Vvedenie_v_analiz_2013

Может оказаться, что обе взаимно обратные теоремы A(q) =) B(q) и B(q) =) A(q) верны. В этом случае их можно сформулировать в виде одной теоремы вида A(q) , B(q), которая читается одним из следующих способов:

выполняется B(q);

– A(q) выполняется если и только если выполняется B(q). Разумеется, во всех этих формулировках A(q) и B(q)

можно поменять местами.

Вещественные числа. Модуль. Аксиома полноты. Числовые множества, окрестности, промежутки.

Понятие действительного (вещественного) числа и правила действий над ними мы будем считать известными из курса математики средней школы и лишь кратко остановимся на их свойствах.

Множество вещественных чисел будем обозначать через R. Среди вещественных чисел различают:

a) рациональные, т.е. дроби (к ним присоединяются и целые числа дроби со знаменателем 1): 5, 0, 59 .

b) иррациональные, т.е. вещественные числа, не являющиеся дробями, например, p2.

Множество рациональных чисел обозначают через Q, множество целых чисел через Z, множество иррациональных чисел через I, натуральных N.

Для чисел из R определены следующие действия:

21

4) деление: xy имеет смысл, если y =6 0.

На хорошо известных свойствах этих действий мы не останавливаемся.

Числа из R упорядочены по величине, т.е. 8x, 8y 2 R справедливо: либо x < y , либо x > y , либо x = y .

Свойства неравенств: 1) 8x 2 R: x 6 x (рефлексивность) 2) x 6 y , y 6 x =) x = y (антисимметричность) 3) x 6 y , y 6 z =) x 6 z (транзитивность).

При построении теории пределов фундаментальную роль играет следующее свойство множества R.

Аксиома полноты:

Пусть множества A ½ R, B ½ R не пусты и удовлетворяют условиям: 8® 2 A и 8¯ 2 B , ® 6 ¯ . Тогда 9c 2 R, такое, что 8® 2 A, 8¯ 2 B ® 6 c 6 ¯ .

Таким образом, между множествами A и B , обладающими свойством из аксиомы, найдется хотя бы одно число, разделяющее A и B (не исключено, что это число может принадлежать одному из множеств A или B или даже обоим этим множествам).

Для любого числа x 2 R неотрицательное число

величиной или модулем. Легко доказывается, что jxj < a; () ¡a < x < a;

jxj = j ¡ xj; 8x 2 R:

1) jx + yj 6 jxj + jyj; 8x; y 2 R:

¡jxj 6 x 6 jxj, ¡jyj 6 y 6 jyj, =) ¡(jxj+jyj) 6 x+y 6 (jxj+ jyj) =) jx + yj 6 jxj + jyj.

22

Действительное число изображается конечной или допустимой бесконечной десятичной дробью, причем каждое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной или допустимой (т.е. у которой цифра 9 не является периодом) бесконечной периодической десятичной дроби.

Геометрически множество R изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа точками этой прямой. Поэтому совокупность вещественных чисел часто называют числовой прямой, или числовой осью, а отдельные числа ее точками. В связи с этим иногда вместо того, чтобы говорить, что a < b говорят, что точка a лежит левее точки b.

Числовые множества, окрестности, промежутки.

Часто бывает удобно дополнить множество R элементами, обозначаемыми через +1, и ¡1 и называемыми соответственно "плюс бесконечность"и "минус бесконечность". При этом по определению полагают, что для любого числа x 2 R справедливо

¡1 < x < +1:

Множество действительных чисел R, дополненное элементами ¡1, +1 называется расширенным множеством

23

действительных чисел (расширенной числовой прямой), и обозначается R.

элементом 1 (бесконечность без знака). В этом случае бесконечность 1 уже не связана соотношением порядка с действительными числами. Бесконечности 1, +1, ¡1 называют бесконечно удаленными точками числовой прямой, в отличие от ее остальных точек, которые называются конечными точками числовой прямой.

Дадим определение некоторых числовых подмножеств числовой прямой R.

