Vvedenie_v_analiz_2013

Воронежский государственный университет

Факультет прикладной математики, информатики и механики

Кафедра математического и прикладного анализа

Астахов А.Т., Виноградова Г.А.,Ляхов Л.Н., Ларин А.А., Мешков В.З., Половинкин И.П., Половинкина М.В., Украинский П.С., Шашкин А.И., Шишкина Э.Л.

ОБЩИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Методическое пособие для студентов, обучающихся по направлениям (специальностям)

010300 Фундаментальная информатика и информационные технологии (дисциплины Б2.Б.1 Математический анализ и Б2.В.ОД.8 Практикум по математическому анализу),

010400 Прикладная математика и информатика (дисциплины Б2.Б.1

Математический анализ I и Б2.В.ОД.1 Практикум по математическому анализу I),

010500 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем (дисциплина Б2.Б.1 Математический анализ),

010701 Фундаментальная математика и механика (дисциплина С3.Б.1 Математический анализ),

010800 Механика и математическое моделирование (дисциплина Б3.Б.1 Математический анализ),

080500 Бизнес-информатика (дисциплина Б2.Б.1 Математический анализ),

230700 Прикладная информатика по областям (дисциплины Б2.Б.1.1 Математический анализ).

ПРИ КОПИРОВАНИИ И ИСПОЛЬЗОВАНИИ ССЫЛКА ОБЯЗАТЕЛЬНА!

Воронеж 2013

1

Необходимые сведения из математической логики и теории множеств.

Математическая логика вместе с теорией множеств является фундаментом, на котором построена вся современная математика. Как с прикладной, так и с общеобразовательной точки зрения математическая логика представляет интерес тем, что она позволяет изучать общие логические законы, которые мы постоянно применяем при рассуждениях и дискуссиях (закон двойного отрицания, закон противоречия и т. п.). Изучение математического анализа невозможно себе представить без знания математической логики, как основного инструмента исследования. Поэтому мы начинаем с небольшого обзора сведений из математической логики.

Высказывания и операции над ними. Понятия высказывания, множества, элемента и принадлежности элемента множеству являются в математике первичными и не определяются при помощи других математических понятий. Под высказыванием понимается повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно или истинно (в этом случае ему присваивается значение "1") или ложно (в этом случае ему присваивается значение "0"). Как и многие другие математические объекты, высказывания мы будем, в случае надобности, обозначать различными (строчными, прописными) буквами латинского, греческого алфавитов, возможно с индексами: A; a; B; b; A1; xi; ®; ¯; : : : .

ПРИМЕРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.

1.А = "два умножить на два равно семи- 0

2.В = "два плюс два равно 4- 1

3.С = "снег белый- 1

4.Д = "если сегодня среда, то завтра будет четверг- 1 Существуют, очевидно, предложения русского языка,

2

которые заведомо не являются высказываниями. Например: "Ты пойдешь в кино?", "Отойди от доски!"и т.п. Но есть предположения, которые по своей структуре очень схожи с высказываниями, но таковыми не являются. Рассмотрим следующий пример. Возьмем два листа бумаги, пронумеруем их - номер 1 и номер 2. На первом листе напишем высказывание "На втором листе написана ложь", на втором листе напишем высказывание "На первом листе написана истина". На первый взгляд обычное высказывание, ничем не отличающееся от многих подобных, но...! Задавшись вопросом, истинно оно или ложно, мы быстро увидим, что любое из этих предположений приводит к противоречию, то есть о нем нельзя сказать, истинно оно или ложно. Такие ситуации в математике и семантике называются логическими парадоксами. Таким образом, предложение, по форме похожее на высказывание,

ранее введенных понятий, не являются высказываниями. Например, предложение "Параллелограммом называется четырехугольник с попарно параллельными сторонами"не является высказыванием.

Из простых высказываний можно получать более сложные с помощью так называемых логических связок или логических операций.

Основные логические операции над высказываниями:

–отрицание (¹¢ или :) связка "НЕ";

–дизъюнкция (_) связка "ИЛИ";

–конъюнкция (^) связка "И";

–импликация (!) связка "ЕСЛИ ..., ТО ...;

–эквиваленция ($) связка "ЭКВИВАЛЕНТНО", "РАВНОСИЛЬНО", "НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО",

3

"ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ"; которые нам непосредственно потребуются в дальнейшем

изложении; а также некоторые другие операции, используемые в математической логике (сложение по модулю 2 ©, штрих Шеффера j , стрелка Пирса #), однозначно определяются с помощью следующей таблицы истинности.

Разберем эту таблицу более подробно.

