speckurs

f(t) ≈ P (t−t0)(ν−1), S(t) ≈ S(t0)+Q(t−t0)µ,

где P и Q некоторые постоянные. Очевидно, основной вклад в интеграл дает область окрестности точки t0, где подынтегральная функция имеет резкий максимум (см. рис. 1.1). Тогда имеем:

Заменяя верхний предел b на «бесконечность» (так как, окрестность точки b вклада не дает), производя замену переменной ξ = −λQ(t − t0)µ, и используя интегральное выражение для Γ-функции (см. приложение), получим:

Приведем явный вид формулы (1.23) для наиболее часто встречающихся случаев ν = 1 и µ = 1, 2:

Сделаем несколько замечаний относительно применения метода Лапласа:

1.Если отрезок интегрирования функции от a до b включает точку t0 (см. рис. 1.1), то, очевидно, приближенное значение интеграла (1.23) должно быть удвоено;

14

малого радиуса C5 вокруг точки ветвления, и вертикальных линий C3 и C4. В силу теоремы Коши имеем:

Так как подынтегральная функция экспоненциально затухает в верхней комплексной полуплоскости, то интеграл по бесконечным дугам C1 и C2 равен нулю. Интеграл по петле C5 так же равен нулю. Действительно, если t = ρeiφ, где ρ радиус петли, то для интеграла вдоль C5 имеем следующую оценку:

Устремляя радиус петли к нулю, получаем, что интеграл вдоль контура C5 равен нулю. Интегралы вдоль линий C3 и C4 равны между собой. Действительно, так как контуры C3 и C4 связаны петлей C5 вокруг точки ветвления, то при переходе с C3 на C4 подынтегральная функция меняет знак на обратный, но с учетом того, что направления интегрирования вдоль C3 и C4 противоположны, получаем равенство интегралов вдоль линий C3 и C4. В итоге получаем:

Интеграл (1.34) можно приближенно вычислить с помощью метода Ла-

√

пласа для ω 1, где t0 = 1, S(t0) = 1, µ = 1, ν = 1/2, P = 1/ 2. В результате использования (1.23), получим:

√

1.6.Задачи для самостоятельной работы

1. Получить первый член асимптотического разложения интеграла

0

16

1.7.Приближенное интегрирование быстроосциллирующих функций

1.7.1. Метод стационарной фазы

a

где λ – некоторый вещественный параметр, а f(t) и S(t) непрерывные функции. Функцию S(t) будем называть фазовой функцией. Наша задача будет состоять в оценке этого интеграла при больших вещественных значениях параметра λ. Рассмотрим вначале случай, когда на отрезке [a, b], производная функции S(t) не обращается в нуль. Такая ситуация соответствует случаю, когда функция S(t) монотонно возрастает или убывает. Проинтегрируем (1.37) по частям:

Если проинтегрировать (1.38) по частям еще раз, то следующий член разложения интеграла J(λ) будет пропорционален λ−2. Таким образом, продолжая интегрирование по частям, можно построить асимптотический ряд по степеням λ−1. Главный член такого асимптотического разложения имеет вид:

и определяется разностью значений подынтегральной функции на концах отрезка интегрирования. Например, следует оценить интеграл

если λ 1. Так как фазовая функция монотонно возрастает, то используя формулу (1.39) получим J(λ) ≈ iλ−1.

Оценим значение интеграла Френеля

λ

Очевидно, рассмотренный метод эквивалентен методу Лапласа для µ = ν = 1, в том случае, если удается развернуть контур интегрирования вдоль мнимой оси комплексной плоскости.

Рассмотрим случай, когда внутри отрезка интегрирования фазовая функ-

вклад в интеграл будет определяться об-

Рис. 1.3.

ластью стационарной фазы. Тогда, для

оценки интеграла (1.37), разложим функцию S(t) в окрестности точки t0 в ряд Тейлора до второго члена, S(t) ≈ S(t0) + S′′(t0)(t − t0)2/2, функцию f(t) в окрестности точки t0 аппроксимируем ее значением f(t0), а пределы интегрирования увеличим до ±∞:

∞

−∞

Отметим, что наличие стационарной точки внутри отрезка интегрирования модифицирует асимптотическое поведение интеграла. Действительно, если внутри отрезка интегрирования нет точки стационарной фазы, то асимптотика интеграла для λ 1 определяется членом λ−1 (см. формулу (1.39)), однако, если точка стационарной фазы находится внутри отрезка интегрирования, то асимптотика интеграла определяется членом λ−1/2, и интеграл значительно медленнее затухает с ростом λ. Отметим, что если отрезок интегрирования включает несколько точек стационарной фазы, то значение интеграла определяется суммой членов, соответствующих каждой точке стационарной фазы3. Рассмотрим

3Аддитивность вклада стационарных точек, нарушается, если расстояние между точками меньше λ−1=2 и в этом случае оценка интеграла требует специального рассмотрения.

18

ряд примеров иллюстрирующих применение метода стационарной фазы.

Пример 1. Функция Бесселя для z n

Функция Бесселя имеет следующее интегральное представление:

В нашем случае f(t) ≡ 1, λ = z, S(t) = nz t − sin t. Точки стационарной фазы определяются из уравнения:

Откуда получаем две точки стационарной фазы t1 = arccos(n/z) ≈

π/2 − n/z, t2 = 2π − arccos(n/z) ≈ 3π/2 + n/z, где мы учли, что z n. Значения функции S(t) и ее второй производной дается соответственно выражениями:

−∞

−∞