2. Методы решения задачи Коши.

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.

Графические методыподразумевают геометрические построения. В частностиметод изоклинприменяется для решения дифференциальных уравнений первого порядка и основан на геометрическом определении интегральных кривых по заранее построенному полю направлений, определенному изоклинами.

Аналитические методыподразумевают получение решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Приближенные методыиспользуют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов.

Нас интересуют численные методы. Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений являетсяметод конечных разностей. Сущность его состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек, называемыхузлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называетсясеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. Такая замена дифференциального уравнения разностным называется егоаппроксимациейна сетке (илиразностной аппроксимацией). Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

Важнейшие вопросы при решении дифференциального уравнения численным методом (при выборе того или иного метода):

1. Обоснованность замены дифференциального уравнения разностным.

2. Точность получаемых решений.

3. Устойчивость метода.

3. Одношаговые методы: Эйлера и его модификации, метод Рунге-Кутта.

Метод Эйлера.

Задача Коши: найти решение дифференциального уравнения

, (1)

удовлетворяющее начальному условию

. (2)

Геометрически: найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку (рис. )

При решении задачи Коши на интервале , выбрав достаточно малый шаг, построим систему равноотстоящих точек:

. (3)

Для вычисления значения функции в точке разложим функциюв окрестности точкив ряд Тейлора:

. (4)

При достаточном малом значении членами выше второго порядка можно пренебречь, и с учетомполучим следующую формулу для вычисления приближенного значения функциив точке:

. (5)

Рассматривая найденную точку как начальное условие задачи Коши, запишем аналогичную формулу для нахождения значения функциив точке

.

Повторяя этот процесс, сформируем последовательность значений в точкахпо формуле:

. (6)

Процесс нахождения значений функции в узловых точкахпо формуле (6) называется методом Эйлера. Геометрическая интерпретация метода Эйлера состоит в замене интегральной кривойломанойс вершинами. Звенья ломаной Эйлерав каждой вершинеимеют направление, совпадающее с направлением интегральной кривойуравнения (1), проходящей через точку(рис.). Последовательность ломаных Эйлера прина достаточно малом отрезкестремится к искомой интегральной кривой.

Рис. 7.2 Геометрическая интерпретация метода Эйлера

На каждом шаге решение определяется с ошибкой за счет отбрасывания членов ряда Тейлора выше первой степени, что в случае быстроменяющейся функцииможет привести к быстрому накапливанию ошибки. В методе Эйлера следует выбирать достаточной малый шаг.

Метод Эйлера является очень простым методом решения задачи Коши, но недостаточно точным: для его использования нужно выбирать достаточно маленький шаг интегрирования .

В связи с недостаточной точностью метода Эйлера для повышения точности используется его модификация.

При модифицированном методе Эйлерасначала вычисляют промежуточные значения

. (7)

после чего находят значение по формуле:

. (8)

Метод Рунге-Кутта.

Рассмотренные выше методы Эйлера (как обычный, так и модифицированный) являются частными случаями явного метода Рунге-Кутта -ro порядка. В общем случае формула вычисления очередного приближения методом Рунге-Кутта имеет вид:

. (9)

Функция приближает отрезок ряда Тейлора до-ro порядка и не содержит частных производных.

Метод Рунге-Кутта первого порядка

Метод Эйлера является методом Рунге-Кутта первого порядка () и получается при.

Метод Рунге-Кутта второго порядка

Семейство методов Рунге-Кутта второго порядкаимеет вид:

. (10)

Два наиболее известных среди методовРунге-Кутта второго порядка‑ это метод Хорна () и модифицированный метод Эйлера ().

Подставив в общую формулу (7.16), получаем расчетную формулу метода Хорна:

(11)

При получаем расчетную формулу модифицированного метода Эйлера:

. (12)

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

Наиболее известным является метод Рунге-Kyттa четвертого порядка, расчетные формулы которого можно записать в виде:

(13)