Пусть a 2 R, b 2 R, a < b. Множество

def

[a; b] = fx : x 2 R; a 6 x 6 bg

называется отрезком. Множество

def

(a; b) = fx : x 2 R; a < x < bg

называется интервалом. Множества

def

[a; b) = fx : x 2 R; a 6 x < bg

def

(a; b] = fx : x 2 R; a < x 6 bg

называются полуинтервалами или полуотрезками, или полуоткрытыми промежутками.

Каждое из этих множеств называется промежутком числовой оси. Точки a и b называются концами промежутка, а точки x, удовлетворяющие a < x < b называются

24

внутренними точками промежутка. Число (a ¡ b) называется длиной промежутка.

Наряду с указанными промежутками рассматриваются бесконечные промежутки.

(¡1; +1) = R:

(a; +1) = fx : x 2 R; x > ag

[a; +1) = fx : x 2 R; x > ag

(¡1; a) = fx : x 2 R; x < ag

(¡1; a] = fx : x 2 R; x 6 ag

Введем теперь понятие окрестности конечной или бесконечно удаленной точки числовой прямой. Если a 2 R, то для любого числа " > 0 (эпсилон) "-окрестностью U(a; ") числа a называется интервал (a ¡ "; a + "), т.е.

непересекающиеся окрестности. Это свойство называется свойством отделимости.

25

Дадим теперь определение окрестности бесконечности без знака. Ее "-окрестность, " > 0, определяется равенством

Кроме того введем рассмотрение односторонние окрестности точек числовой прямой. Правая "-окрестность точки a 2 R определяется равенством

def

U(a+; ") = (a ; a + ") = fx 2 R : a < x < a + "g:

Левая "-окрестность точки a 2 R определяется равенством

def

U(a¡; ") = (a ¡ " ; a) = fx 2 R : a ¡ " < x < ag:

Для бесконечных символов примем следующие соглашения:

–левая "-окрестность элемента +1 совпадает с обычной, ранее введенной "-окрестностью элемента +1, правой "- окрестностью элемент +1 не обладает;

–правая "-окрестность элемента ¡1 совпадает с обычной, ранее введенной "-окрестностью элемента ¡1, левой "- окрестностью элемент ¡1 не обладает;

–символ 1 односторонними окрестностями не обладает. Нам понадобятся также так называемые проколотые

окрестности. Проколотой "-окрестностью точки a 2 R,

±

которая обозначается U (a; ") будем называть разность множеств: "-окрестности точки a и множества, состоящего из единственной точки a:

± def

U (a; ") = U(a; ") n fag = (a ¡ "; a) [ (a; a + ") =

= fx 2 R : 0 < jx ¡ aj < "g

Кроме того, по определению положим, что проколотая односторонняя окрестность любого элемента совпадает с его

26

обычной односторонней окрестностью, а также, что проколотая окрестность любого бесконечного элемента (+1; ¡1; 1) совпадает с его обычной окрестностью.

Ограниченные и неограниченные числовые множества.

Пусть M ½ R, M =6 ;.

I Определение. Множество M ½ R называется ограниченным сверху, если существует число b 2 R, такое, что 8x 2 M выполняется неравенство x 6 b. Число b называется верхней гранью множества M . С помощью кванторов это определение можно записать в виде

9b 2 R; 8x 2 M : x 6 b:

Число b при этом называют верхней гранью множества M . Очевидно, что если число b является верхней гранью

множества M , то и любое число b0 , большее, чем число b, тоже является верхней гранью множества M , откуда следует, что всякое ограниченное сверху множество вещественных чисел имеет бесконечно много верхних граней.

II Определение. Множество M называется ограниченным снизу, если существует число a 2 R, такое, что 8x 2 M выполняется неравенство x > a. Число a называется нижней гранью множества M . С помощью кванторов это определение можно записать в виде

9a 2 R; 8x 2 M : x > a:

Число a при этом называют нижней гранью множества M . Очевидно, что если число a является нижней гранью

множества M , то и любое число a0 , меньшее, чем число a, тоже является нижней гранью множества M , откуда следует,

27

что всякое ограниченное снизу множество вещественных чисел имеет бесконечно много нижних граней.