1.Из высказывания A можно получить отрицание высказывания A, то есть высказывание : A "не A" или, более точно, "неверно, что A", которое ложно, если A истинно

иистинно, если A ложно. Например, пусть A="2¢2 = 5", тогда получаем высказывание : A = "неверно, что 2 ¢ 2 = 5".

2.Из высказываний A, B можно образовать высказывание "A и B ", называемое конъюнкцией высказываний A, B . Как видно из таблицы истинности, конъюнкция высказываний истинна лишь в случае, когда все эти высказывания истинны, а в случае, когда хоть одно из высказываний ложно, конъюнкция

их тоже ложна. Например, высказывание "2 ¢ 2 = 5 и 2 + 3 = 5" ложно. Чаще всего конъюнкцию высказываний A, B обозначают A ^ B , а также применяют обозначения A&B ,

A ¢ B .

Поскольку результат конъюнкции похож на результат обычного умножения чисел 0 и 1, эту операцию часто называют логическим умножением.

3. Из высказываний A, B можно образовать высказывание

4

"A или B ", чаще всего обозначаемое A _ B , а иногда A + B и называемое дизъюнкцией высказываний A, B . Дизъюнкция высказываний истинна в случае истинности хотя бы одного из этих высказываний и ложна в случае, когда все они ложны.

Например, высказывание "2 ¢ 2 = 5 или 2 + 3 = 5" истинно. Обратим внимание на то, что дизъюнкция, образуемая с помощью связки "ИЛИ", не несет в себе взаимоисключения. Так высказывание "2 ¢ 2 = 4 или 2 + 3 = 5"истинно.

Дизъюнкцию иногда называют логическим сложением, но здесь аналогия, "подпорченная"четвертой строчкой таблицы истинности, не является полной.

4. Из высказываний A, B можно образовать следующее высказывание: "A тогда и только тогда, когда B ". Например, треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы равны между собой. Синонимами служат фразы: "A в том и только в том случае, когда B ", "A необходимо и достаточно для того, чтобы выполнялось B ", "A равносильно B ", "A эквивалентно B ". Высказывание "A равносильно B "называется эквиваленцией (эквивалентностью) высказываний A и B и обозначается

A$ B , A , B , A » B . Эквиваленция двух высказываний, согласно таблице истинности, истинна в случае, когда либо оба высказывания ложны, либо оба истинны. Ложной эквиваленция двух высказываний является в случае, когда одно из них ложно, а другое истинно.

5.Наконец, определим, пожалуй, самую главную для нас логическую операцию. Из высказываний A, B можно образовать высказывание "если A, то B ". Оно называется импликацией высказываний A и B и обозначается A ! B ,

A) B . Например, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Синонимами служат

5

следующие фразы: "из A следует B ", "B является следствием A", "A влечет B ", "для A необходимо, чтобы выполнялось B ", "для B достаточно, чтобы выполнялось A", "A выполняется только при условии B "и т.п. Высказывание A в этой ситуации называется посылкой, предпосылкой, предположением, гипотезой, а также достаточным условием для B . Высказывание B называют заключением, выводом, необходимым условием для A. Импликация, согласно таблице истинности, ложна лишь в одном случае: когда предпосылка истинна, а заключение ложно. Так высказывание "если после четверга наступает пятница, то после пятницы наступает воскресенье"ложно.

Сделаем два замечания, которые могут прояснить суть определения таблицы истинности для импликации и, возможно, помогут получше ее запомнить.

1)если посылка ложна, то импликация всегда истинна, независимо от заключения, то есть 0 ! B = 1 ("из ложной предпосылки можно вывести все, что угодно"). Так каждое из высказываний "если два плюс два равно пяти, то три плюс два равно десяти", "если 1+1=3, то после четверга наступает пятница"истинно.

2)если заключение истинно, то импликация также истинна, независимо от посылки, то есть A ! 1 = 1.

Важно помнить, что операция импликации является формальной логической операцией и не отражает причинноследственных связей. Например, высказывание "Если Москвастолица России, то Лондон столица Великобритании", согласно таблице истинности, является истинным, хотя между предпосылкой и заключением в этой импликации нет никакой связи.

Остальные операции над высказываниями мы обсуждать

6

не будем, поскольку в дальнейшем изложении они нам не пригодятся.

Основные свойства операций над высказываниями

доказываются с помощью сравнения таблиц истинности выражений, стоящих по разные стороны от знака равенства. Перечислим эти свойства. Еще раз обратим внимание на то, что, следуя традициям, принятым среди исследователей в области математической логики, в этом разделе для обозначения операции отрицания высказывания ® мы используем как запись ": ®", так и (для экономии места) символ "®", который в других разделах для этих целей мы использовать не будем, так как в математическом анализе он традиционно обозначает замыкание множества ®.

