speckurs
.pdf
31 |
|
|
|
||
Учитывая, что ϵ = −1 + ∆ и √ |
|
≈ −∆/2, из (2.43) получим4: |
|
||
1 − ∆ |
|
||||
ϵ ≈ −1 + |
Ω2 |
(2.44) |
|||
|
. |
||||
48 |
|||||
2.4.Контрольная работа
1.Используя уравнение (2.25), вычислить поправку F 4 к положению невозмущенного уровня.
2.Используя уравнение (2.42), вычислить поправку Ω4 к невозмущенному уровню энергии.
3.В модели потенциала нулевого радиуса найти сдвиг и ширину атомного уровня если:
(a)магнитное и электрическое поле параллельны друг другу;
(b)магнитное и электрическое поле перпендикулярны друг другу. Поля считать слабыми. В случае (b) рассмотреть два случая F H и F H.
Примечание: Нестационарная функция Грина в случае параллельных полей имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωτ |
exp |
−i |
e2F 2τ3 |
|
|
|
||||||
|
|
(0, t; 0, t′) = |
|
0(0, t; 0, t′) |
2 |
|
24m~ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
G |
G |
|
|
sin ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ωτ |
− i0) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
и в случае скрещенных полей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ωτ exp |
( |
iτ e2F 2 |
ctg( ω |
τ) |
ωτ |
− |
1 |
) |
|
|||||||
|
(0, t; 0, t′) = 0(0, t; 0, t′) |
2 |
2mω2~ |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
, |
||||||||||
G |
|
G |
|
|
|
|
|
sin |
( |
2 |
− |
i0 |
) |
|
|
|
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где τ = t − t′.
(2.45)
(2.46)
4Следует отметить, что ряд теории возмущений в магнитном поле является сходящимся, в то время как ряд теории возмущений в электрическом поле является расходящимся.
32
Приложение
А.Γ–функция
Γ– функция определяется интегралом:
∞ |
|
|
Γ(z) = ∫0 |
e−ttz−1dt. |
(А.1) |
Прямое вычисление интеграла для z = 1 дает Γ(1) = 1. Проинтегрируем выражение (А.1) по частям:
|
|
∞ |
1 |
∞ |
|
Γ(z + 1) |
|
||
|
0 |
|
|
||||||
Γ(z) = e−ttz−1 |
|
|
+ |
|
∫ |
e−ttzdt = |
|
. |
(А.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя функциональное соотношение (А.2) в правой части для Γ(z + 1), и последовательно n − 1 раз для Γ(z + 2), . . . Γ(z + n), соответственно, запишем Γ(z) в виде:
Γ(z) = |
|
. |
(А.3) |
z(z + 1) . . . (z + n − 1)(z + n) |
Умножим с двух сторон (А.3) на (z + n), и вычислим предел z → −n:
lim Γ(z)(z + n) = |
|
Γ(1) |
= |
(−1)n |
. |
(А.4) |
( n)( n + 1) . . . ( 1) |
|
|||||
z→−n |
|
n! |
|
|||
|
− − |
− |
|
|
|
|
Соотношение (А.4) показывает, что Γ-функция имеет простой полюс при отрицательных, целых значения z, причем вычет в этих точках от Γ(z) равен (−1)n/n!. Полагая в (А.3) z = 1 получим, что Γ(n + 2) = (n + 1)!. Более того, используя интегральное выражение для Γ(z) (А.1), можно получить ряд полезных функциональных соотношений:
|
− |
|
π |
|
22z−1Γ(z)Γ(z + 1/2) = |
√ |
|
Γ(2z). |
(А.5) |
|
Γ(z)Γ(1 |
z) = |
, |
π |
|||||||
sin(πz) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
33
Докажем первое соотношение в (А.5).
∫0 |
∫0 |
e−(s+t)s−ztz−1 dt ds = ( |
s |
|
∞ ∞ |
u = s + t, |
s = |
||
Γ(z)Γ(1 − z) = |
|
|||
|
v = t , |
t = |
||
u
1+v uv
1+v
)
=
∞ ∞ |
e−uvz−1 |
∞ |
vz−1 |
|||
∫0 |
∫0 |
dv du = ∫0 |
||||
|
|
dv (А.6) |
||||
1 + v |
1 + v |
|||||
Интеграл такого вида вычисляется по теореме вычетов с использованием неоднозначных функций:
∞ |
va−1 |
|
πba−1 |
|
∫0 |
|
|||
|
= |
|
, |
|
b + v |
sin πa |
|||
получаем требуемое соотношение в (А.5).
34
Литература
1.М. В. Федорюк Метод перевала / М. В. Федорюк – М.: Наука, 1977.
– 368
2.А. Эрдейи Ассимптотические разложения / А. Эрдейи – М.: Физматгиз, 1962. – xx
3.Ю. Н. Демков, В. Н. Островский Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике / Ю. Н. Демков, В. Н. Островский . – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975 . – 240 с.
4.Р. Фейнман Квантовая механика и интегралы по траекториям / Р. Фейнман, А. Хибс – М.: Мир, 1968 – xxx
5.Ю. Н. Демков, Г. Ф. Друкарев, ЖЭТФ 47, 918 (1964)
6.С. П. Аллилуев, В. М. Вайберг, В. С. Попов, ЖЭТФ 82, 77 (1982)
7.N.L. Manakov, M.V. Frolov, A.F. Starace and I.I. Fabrikant, Journal of Physics B 33, R141 (2000)
8.Г. Ф. Друкарев, Б. С. Монозон, ЖЭТФ 62, 956 (1971)
35
Учебное издание
Овсянников Виталий Дмитриевич, Каменский Александр Анатольевич, Фролов Михаил Владимирович
Методы приближенного вычисления интегралов в задачах квантовой механики
Редактор Е.С. Котлярова