Vvedenie_v_analiz_2013

Замечание 2. Если X числовое множество и для некоторого числа a и любого числа x 2 X выполняется неравенство x 6 a (x > a), то sup X 6 a (inf X > a), т.к. sup X (inf X ) является наименьшим (наибольшим) из всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) множество X . Т.е. в неравенствах можно переходить к точным верхним и нижним граням.

Метод математической индукции.

Всякое подмножество множества натуральных чисел имеет наименьший элемент.

На этом свойстве натуральных чисел основан принцип доказательства метода математической индукции. Если имеется множество утверждений, каждому из которых приписано натуральное число (его номер) · = 1; 2; : : : и если доказано

1)что справедливо утверждение с номером 1

2)что из предположения о справедливости утверждения с любым номером n 2 N =) справедливость утверждения с номером n + 1, то тем самым доказана справедливость всех утверждений, с произвольным номером n 2 N.

Символом n! (читается "н"факториал) будем обозначать произведение первых n натуральных чисел:

Cn· биномиальные коэффициенты.

Cnn = Cn0 = 1;

31

Легко проверяется, что

Cn· + Cn·+1 = Cn·+1+1

Cn1 = n:

C2 = n(n ¡ 1):

n 2

Многочлены, являющиеся суммой двух слагаемых называются биномами.

Утверждение. Формула для n – ой степени бинома x + a имеет вид

(x + a)n = xn + Cn1xn¡1a1 + Cn2xn¡2a2 + ¢ ¢ ¢ + Cnn¡1xan¡1 + an =

Xn

= Cn·xn¡·a·:

·=0

Эта формула называется формулой бинома Ньютона. Доказательство.

При n = 1 имеем

Во второй сумме перейдем к новому индексу суммирования по формуле

m = · + 1:

32

Тогда

·=0

Утверждение доказано.z

Подставив x = 1, a = ¡1, получим

Xn

Cn·(¡1)· = 0:

·=0

Полезно также помнить, что Cn· = Cnn¡· .

Принцип вложенных отрезков. Эквивалентные множества. Счетность множества рациональных чисел и несчетность множества всех действительных чисел.

Определение 1 Пусть G непустое множество, элементами которого являются отрезки числовой прямой вида [a; b]. Мы будем называть такое множество G, состоящее из отрезков числовой прямой, системой вложенных отрезков, если из любых двух отрезков, принадлежащих множеству G, один из них вложен в другой (8[a; b] 2 G 8[c; d] 2 G : [a; b] ½ [c; d] _ [c; d] ½ [a; b]).

33

Теорема. Всякая система вложенных числовых отрезков имеет непустое пересечение, т.е. существует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам системы.

Это свойство называется непрерывностью множества всех действительных чисел по Кантору.

Доказательство.

Пусть G система вложенных отрезков. Пусть A множество всех левых концов отрезков, входящих в систему G, B множество правых концов тех же отрезков.

Докажем, что левый конец любого из отрезков системы G на числовой прямой лежит не правее правого конца дюбого (другого!) отрезка системы G. Действительно, какие бы два отрезка [a; b] и [c; d] системы G мы ни взяли, один из них, согласно определению системы вложенных отрезков, вложен

откуда опять c · b; a · d, что и требовалось доказать. Таким образом, множества A и B удовлетворяют аксиоме полноты (непрерывности), а значит, найдется такое » 2 R, что для всех a 2 A и для всех b 2 B будет выполняться неравенство a · » · b. В частности, это неравенство будет выполняться и в случае, когда a и b являются концами одного отрезка, то есть для любого отрезка [a; b] системы G имеет место неравенство a · » · b. Это и означает, что точка » 2 R принадлежит всем отрезкам системы. Теорема доказана.z

Определение 2 Систему вложенных отрезков мыбудем называть стягивающейся, если в этой системе можно найти отрезки сколь угодно малой длины.

Теорема 2. Для всякой стягивающейся системы

34

вложенных отрезков существует единственное число » 2 R, принадлежащее всем отрезкам системы.

Доказательство.

Пусть G стягивающаяся система отрезков.

1)То, что пересечение всех отрезков системы G не пустое множество доказано в теореме 1. Докажем единственность точки » .

2)Предположим противное. Пусть существуют две точки »1 и »2 принадлежащие всем отрезкам и пусть »1 6= »2 ,

следовательно, j»1 ¡ »2j = d > 0.

Поэтому наше предположение неверно. Теорема доказана. z Рассмотрим особую систему вложенных отрезков

35

отрезков [an; bn] стремятся к 0, если для любого " > 0 найдется номер n0 2 N, такой, что для любого n > n0 будет выполнено неравенство: bn ¡ an < ": Всякая последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю является стягивающейся.

