Vvedenie_v_analiz_2013

индексов ¡, то будем писать B = fb®g или B = fb®g; ® 2 ¡. Запись A = fx : : : :g означает, что множество A состоит из всех таких элементов x, которые удовлетворяют условию,

написанному после двоеточия, и только из них.

Множество B является подмножеством A, или содержится в A (запись B ½ A), если каждый элемент из B является элементом множества A. Например, множество юношей класса является подмножеством всех учеников класса.

Множества A и B называются равными (запись A = B ) тогда и только тогда, когда одновременно выполнено A ½ B и B ½ A, т.е. когда они состоят из одних и тех же элементов.

Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается ;.

Подмножества некоторого множества , отличные от него самого и от пустого множества, называются собственными.

Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых входит по крайней мере в одно из множеств A или B . Обозначение :

определением, то есть то, что стоит по одну сторону от знака равенства (обычно слева), является новым объектом и определяется с помощью выражения, стоящего по другую сторону.

Пересечением множеств A и B называется множество,

произвольной совокупности множеств. По определению полагают:

11

; ½ A для любого множества A, A [ ; = A для любого A.

Если множества A и B не имеют общих элементов, то

A n B = fx : x 2 A Vx 62Bg

Если B ½ A, то A nB называется дополнением множества B до A, или дополнением B в A.

Для любой системы множеств A® , ® 2 ¡ и любого множества X справедливы формулы:

[\

®2¡

12

Декартовым произведением множеств

называется множество A1 £A2 £¢ ¢ ¢£Am всех упорядоченных

наборов (x1; x2; : : : ; xm), где x1 2 A1; x2 2 A2; : : : ; xm 2 Am . Декартово произведение m равных множеств A обозначается

Am .

Понятие отображения, функции.

Пусть M и E непустые множества. Пусть D ½ M Отображением f множества D в множество E будем

называть правило по которому каждому элементу x 2 D , называемому аргументом отображения, сопоставляется некоторый элемент f(x) из множества E . Множество D при этом называют областью определения (задания) отображения f или говорят, что отображение f определено на множестве D и принимает значения в множестве E . Иногда для области определения отображения используют обозначение D(f). Для отображения f часто используются обозначения:

y = f(x); x 2 D или x 7!y = f(x); или f : D ! E;

Если по каким-то причинам не уточняется, какое именно множество представляет собой область определения D(f) ½ M отображения f , то говорят, что отображение действует из множества M в множество E (принимает значения из множества E ) и обозначают этот факт с помощью более общей записи

f : M ! E:

Можно также определить отображение из множества M в множество E как некоторое множество упорядоченных пар вида (x; y), где x пробегает множество D ½ M , то есть как некоторое подмножество декартова произведения M £ E . Однако такой объект чаще называют графиком отображения.

13

Если E числовое множество, то есть значениями отображения являются числа, то отображение чаще всего называют функцией.

Если аргумент x отображения (функции) y = f(x) может быть представлен как элемент некоторого декартова произведения D1 £ D2 £ ¢ ¢ ¢ £ Dn , то есть как упорядоченный

набор x = (x1; x2; : : : ; xn); где x1 2 D1; x2 2 D2; : : : ; xn 2 Dn , то f называют отображением (функцией) n переменных

(аргументов) и при этом пишут y = f(x) = f(x1; x2; : : : ; xn). Элемент y = f(x) множества E называется значением

отображения f в точке x, или образом элемента x при отображении f .

Иногда значение отображения f в точке x0 обозначается следующим образом:

f(x0) = f(x)jx=x0:

Пусть A некоторое множество из D . Совокупность

ff(a) : a 2 Ag

всех элементов вида f(a), где a 2 A называется образом множества A, при отображении f и обозначается f(A), f(A) ½ E .

Множество f(D) называется множеством значений отображения f и обозначается R(f).

Говорят, что f отображает D "на"E или является сюръекцией, если выполнено f(D) = E (Если каждый y 2 E , является образом хотя бы одного x из D ).

Отображение f называется инъекцией (f : D ! E ), если из условия x1 , x2 2 D , x1 62x2 =) f(x1) 62f(x2).

