6.Производная
и дифференциал.
Определение
производной
-
Пусть
функция
у =
(х)
определена на промежутке Х.
Возьмем
точку хХ.
Дадим значению х
приращение х0,
тогда функция получит приращение у
= (
х+х
) - (
х ).
-
Производной
функции
у
=
(х)
называется предел
отношения
приращения функции у
к приращению аргумента х
при стремлении х
к нулю.
-
Если
функция в точке х0
имеет
конечную производную, то функция
называется дифференцируемой
в этой точке.
-
Производная
функции у
=
(х)
в точке х0
является
значением функции (
х)
в точке х0.
-
Функция
дифференцируемая во всех точках
промежутка Х,
называется дифференцируемой
на этом промежутке.
Геометрический
смысл производной
-
Производная
есть угловой коэффициент
касательной (тангенс угла наклона
касательной), проведенной к кривой
y=f(x)
в точке х0.
-
Уравнение
касательной к кривой y=f(x)
имеет вид:
Правила
дифференцирования
-
Производная
постоянной равна нулю, т.е. С=0.
-
Производная
аргумента равна 1, т.е. х=1
-
Производная
алгебраической суммы конечного числа
дифференцируемых функций равна такой
же сумме производных этих функций,
т.е. (u
+ v)
= u
+ v.
-
Производная
произведения двух дифференцируемых
функций вычисляется по формуле: (u
v)
= u
v
+ u
v.
-
Следствие.
Постоянный множитель можно выносить
за знак производной: (Сu)
= Cu.
Производная
частного двух дифференцируемых функций
может быть найдена по формуле:
Производная
сложной функции
-
Теорема.
Если
у
= f(u)
и u
=
(x)
– дифференцируемые функции от своих
аргументов, то производная сложной
функции существует и равна произведению
данной функции по промежуточному
аргументу и умноженной на производную
самого промежуточного аргумента по
независимой переменной х,
т.е у
= (u)u.
Производной
n-го
порядка
называется производная от производной
(n
–1)-го порядка.
Обозначение
производных: (
х)
второго порядка, (
х)
– третьего порядка. Производные более
высокого порядка обозначаются следующим
образом:
(n)
( х)
– производная n-го
порядка.
Правило
Лопиталя. Предел
отношения двух бесконечно малых или
бесконечно больших функций равен
пределу отношения их производных
(конечному или бесконечному), если
последний существует в указанном
смысле.
Итак,
если имеется неопределенность вида
[0/0] [/],
то:
|