собой безразмерный коэффициент теплоотдачи.

В свою очередь Nu зависит ряда других безразмерных параметров.

где Gr – число Грасгофа

Pe – число Пекле

– коэффициент объемного расширения среды, 1/℃;

–кинематическая вязкость среды, ;

–ускорение свободного падения, ;

–разность температур, ℃;

–скорость движения среды, м/с;

–коэффициент температуропроводности, ;

–определяющий размер (диаметр), м.

При индукционном нагреве с наружной поверхности происходит естественная конвекция. Для естественной конвекции число Nu не учитывает число Рейнольдса, которое выражает отношение скоростного напора среды к силам вязкого трения. С учетом выше указанного выражение запишется следующим образом:

Найдем число Грасгофа для воздуха при разности температур между поверхностью заготовки и окружающей средой 850°С. Коэффициенты, учитывающие теплофизические свойства воздуха берем из [7;8].

Определяем число Нуссельта. Число Pr возьмем из таблиц, приведенных в [8]:

Определяем :

Потеря излучением через наружную стенку определяется по закону Стефана-Больцмана:

где –излучательная способность серого тела, Вт/м²∙K⁴;

–коэффициент излучения абсолютного черного тела, Вт/м²∙K⁴;

–степень черноты тела;

–температура излучающей стенки, K;

–температура окружающей среды, K.

Граничные условия для тепловых процессов на границах с разными теплофизическими свойствами, представлены на рисунке 9.3.

1. Граничное условие первого рода задает распределение температуры по поверхности тела в любой момент времени. Данным граничным условием обладают: во-первых, внешние границы (рисунок 9.3) ; во-вторых, чтобы не решать уравнения движения охлаждающей жидкости во внутренней поверхности индуктирующего провода предположим, что температура на границе вода-индуктор постоянна и равно 319 К.

2. Граничное условие третьего рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой (закон Ньютона). Данный вид теплообмена был описан выше с определением коэффициента теплоотдачи.

Рисунок 9.3 – Граничные условия для тепловых процессов при индукционном нагреве.

1. Граничное условие четвертого рода соответствует теплообмену поверхности тела с окружающей средой или теплообмену соприкасающихся твердых тел. На рисунке 10.3 указаны границы, где задается данный тип граничных условий и записываются следующими выражениями:

• Для внутренней границы заготовки ;

• Для границ теплоизоляции индуктора с воздухом ;

• Для границы теплоизоляция индуктора с индуктором ;

Для получения решения так же задаем начальные условия. Во всех элементах индуктора в начальный период нагрева температура равна .