–Законы де-Моргана: (u _ v) = u¹ ^ v;¹ (u ^ v) = u¹ _ v¹;

–Закон отрицания отрицания: ::u = u:

–Законы идемпотентности: u _ u = u; u ^ u = u:

–Законы поглощения:

u _ 1 = 1; u _ 0 = u; u ^ 1 = u; u ^ 0 = 0:

–Законы склеивания: uv _ u = u; uv _ uv¹ = u:

–Закон исключения третьего: u _ u¹ = 1:

–Закон противоречия: u ^ u¹ = 0:

–Первый и второй дистрибутивные законы:

u ^ (v _ w) = (u ^ v) _ (u ^ w); u _ (v ^ w) = (u _ v) ^ (u ^ w):

Особо выделим три свойства импликации, имеющие отношение к доказательству теорем.

z u $ v = (u ! v) ^ (v ! u):

Другими словами, эквивалентность высказываний означает, что каждое из них является следствием другого.

z u ! v = : v ! : u:

7

На этом свойстве основано доказательство от противного: предполагается, что заключение теоремы v неверно, доказывается, что тогда и предпосылка u неверна, а это значит, что из u следует v .

z : (u ! v) = u ^ : v:

Это свойство важно помнить: высказывание "из предпосылки u не следует заключение v "означает конъюнкцию предпосылки u и отрицания заключения v ! Докажем последнее равенство. Для этого составим таблицы истинности высказываний, стоящих в его левой и правой частях. Делаем это постепенно, шаг за шагом отражая в таблице, так что комментарии не нужны.

Как мы видим, столбцы таблицы истинности для правой и левой частей равенства совпадают, что и доказывает это равенство, так как мы просто перебрали все возможные варианты пар значений переменных, участвующих в равенстве.

Наконец, укажем еще некоторые свойства операций над высказываниями.

u ! v = u¹ _ v; ujv = u¹ _ v;¹ u # v = u¹ ^ v;¹

u $ v = uv _ u¹v¹ = (u _ v¹) ^ (¹u _ v);

u © v = uv¹ _ uv¹ = (u _ v) ^ (¹u _ v¹):

8

Некоторые стандартные обозначения. Введем теперь стандартные обозначения для сокращенной записи некоторых операций. Суммирование:

стоит буква ·, называемая индексом суммирования. Как следует из вида суммы, стоящей после первого знака равенства,

сокращенная запись Pn a· "расшифровывается"поочередным

·=1

приданием индексу суммирования · всех значений от указанного под знаком суммы (в данном случае значение 1) до указанного над знаком суммы (в нашем случае n). Результат этого суммирования зависит от последнего значения n и не зависит от индекса суммирования ·, а значит, вместо обозначения · для индекса суммирования можно выбрать и любое другое обозначение, что отражено после второго знака равенства, где индекс суммирования уже обозначается p. Аналогичный способ сокращения будем применять для произведения:

Yn

a· = a1 ¢ a2 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ an:

·=1

Для сокращенной записи логических операций над многими высказываниями и операций над многими множествами используются знаки этих операций:

n

¯j = ¯1 _ ¯2 _ ¢ ¢ ¢ _ ¯n;

j=1

9

[n

Bj = B1 [ B2 [ ¢ ¢ ¢ [ Bn:

j=1

Кроме того, если индекс суммирования должен принимать не все значения подряд из некоторого диапазона, а все значения из некоторого множества ¡ (говорят при этом, что

Еще раз напомним, что понятия множества, элемента и принадлежности элемента множеству являются в математике первичными и не определяются при помощи других математических понятий. Вместо термина "множество"можно употреблять также термин "совокупность", набор", "семейство"и т.д. Например, можно говорить множестве учеников класса, множестве граждан страны, множестве точек прямой и т.п.

Множества будем обозначать, как правило, большими буквами латинского или какого - либо другого алфавита: A, B , C , : : :, а элементы множеств малыми буквами: a, b, c, x, y , ®, ¯ , : : :, ° , : : :.

Принадлежность элемента a множеству A будем обозначать a 2 A или A 3 a. Тот факт, что элемент a не принадлежит множеству A будем обозначать a 62A или A 63a. Например, если A множество граждан России, некий человек x является гражданином России, то x 2 A, а человек y не является гражданином России, то y 62A.

Запись A = fa; b; c; : : :g, означает, что множество A состоит из элементов a, b, c, : : :. Если множество B состоит из элементов b® , где ® пробегает некоторое множество

10