Множество ограниченное и сверху и снизу называется ограниченным.

Множество, не являющееся ограниченным сверху называется неограниченным сверху.

Множество M неограничено сверху тогда и только тогда, когда выполнено условие

:f9a 2 R; 8x 2 M : x > ag , f8b 2 R; 9x 2 M : x > bg:

Множество, не являющееся ограниченным снизу называется неограниченным снизу.

Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным (оно не ограничено либо сверху, либо снизу, либо и сверху и снизу).

Если в множестве M есть число b такое, что для всех чисел x 2 M выполняется неравенство x 6 b, то число b называется наибольшим или максимальным числом (элементом)

множества M : b = max M .

Если в множестве M есть число a такое, что для всех x 2 M выполняется неравенство x > a, то число a называется наименьшим или минимальным числом (элементом) M : a = min M .

Максимальное (минимальное) число в числовом множестве единственно, если оно существует.

Точные грани числовых множеств.

Определение. Пусть числовое множество X ограничено сверху. Наименьшая из всех верхних граней данного множества называется точной верхней гранью этого множества и

обозначается sup X или sup x (от латинского слова supremum

x2X

наибольший).

28

Определение. Пусть числовое множество X ограничено снизу. Наибольшая из всех нижних граней данного множества называется точной нижней гранью этого множества и

обозначается: inf X , или inf x (от латинского "infimum

x2X

наименьший).

Итак, ¯ = sup X , если, во - первых, ¯ ограничивает сверху множество X , т.е. 8x 2 X , x 6 ¯ , и, во–вторых, ¯ наименьшая верхняя грань, т.е. если ¯0 < ¯ , то 9x 2 X , x > ¯0 .

Таким образом, определение точной верхней грани можно перефразировать в следующем виде.

Число ¯ называется точной верхней гранью числового множества X , если

1)8x 2 X : x 6 ¯ ,

2)8¯0 < ¯9x 2 X; x > ¯0:

Аналогично, число ® называется точной нижней гранью числового множества X , если

1)8x 2 X : x > ®,

2)8®0 > ®9x 2 X; x < ®0:

x¯

-

¯0 = ¯ ¡ "

Примеры: Пусть a 2 R, b 2 R, a < b.

sup[a; b] = sup(a; b) = b;

inf[a; b] = inf(a; b) = a:

Отсюда видно, что точные верхняя и нижняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.

Теорема. Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет точную верхнюю грань. Всякое

29

ограниченное снизу непустое числовое множество имеет точную нижнюю грань.

Доказательство.

Пусть A ограниченное сверху множество. A 6= ;, и Bмножество всех верхних граней для множества A, B 6= ;. Если a 2 A и b 2 B , то по определению верхней грани a 6 b.

В силу аксиомы полноты найдется число ¯ 2 R, что для всех чисел a, принадлежащих множеству A и для всех чисел b 2 B (8a 2 A и 8b 2 B ) выполняется неравенство: a 6 ¯ 6 b.

Неравенство a 6 ¯ , имеющее место для всех a 2 A, означает, что ¯ верхняя грань A, а неравенство ¯ 6 b, 8b 2 B , означает, что ¯ наименьшая из всех верхних граней A. Следовательно, ¯ = sup A.

Аналогично доказывается, что ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.z

Замечание 1. Если числовое множество X неограничено сверху, то точная верхняя грань в смысле данного выше определения не существует. В этом случае по определению полагают

def

sup X = +1:

При этом условия 1) и 2) перефразированного определения оказываются формально выполненными.

Если X ½ R неограничено снизу, то полагают

def

inf X = ¡1:

Благодаря этому соглашению и доказанной теореме любое числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань, конечную, если оно ограничено сверху (снизу), и бесконечную, если оно неограничено сверху (снизу).

30