speckurs

Федеральное агентство по образованию

Методы приближенного вычисления интегралов в задачах квантовой механики

Методическое пособие

Воронеж 2006

5

Глава 1.

Приближенное вычисление интегралов

1.1.Функция ошибок

Рассмотрим несколько стандартных примеров иллюстрирующих основные идеи приближенного вычисления интегралов.

Рассмотрим функцию ошибок erf(x):

erf(x) = √2 ∫x e−t2 dt. (1.1)

π

0

Наша задача состоит в оценке интеграла (1.1) для двух предельных случаев x 1 и x 1. Для x 1, интегрирование выполняется по отрезку малой длины, на котором подынтегральная функция мало отличается от своего значения при t = 0, поэтому разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки t = 0 и проинтегрируем почленно полученный ряд:

Очевидно, ряд в (1.2) является сходящимся при любых значения x. Для x < 1 каждый последующий член в ряде (1.2) меньше предыдущего, поэтому этот ряд удобен для оценки функции erf(x). Однако, использование ряда (1.2) для оценки функции erf(x) становится неэффективным, если x 1. Действительно, например, для x = 10 элементы суммы в (1.2) образуют возрастающую последовательность вплоть до n = 100, достигая абсолютных значений порядка 5 × 1040, далее последовательность становится убывающей, но только начиная с n = 264 члены ряда становятся меньше суммы по абсолютной величине. Поэтому, для оценки интеграла для x 1 используем следующий прием. Запишем интеграл (1.1) в виде

6

Из (1.3) видно, что при x → ∞ интеграл стремиться к нулю, а при конечных, но больших значениях x дает небольшую поправку к значению функции ошибок при x = ∞. Оценим интеграл в (1.3), для этого проинтегрируем по частям (1.3):

Повторяя указанную процедуру для оставшегося интеграла, после n+1-го интегрирования по частям получим:

Исследуем поведение членов в сумме (1.5) с ростом k. В противоположность членам ряда (1.2), члены суммы в (1.5) вначале убывают с ростом k до некоторого значения k0, а затем начинают неограниченно возрастать. В этом легко убедиться, вычислив модуль отношения членов ряда (ϵk) с номерами k + 1 и k:

Номер при котором прекращается убывание членов суммы в (1.5) может быть определен из соотношения ϵk0 = 1, откуда k0 = [x2 − 1/2], где квадратные скобки означают выделение целой части. Следует отметить, что так как при любом конечном x, ϵk стремиться к бесконечности при k → ∞, то в пределе n → ∞ сумма в (1.5) расходится. Таким образом, наилучшую оценку функции erf(x) при большом значении x можно получить, учитывая n = k0 слагаемых суммы в (1.5).

1.2.Пример Римана и асимптотические ряды

Всвое время Риман задался следующей интересной задачей – «Можно ли формально расходящемуся ряду (или ряду с нулевым радиусом

8

где an – постоянные, а φk(x) – асимптотическая последовательность функций. Из определения асимптотического ряда следует, что асимптотический ряд может расходиться. Действительно, как следует из определения, функцию f(x) можно представить в виде:

∑∞

где известно, что остаточный член Rn(x) при x → x0 стремится к нулю, при любом фиксированном n. Однако ничего не говорится о поведении остаточного члена при фиксированном x и n → ∞. То есть, в отличие от сходящихся рядов, асимптотический ряд позволяет вычислить значение функции в данной точке x = a лишь с некоторой относительной ошибкой ϵ(x = a) (см. параграф 1.1. за примером). Таким образом, возможно три варианта для асимптотического ряда функции f(x), реализующихся в действительности:

(i)ряд сходится к функции f(x);

(ii)ряд сходится к функции g(x) ≠ f(x);

(iii)ряд расходится.

Вобщем случае, оценка интеграла сводится к отысканию соответствующего асимптотического разложения, однако в большинстве случаев, удается получить лишь несколько первых членов этого разложения.

1.3.Выделение области наибольшего вклада

1.Найдем первый член асимптотического разложения интеграла

при x → ∞ 1. Так как подынтегральная функция при x > 0 является гладкой функцией, то в пределе x → ∞, I(x) стремится к нулю. Таким образом, наша задача состоит в отыскании закона по которому I(x) затухает при больших x.

Сделаем замену переменных ξ = xt, тогда

1Асимптотическое разложение интеграла при x → 0 дается формулой (1.7).

9

При x → ∞ основной вклад в интеграл дает та область, где экспонента близка к единице, т.е. ξ . x. Тогда имеем:

Приведем пример точности полученного соотношения. Например, при x = 10, точное значение интеграла есть 0.2015, значение даваемое (1.15) 0.2303. Соответственно для x = 105 имеем 1.094 × 10−4 и 1.151 × 10−4.

2. Исследуем функцию J(x), определяемую интегралом:

Ряд (1.18) сходится абсолютно.

Оценим интеграл (1.17) для x 1. Так как подынтегральная функция является возрастающей функцией, то основной вклад в интеграл дает область t x. Сделаем замену переменной t = x − ξ:

Нетрудно заметить, что подынтегральная функция в (1.19) имеет острый максимум в точке ξ = 0, тогда: