Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вычислительные методы в прикладной ЭЭ / zadacha_optimizatsii

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2016

Размер:

270.34 Кб

Скачать

☆

Решение задач оптимизации.

Основные понятия и определения. Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. С точки зрения инженерных расчетов методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов и т. п.

В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. При решении инженерных задач их принято называть проектными параметрами. В качестве проектных параметров могут быть значения линейных размеров объекта, массы, температуры и т. п. Число проектных параметров характеризует размерность (и степень сложности) задачи оптимизации.

Выбор оптимального решения или сравнение двух альтернативных решений проводится с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества). В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет минимум (или максимум). Таким образом, целевая функция ‑ это глобальный критерий оптимальности в математических моделях, с помощью которых описываются инженерные или экономические задачи.

Целевую функцию можно, записать в виде

(1)

Примерами целевой функции, встречающимися в инженерных и экономических расчетах, являются прочность или масса конструкции, мощность установки, объем выпуска продукции, стоимость перевозок грузов, прибыль и т.п.

В случае одного проектного параметра () целевая функция (1) является функцией одной переменной, и ее график ‑ некоторая кривая на плоскости. При целевая функция является функцией двух переменных, и ее графиком является поверхность.

Целевых функций может быть несколько. Например, при проектировании изделий машиностроения одновременно требуется обеспечить максимальную надежность, минимальную материалоемкость, максимальный полезный объем (или грузоподъемность). Некоторые целевые функции могут оказаться несовместимыми. В таких случаях необходимо вводить приоритет той или иной целевой функции.

Задачи оптимизации. Можно выделить два типа задач оптимизации ‑ безусловные и условные.

Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции (1) от действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором множестве -мерного пространства. Обычно рассматриваются задачи минимизации; к ним легко сводятся и задачи на поиск максимума путем замены знака целевой функции на противоположный.

Условные задачи оптимизации, или задачи с ограничениями,— это такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве . Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.

Ограничения-равенства выражают зависимость между проектными параметрами, которая должна учитываться при нахождении решения. Эти ограничения отражают законы природы, наличие ресурсов, финансовые требования и т. п.

Одномерная задача оптимизации – задача, в которой целевая функция зависит лишь от одного аргумента.

Многомереная задача оптимизации ‑ задача, в которой целевая функция зависит от многих проектных параметров.

В данной лабораторной работе решается задача одномерной оптимизации методом золотого сечения. В общем случае одномерная задача формулируется следующим образом. Найти наименьшее (или наибольшее) значение целевой функции , заданной на множестве , и определить значение проектного параметра , при котором целевая функция принимает экстремальное значение.

Метод золотого сечения состоит в построении последовательности отрезков стягивающихся к точке минимума функции . На каждом шаге, за исключением первого, вычисление значения функции проводится лишь один раз. Эта точка, называемая золотым сечением, выбирается специальным образом.

Рис. 1. Метод злотого сечения.

Поясним сначала идею метода геометрически, а затем выведем необходимые соотношения. На первом шаге процесса оптимизации внутри отрезка (рис. 1, а) выбираем две внутренние точки и и вычисляем значения целевой функции и . Поскольку в данном случае , очевидно, что минимум расположен на одном из прилегающих к отрезков или . Поэтому отрезок можно отбросить, сузив тем самым первоначальный интервал неопределенности.

Второй шаг проводим на отрезке (рис. 1, б), где , . Нужно снова выбрать две внутренние точки, но одна из них () осталась из предыдущего шага, поэтому достаточно выбрать лишь одну точку , вычислить значение и провести сравнение. Поскольку здесь , ясно, что минимум находится на отрезке . Обозначим этот отрезок , снова выберем одну внутреннюю точку и повторим процедуру сужения интервала неопределенности. Процесс оптимизации повторяется до тех пор, пока длина очередного отрезка не станет меньше заданной величины .

Теперь рассмотрим способ размещения внутренних точек на каждом отрезке . Пусть длина интервала неопределенности равна , а точка деления делит его на части в некотором соотношении, так что и .

Золотое сечение интервала неопределенности выбирается так, чтобы отношение длины большего отрезка к длине всего, интервала равнялось отношению длины меньшего отрезка к длине большего отрезка, т.е.

(2)

Из этого соотношения можно найти точку деления, определив отношение . Преобразуем выражение (2) и найдем это значение:

, , , .

Решив последнее квадратичное уравнение, получим

Отсюда и .

Поскольку заранее неизвестно, в какой последовательности и или и ) делить интервал неопределенности, то рассматривают внутренние точки, соответствующие двум этим способам деления. Координаты точек деления и отрезка на -м шаге оптимизации ():

, .

При этом длина интервала неопределенности равна

Процесс оптимизации заканчивается при выполнении условия . При этом проектный параметр оптимизации составляет , а оптимального значение составит .

На рис. 2 представлена блок-схема процесса одномерной оптимизации методом золотого сечения. Здесь и ‑ точки деления отрезка , причем .

Рис. 2. Блок-схема реализации метода золтого сечения.

Пример. Для оценки сопротивления дороги (для шоссе) движению автомобиля при скорости v км/ч можно использовать эмпирическую формулу

Определить скорость, при которой сопротивление будет минимальным.

Решение. Это простейшая задача одномерной оптимизации. Здесь сопротивление ‑ целевая функция, скорость ‑ проектный параметр. Данную задачу легко решить путем нахождения минимума с помощью вычисления производной, поскольку ‑ функция дифференцируемая. Действительно, .

Приравняв производную нулю, находим км/ч.

Проиллюстрируем на этой задаче метод золотого сечения. Первоначально границы интервала неопределенности примем равными , .

Результаты вычислений представим в виде таблицы (табл. 1).

Здесь обозначения аналогичны используемым в блок-схеме (см. рис. 2). Расчеты проводятся в соответствии с блок-схемой с погрешностью км/ч.

Табл. 1.

Приведем решение для первого этапа:

; ;

;

Далее проводятся вычисления для второго, третьего и т.д. этапов. При данной невысокой точности вычислений достаточно четырех шагов оптимизации. В этом случае искомое значение скорости равно

км/ч.