1. Общие сведения.

2. Методы решения задачи Коши.

3. Одношаговые методы: Эйлера и его модификации, Рунге-Кутта.

4. Многошаговые методы: прогноза-коррекции Адамса, Милна.

5. Решение системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.

6. Решение дифференциального уравнения n-го порядка.

7. Краевые задачи и методы их решения. Методы «стрельбы». Нелинейное уравнение краевой задачи и его решение методами половинного деления, Ньютона, секущих-хорд. Решение краевой задачи методом конечных разностей.

1. Общие сведения.

Многие задачи механики, физики, электротехники при математическом моделировании сводятся к решению дифференциальных уравнений. В дисциплине «Вычислительные методы» рассматриваются методы решения дифференциальных уравнений, которые особенно эффективны в сочетании с вычислительной техникой.

Рассмотрим основные понятия.

В зависимости от числа независимых переменных дифференциальные уравнения делятся на две категории:

‑ обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную;

‑ уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.

Обыкновенные дифференциальные уравнениясодержат одну или несколько производных от искомой функции

(*),

где ‑ независимая переменная.

Наивысший порядок входящей в уравнение производной называется порядком дифференциального уравнения.

‑ обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

‑ обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

Из общей записи дифференциального уравнения можно выразить старшую производную в явном виде: ,.

Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Линейным дифференциальным уравнениемназывается уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производных. Например,‑ линейное уравнение первого порядка.

Решениемдифференциального уравнения называется всякая функция, которая при подстановке в уравнение превращает последнее в тождество.

Общее решениеобыкновенного дифференциального уравнения-го порядка содержитпроизвольных постоянных, и имеет вид

.

Частное решениедифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной произвольной постоянной:

(**).

Если постоянная принимает определенное значение , то получим частное решение

.

Обозначим геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка. Поскольку производная характеризует наклон касательной к интегральной кривой в данной точке, то прииз (*) получим‑ уравнение линии постоянного наклона, называемойизоклиной. Меняя значение, получаем семейство изоклин.

Приведем геометрическую интерпретацию общего решения (**). Это решение описывает бесконечное семейство интегральных кривых с параметром , а частному решению соответствует одна кривая из этого семейства.

Для уравнений высших порядков геометрическая интерпретация более сложная. При через каждую точку проходит не одна кривая. Поэтому, для выделения частного решения из общего нужно задавать столько дополнительных условий, сколько произвольных постоянных в общем решении, т.е. каков порядок уравнения. Для уравнения второго порядка необходимо задать два дополнительных условия, благодаря которым можно найти значения двух произвольных постоянных.

В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения существуют два типа задач:

‑ задача Коши;

‑ краевая задача.

При этом в качестве дополнительных условий могут задаваться значения искомой функции и ее производных в некоторых точках.

В задаче Кошидополнительные условия называютсяначальными условиямии задаются в одной точке(начальная точка).

Если же дополнительные условия задаются более чем в одной точке, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия при этом называютсяграничными (или краевыми) условиями.

На практике обычно граничные условия задаются в двух точках и, которые являются границами решения дифференциального уравнения.