Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

smagina-belousova-method

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

491 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Е.П. Белоусова, Т.И. Смагина

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Учебно-методическое пособие для вузов

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета

2013

Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 20 марта 2013 г., протокол № 8

Рецензент д-р техн. наук, доц. кафедры ММИО факультета ПММ Т.В. Азарнова

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре нелинейных колебаний факультета ПММ Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов второго курса направления «Прикладная математика и информатика» факультета ПММ.

Для направления 010500 – Прикладная математика и информатика

Настоящие методические указания предназначены для организации практических занятий и самостоятельной работы студентов, изучающих курс функционального анализа, а также при подготовке к экзамену по этому курсу. В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические сведения, даются образцы решения задач, а затем предлагаются задания для самостоятельной работы. При подборке задач и упражнений использовалась приведенная ниже литература.

Рекомедуемая литература

1.Треногин В.А. Функциональный анализ/ В.А. Треногин. – М.:

Физматлит, 2002. – 488 с.

2.Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Физматлит, 2004. -570 с.

3.Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа/ В.И. Соболев. – М.: Наука, 1968. – 286 с.

4.Люстерник Л.А. Краткий курс функциональго анализа/ Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. – М.: Высшая школа, 1982. – 270 с.

5.Треногин В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу/ В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. – М.: Физматлит, 2002. – 239 с.

6.Антоневич А.Б. Функциональный анализ и интегральные уравнеия/ А.Б. Антоневич, Я.В. Радыно. – Минск: БГУ, 2003. – 430 с.

1. Нормированные пространства

Непустое множество X элементов некоторой природы называется линейным пространством, если в нем для любых x, y X определены сумма x + y X и произведение αx X элемента x на число α с выполнением обычных свойств операций сложения и умножения на число.

Линейное

пространство

называется

нормированным, если в нем

определена норма, то есть

неотрицательная функция

: X → R , для

которой выполнены следующие три аксиомы

≥ 0,

= 0 x = 0

(невырожденность нормы);

αx

(однородность нормы);

x + y

≤

(неравенство треугольника).

Приведем несколько примеров нормированных пространств.

E pn

пространство n - мерных векторов x = (x1 ,..., xn )

с нормой

∑

k =1

E∞n

пространство n - мерных векторов x = (x1 ,..., xn )

с нормой

= max

1≤k ≤n

пространство ограниченных

числовых последовательностей

x = (x1 , x2 ,...) , для которых

sup

< ∞, с нормой

1≤k ≤∞

= sup

1≤k ≤∞

4. l p ( p ≥1) - пространство числовых последовательностей x = (x1 , x2 ,...)

∞

таких, что ∑

p < +∞, с нормой

k =1

∞

∑

k =1

5. C[a,b] -

пространство непрерывных на [a,b] функций x(t) с нормой

= max

x(t)

a≤t≤b

6. C k [a,b]

- пространство k раз непрерывно дифференцируемых на [a,b]

функций x(t) с нормой

x = ∑max x(k ) (t) .

s=0 a≤t≤b

7. Lp [a,b]( p ≥1) - пространство измеримых на [a,b] функций x(t) , для

которых ∫b

x(t) p dt < +∞ с нормой

				1
	b
	b		p		p
			p
x	= ∫	x(t)		dt .
x	= ∫	x(t)		dt .
	a

При решении задач важное значение имеют следующие неравенства. 1. Неравенство Гельдера для сумм

∞

∑

xk yk

≤

∑

k =1

где p, q >1 и 1p + 1q =1 и ряды в правой части неравенства сходятся.

2. Неравенство Гельдера для интегралов

∫

x(t) y(t)

x(t)

y(t)

dt ≤ ∫

∫

где p, q >1 и 1p + 1q =1 и интегралы в правой части неравенства сходятся.

3. Неравенство Минковского для сумм

∞

∑

xk + yk

≤

∑

k =1

где p ≥1.

4. Неравенство Минковского для интегралов

x(t) + y(t)

x(t)

y(t)

∫

≤ ∫

+ ∫

где p ≥1.

Пример 1.

а) если x непрерывна на отрезке [a,b] , то является ли нормой функция

a+1 b

x = ∫ x(t) + ∫ x(t) dt, (a +1 < b −1) ?

a b−1

б) если x непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b] , то является ли нормой функция

x = x(b) − x(a) + max x&(t) ?

a≤t≤b

Решение. В первом случае ответ отрицательный, поскольку не выполнена первая аксиома нормы. Очевидно, что если эта функция равна нулю, то x(t) = 0 для t [a, a +1] [b −1,b] и x(t) может не равняться нулю на

промежутке [a +1,b −1].

Во втором случае заданная функция также не является нормой, так как

для x(t) ≡ c ≠ 0

она обращается в ноль.

