Vvedenie_v_analiz_2013

Пустое множество по определению не содержит элементов и предполагается конечным.

Пример. Покажем, что множество четных чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, то есть

1) f1; 2; 3; : : : ; n; : : :g » f2; 4; 6; : : : ; 2n; : : :g

Действительно, отображение

n ! 2n

очевидно является биекцией. Аналогично

2) f1; 2; 3; : : : ; n; : : :g » f2ng;

что устанавливается с помощью биекции n ! 2n:

Аналогично

3)(0; 1) » (a; b); [0; 1] » [a; b];

что устанавливается с помощью биекции

y = (b ¡ a)x + a:

¡

¡

y0 ¡¡

¡

¡

¡

¡

a ¡

-

O x0 1

41

Наконец

4)(¡1; 1) » R y = tg³¼2 x´; x = ¼2 arctgy:

В случае бесконечных множеств, множество эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству.

Определение. Множество эквивалентное множеству натуральных чисел называется счетным.

Справедливы следующие утверждения:

Лемма 1 Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство.

Пусть X бесконечное множество, тогда оно не пустое, выберем произвольный элемент. Обозначим его x1 .

X n x1 тоже не пустое множество, выберем из него произвольный элемент и обозначим через x2 , и т.д.

Если элементы

x1; x2; : : : ; xn

уже выбраны, то в множестве

X n fx1; x2; : : : ; xng, выберем элемент xn+1 . Таким образом, получим бесконечное множество занумерованных элементов

x1; x2; x3; : : : ; xn; : : : ;

содержащихся в X .

Лемма 2. Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Доказательство.

Пусть X счетное множество.

X = fx1; x2; : : : ; xn; : : :g:

42

Пусть Y его бесконечное подмножество. Обозначим через y , тот элемент из Y , который имеет в множестве X наименьший номер (Если n1 , то y1 = xn1 ).

Через y2 обозначим тот элемент из Y , который имеет в множестве X наименьший номер среди номеров n > n1 , и т.д.

Поскольку каждый элемент из Y , есть некоторый элемент x· из X , то через конечное число шагов не больше чем ·, ему будет присвоен некоторый номер m в множестве Y . Процесс не оборвется, поскольку Y бесконечно. Теорема доказана.

Теорема. Множество всех рациональных чисел счетно.

Доказательство.

Расположим все рациональные числа в таблице следующим

0 1 ¡1 2 ¡2

12 ¡12 32 ¡32 52

1 ¡1

образом: n n

В n ой строке таблицы размещены все рациональные числа, записанные в виде несократимой дроби, в виде mn , расположенных по возрастанию их модуля, причем за каждым положительным числом непосредственно следует ему противоположное. Занумеруем элементы таблицы следующим образом.

43

¶³¶³¶³¶³

10

µ´µ´µ´µ´

диагональный процесс.

В результате каждый элемент таблицы получит некоторый номер.

Теорема 4 Множество всех действительных чисел интервала (0; 1) несчетно.

Доказательство.

Заметим, что всякое число может быть единственным образом представленым в виде бесконечной десятичной дроби, не имеющей в периоде цифру 9.

Предположим противное, что множество чисел (0; 1) счетно, и занумеруем их x1 , x2 , x3 , : : : .

Запишем для каждого числа x· его десятичное разложение и составим таблицу.

x1 = 0 a(1)1 ; a(1)2 ; a(1)3 ; : : : ; a(1)n ; : : :

x2 = 0 a(2)1 ; a(2)2 ; a(2)3 ; : : : ; a(2)n ; : : :

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

xn = 0 a(1n); a(2n); a(3n); : : : ; a(nn); : : :

a(1)· · – ый десятичный знак числа xi . a(·i) это элемент множества f0; 1; 2; : : : ; 9g

Построим десятичную дробь вида: 0; b1; b2; b3; : : : ; bn; : : : с помощью диагональной процедуры Кантора.

44

Пусть a(1)1 ; a(2)2 ; a(3)3 ; : : : ; a(nn); : : : диагональные элементы таблицы.

Для любого числа · 2 N, в качестве b· возмем произвольное из чисел f1; 2; 3; : : : ; 9g, и так что бы b· =6 a(··) и поэтому должно содержаться в таблице, чего быть не может. Что и требовалось доказать.

Поскольку (0; 1) » (a; b) » R, то множество R тоже не счетно.

Определение. Множество эквивалентное множеству всех действительных чисел называется множеством мощности

континуума.

45

Литература

[1]Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу: Учеб. для студ. ун-тов и пед. вузов / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков.-М.: Высш. шк., 1999.-694 с.

[2]Бесов О.В. Курс лекций по математическому анализу . – М.: МФТИ, 2004. – 65 с.

[3]Дороговцев А.Я. Математический анализ. Краткий курс в современном изложении. – Киев: "Факт", 2004. – 560 с.

[4]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: Учебник: в 2-х ч. М.: Наука. 1982.

[5]Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник: в 2-х томах. М.: Наука, 1981. Т. 1-2.

[6]Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989.

[7]Лихтарников Л.М.. Сукачева Т.Г. Математическая лоrика. Курс лекций. 3адачник-практикум и решения. – СПб.: Издательство "Лань", 1999. – 288 с.

47