Отображение являющиеся одновременно и сюръекцией и инъекцией называется биекцией, или взаимнооднозначным

14

соответствием между D и E . Такое отображение каждому элементу множества D сопоставляет единственный элемент множества E (8x 2 D 9 ! y = f(x) 2 E пока пропустим эти обозначения, но после прочтения следующего раздела нужно непременно вернуться к этому фрагменту) и наоборот, каждый элемент множества E является значением (образом) единственного элемента (прообраза) из множества D

(8y 2 E 9 ! x 2 D : y = f(x)).

Пусть B ½ E . Прообразом множества B при отображении f называется множество всех тех элементов x 2 D , образы которых принадлежат B . Обозначение: f¡1(B).

f¡1(B) = fx : x 2 D; f(x) 2 Bg

Для образов и прообразов множеств справедливы следующие соотношения:

[[

f(A B) = f(A) f(B);

Определение. Пусть f отображает множество D на f(D) взаимно–однозначно. Тогда для любого y 2 f(D) найдется единственный элемент x из D такой, что y = f(x). Обозначим этот x через f¡1(y), тем самым на множестве f(D) определено некоторое отображение f¡1 со значением D . Это отображение называется обратным по отношению к f .

Таким образом, для любого y 2 f(x) : x = f¡1(y) эквивалентно y = f(x). Ясно, что f¡1 есть биекция f(D) на

D .

15

Сужение отображения. Пусть f : M ! E

отображение с областью определения D ½ M , пусть A ½ D . Cужением отображения f на множество A называется отображение множества A в множество E определенное по тому же правилу, что и f , но только для x 2 A.

Обозначается fA , fjA . Таким образом, fA : A ! E;

fA(x) = f(x) для любого x 2 A.

Определение. Пусть f : D ! E , g : E ! Z . Отображение h : D ! Z определяемое по правилу h(x) = g(f(x)), x 2 D называется композицией (суперпозицией) отображений f и g и обозначается: g ± f , т.е.

(g ± f)(x) = g(f(x)):

Неопределенные высказывания. Некоторые предложения могут считаться истинными или ложными высказываниями в зависимости от того, какое значение принимает переменная, которая участвует в этом предложении. Такое предложение называется неопределенным высказыванием, или предикатом. Например, предложение

P (x; y) := fx + y = 5g

является истинным высказыванием при x = ¡7; y = 12 и ложным высказыванием при x = 3; y = 6.

Более точно, предикатом называют функцию, аргументами которой могут являться элементы любого происхождения, а значениями являются высказывания или, что равносильно, элементы множества f0; 1g из двух элементов. Если при этом предикат P можно представить как функцию n переменных

x1 2 D1; x2 2 D2; : : : ; xn 2 Dn : P = P (x1; x2; : : : ; xn), то говорят, что предикат P является n-местным.

Неопределенное высказывание превращается в

16

определенное с помощью специальных операций, называемых кванторными. Кванторная операция может быть определена как приписывание каждой переменной, участвующей в неопределенном высказывании, особого значка, называемого квантором:

9 (квантор существования) существует; найдется; найдется хотя бы один.

8 (квантор всеобщности) для всех, для любого, для всякого, какой(-ая, -ое) бы ни был(-а, -о) .

9! существует строго один; существует единственный. Если P (x; y) неопределенное высказывание, то

высказывания 8x 8y P (x; y) или 9x 8y P (x; y) уже являются обычными (определенными) высказываниями. Например,

8x 8y x+ y = 5 ложное высказывание. 9x 9y x+ y = 5истинное высказывание. 8x 9y x + y = 5 истинное высказывание. 9x 8y x + y = 5 ложное высказывание.

Пусть P некоторое свойство, которым могут обладать или не обладать элементы множества D (если обладают, то это записывают P (x)):

1) Пусть существует элемент x 2 D , обладающий свойством P . В символической записи:

9x 2 D : P (x)

2) Все элементы x 2 D обладают свойством P .

8x 2 D : P (x)

Правило отрицания высказывания, записанного с помощью кванторов существования и всеобщности

1.Каждый квантор всеобщности 8 заменяется квантором существования 9.

2.Каждый квантор существования 9 заменяется квантором всеобщности 8.

17

3. Неопределенное высказывание P (x) заменяется своим отрицанием : P (x).

Пример:

:(8x x + 7 = 0) () (9x x + 7 6= 0)

:(9x x + 7 < 0) () (8x x + 7 > 0)

Правило отрицания высказывания 9!x : P (x)

:(9!x P (x)) () (8x : P (x))_(9x19x2(x1 6= x2^P (x1)^P (x2)))

Пример:

:(9!x x + 7 < 0) () (8x x + 7 > 0)_

_(9x19x2(x1 =6 x2 ^ x1 + 7 < 0 ^ x2 + 7 < 0)):

Таким образом, при переходе к противоположному утверждению квантор существования заменяется на квантор общности и наоборот. А встречающиеся в формулировке свойства заменяются на противоположные.

Пример:

f : R ! R

f периодическая : 9T > 0; 8x 2 R : f(x + T ) = f(x) f непериодическая : 8T > 0; 9x 2 R : f(x + T ) 6= f(x)

Логическое следование. Конструкция теоремы. Прямая и обратная теоремы. Необходимое и достаточное условие. Противоположное утверждение. Доказательство от противного.

Построение любого раздела математики, как и самой математики в целом, включает в себя

18

–определения, которые представляют собой договоренности о терминологии,

–аксиомы, представляющие собой утверждения (высказывания), истинность которых принимается без доказательства, и, наконец,

"утверждение", "лемма"(вспомогательное утверждение). Очень многие теоремы формулируются в виде импликации

(логического следования) вида A(q) =) B(q), где q элемент некоторго множества M .

Здесь A условие (гипотеза, предположение) теоремы, Bвывод (заключение, утверждение) теоремы.

Кроме того, применяются следующие названия. A достаточное условие для B , признак B . B необходимое условие для A, свойство A.

Такие теоремы читаются следующим образом: "из A следует B ", "B является следствием A", "A влечет B ", "для A необходимо, чтобы выполнялось B ", "для B достаточно, чтобы выполнялось A", "A выполняется только при условии B "и т.п., как и в случае обычной импликации высказываний.

Формально логическое следование определяется следующим образом:

fA(q) =) B(q)g ´ f8q 2 M (A(q) ! B(q))g:

Часто вместо термина "логическое следование"опять используется термин "импликация". Такая неоднозначность не страшна, поскольку из контекста обычно ясно, о чем идет речь, кроме того, в курсе математического анализа используется

19

лишь логическое следование, так что эти термины мы можем просто считать синонимами.

Применим к высказыванию A(q) =) B(q) правило отрицания высказывания, записанного с помощью кванторов существования и всеобщности. Вспомним при этом, что отрицание импликации - это конъюнкция предпосылки и отрицания заключения. Получим:

: fA(q) =) B(q)g ´ :f8q 2 M (A(q) ! B(q))g

´ f9q 2 M (A(q) ^ : B(q))g

Это приводит нас к простому правилу: для опровержения теоремы вида A(q) =) B(q) достаточно построить лишь один пример элемента q 2 M , для которого предпосылка A(q) верна, а заключение B(q) ложно. Такой пример называют контрпримером.

Пример. Доказать, что из того, что число четно, не следует, что оно делится на 4.

Доказательство: число 6 четно, но не делится на 4. Этот контрпример показывает, что импликация fЧисло четноg ) fЧисло делится на 4g неверна.

Если поменять местами условие A(q) теоремы A(q) =) B(q) и ее вывод B(q), то получим теорему вида B(q) =) A(q), которую называют обратной теоремой. При этом теорему A(q) =) B(q) называют прямой.

Из того, что верна прямая теорема, не следует, что верна обратная теорема.

Пример:

Прямая теорема: "Если натуральное число делится на 10, то оно четно верна.

Обратная теорема: "Если натуральное число четное, то оно делится на 10 неверна.

20