Для стягивающейся последовательности числовых отрезков рассматриваемого вида имеет место равенство

» = supfang = inffbng.

Докажем это. Если » 2 [an; bn], n = 1; 2; : : :, то 8n 2 N выполняется неравенство: an 6 » 6 bn , следовательно, »

верхняя грань для множества fang, и нижняя грань для множества fbng.

Поэтому, для 8n 2 N, выполняется неравенство:

an 6 supfang 6 » 6 inffbng 6 bn;

Числовые множества, окрестности, промежутки.

Часто бывает удобно дополнить множество R элементами, обозначаемыми через +1, и ¡1 и называемыми соответственно "плюс бесконечность"и "минус бесконечность".

36

При этом по определению полагают, что для любого числа x 2 R справедливо

¡1 < x < +1:

Множество действительных чисел R, дополненное элементами ¡1, +1 называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой), и обозначается R.

элементом 1 (бесконечность без знака). В этом случае бесконечность 1 уже не связана соотношением порядка с действительными числами. Бесконечности 1, +1, ¡1 называют бесконечно удаленными точками числовой прямой, в отличие от ее остальных точек, которые называются конечными точками числовой прямой.

Дадим определение некоторых числовых подмножеств числовой прямой R.

Пусть a 2 R, b 2 R, a < b. Множество

def

[a; b] = fx : x 2 R; a 6 x 6 bg

называется отрезком. Множество

def

(a; b) = fx : x 2 R; a < x < bg

называется интервалом. Множества

def

[a; b) = fx : x 2 R; a 6 x < bg

def

(a; b] = fx : x 2 R; a < x 6 bg

37

называются полуинтервалами или полуотрезками, или полуоткрытыми промежутками.

Каждое из этих множеств называется промежутком числовой оси. Точки a и b называются концами промежутка, а точки x, удовлетворяющие a < x < b называются внутренними точками промежутка. Число (a ¡ b) называется длиной промежутка.

Наряду с указанными промежутками рассматриваются бесконечные промежутки.

(¡1; +1) = R:

(a; +1) = fx : x 2 R; x > ag

[a; +1) = fx : x 2 R; x > ag

(¡1; a) = fx : x 2 R; x < ag (¡1; a] = fx : x 2 R; x 6 ag

Введем теперь понятие окрестности конечной или бесконечно удаленной точки числовой прямой. Если a 2 R, то для любого числа " > 0 (эпсилон) "-окрестностью U(a; ") числа a называется интервал (a ¡ "; a + "), т.е.

окрестностью точки a, и обозначают U(a).

38

непересекающиеся окрестности. Это свойство называется свойством отделимости.

Дадим теперь определение окрестности бесконечности без

Кроме того введем рассмотрение односторонние окрестности точек числовой прямой. Правая "-окрестность точки a 2 R определяется равенством

def

U(a+; ") = (a ; a + ") = fx 2 R : a < x < a + "g:

Левая "-окрестность точки a 2 R определяется равенством

def

U(a¡; ") = (a ¡ " ; a) = fx 2 R : a ¡ " < x < ag:

Для бесконечных символов примем следующие соглашения:

–левая "-окрестность элемента +1 совпадает с обычной, ранее введенной "-окрестностью элемента +1, правой "- окрестностью элемент +1 не обладает;

–правая "-окрестность элемента ¡1 совпадает с обычной, ранее введенной "-окрестностью элемента ¡1, левой "- окрестностью элемент ¡1 не обладает;

–символ 1 односторонними окрестностями не обладает. Нам понадобятся также так называемые проколотые

окрестности. Проколотой "-окрестностью точки a 2 R,

±

которая обозначается U (a; ") будем называть разность множеств: "-окрестности точки a и множества, состоящего из единственной точки a:

± def

U (a; ") = U(a; ") n fag = (a ¡ "; a) [ (a; a + ") =

39

= fx 2 R : 0 < jx ¡ aj < "g

Кроме того, по определению положим, что проколотая односторонняя окрестность любого элемента совпадает с его обычной односторонней окрестностью, а также, что проколотая окрестность любого бесконечного элемента (+1; ¡1; 1) совпадает с его обычной окрестностью.

Сравнение множеств

Сравнение множеств осуществляется с помощью понятия взаимнооднозначного соответствия.

Два множества между элементами которого можно установить взаимнооднозначное соответствие называются эквивалентными или равномощными A » B .

Понятие эквивалентности обладает свойством транзитивности.

&% &% &%

h = g ± f:

Множество X называется конечным, если существует такое натуральное число n 2 N, что между элементами множества X и элементами множества f1; 2; : : : ; ng можно установить биекцию, число n называется при этом числом элементов множества X.

Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда содержат одинаковое количество элементов.

40