6.Производная и дифференциал.

Определение производной

• Пусть функция у = (х) определена на промежутке Х. Возьмем точку хХ. Дадим значению х приращение х0, тогда функция получит приращение у = ( х+х ) - ( х ).

• Производной функции у = (х) называется предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х при стремлении х к нулю.

• Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

• Производная функции у = (х) в точке х₀ является значением функции ( х) в точке х₀.

• Функция дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной

• Производная есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной), проведенной к кривой y=f(x) в точке х₀.

• Уравнение касательной к кривой y=f(x) имеет вид:

Правила дифференцирования

• Производная постоянной равна нулю, т.е. С=0.

• Производная аргумента равна 1, т.е. х=1

• Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е. (u + v) = u + v.

• Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: (u v) = u v + u v.

• Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (Сu) = Cu.

Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Производная сложной функции

• Теорема. Если у = f(u) и u =  (x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е у = (u)u.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n –1)-го порядка.

Обозначение производных: ( х)  второго порядка, ( х) – третьего порядка. Производные более высокого порядка обозначаются следующим образом:  ⁽ⁿ⁾ ( х) – производная n-го порядка.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида [0/0] [/], то:

7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, Ролля, Лагранжа.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f′(x₀)=0.

Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на [a,b];

2. дифференцируема на [a,b];

3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)= f(b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка

ε ( a,b), в которой производная равна нулю (f′(ε)=0).

Теорема Лагранжа. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на [a,b];

2. дифференцируема на [a,b].

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка

С( a,b), в которой производная равна частному от деления приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке, т.е.