Пример

Доказать,

что

пространстве

непрерывно

дифференцируемых на [a,b] функций можно ввести норму

C1 = max(

C ,

C ) , где

C = max

y(t)

a≤t≤b

Решение. При проверке аксиом нормы остановимся лишь на третьей, так как проверка первых двух не вызывает затруднения.

Для всех t [a,b] имеет место оценка

x(t) + y(t)

≤

x(t)

y(t)

≤

C +

≤ max(

C ) + max(

C ,

C ) =

С1 +

С1 .

Так как это неравенство верно для всех t , то и

max

x(t) + y(t)

≤

С1 +

С1 .

a≤t≤b

Аналогично

max

x(t) + y(t)

≤

C ≤

С1

С1 .

a≤t≤b

Отсюда

y С1 и

•

x + y C1 ≤ x С1 +

(x + y)

≤

С1

С1 ,

что влечет за собой справедливость неравенства треугольника.

Пример 3. Показать, что множество l2

числовых последовательностей

∞

x = {xk }∞k =1 , удовлетворяющих условию ∑

2 < ∞, является нормированным,

k =1

если в нем задать норму по формуле

∞

= ∑

k =1

Решение. Введем в l2 операции сложения и умножения на число по правилу

x + y = {xk }1∞ +{yk }1∞ = {xk + yk }1∞ ,

αx =α{xk }1∞ = {αxk }1∞.

Из неравенства

+ yk

2 ≤ 2(

2 +

2 ) и признака Вейерштрасса получаем,

∞

что ряд ∑

xk + yk

сходится.

Следовательно, x + y l2 . Нетрудно увидеть,

k =1

что и αx l2 .

Аксиомы

линейного

пространства следуют из

соответствующих аксиом сложения и умножения для чисел. Таким образом l2 - линейное пространство.

Покажем теперь, что указанная формула определяет в l2 норму. Для этого проверим требуемые аксиомы.

1. Очевидно, что x ≥ 0 . Если x - нулевой элемент, т.е. x = Θ = (0,0,...) ,

∞

то x = 0 . Обратно, если ∑ xk 2 = 0 , то xk = 0 для всех k , т.е. x = Θ.

k=1

2.Выполнение второй аксиомы следует из равенств

∞

αx

∑

αxk

∑

k =1

3. Неравенство треугольника

∞

x + y

= ∑

xk + yk

≤

∑

k =1

есть в точности неравенство Минковского для сумм при p = 2 .

Задания для самостоятельного решения

Являются ли нормами следующие функции.

x R2 ,

;

x R2 ,

= max{

x1 + 2x2

x1 − x2

};

x C[a,b],

= max

x(t)

;

a≤t≤

a+b

x C

[a,b],

x(t)

x(s)

ds)

;

= max

+ (

a≤t≤b

∫

x C

[a,b],

= x(a) + x(a) + max x(t) ;

a≤t≤b

x C

[a,b],

= x(a) + x(b) + max x(t) ;

a≤t≤b

x C

[a,b],

= x(a) + max x(t) ;

a≤t≤b

2. Сходимость в нормированном пространстве

Пусть X - нормированное пространство.

Определение. Последовательность {xn }∞n=1 X сходится к элементу x0 X , если xn − x0 X → 0 при n → ∞.

Приведем несколько утверждений, которые очень полезны при решении задач.

1.Сходимость последовательности функций в C[a,b] эквивалентна равномерной сходимости. Из равномерной сходимости вытекает поточечная сходимость.

2.Из сходимости последовательности в пространстве m вытекает покоординатная сходимость.

3.Из сходимости в l p следует покоординатная сходимость.

Пример 1. Сходится ли в C[0,1] последовательность xn = t n ?

Решение. Предположим. что последовательность xn (t) сходится в C[0,1] , т.е. существует такое x0 C[0,1], что xn (t) → x0 (t) для любого t [0,1] . Так как поточечно последовательность xn (t) сходится к разрывной функции

0, 0 ≤ t <1, x0 (t) = 1, t =1,

которая не принадлежит пространству C0,1], то наше предположение неверно. Таким образом, последовательность xn (t) не сходится в C[0,1] .

Пример 2. Будет ли сходиться в пространстве C[0,1] последовательность xn = t n −t n+1 ?

Решение. Сначала найдем элемент, подозрительный на предельный. Предположим, что xn сходится к x0 в смысле пространства C[0,1] . Тогда

последовательность функций xn (t) сходится к x0 (t) равномерно, а следовательно, и поточечно. Так как поточечно xn (t) сходится к нулевой функции, то предельным элементом может быть только x0 (t) ≡ 0 .

Проверим, сходится ли xn к x0 в смысле пространства C[0,1] . Имеем

xn − x0 C[0,1] = max xn (t) 0≤t≤1

= max(t n −t n+1 ) .

0≤t≤1

Для

определения

точки

максимума

приравняем производную к нулю:

xn (t) = nt

n−1

−(n +1)t

= t

n−1

(n −(n +1)t) = 0 .

Нетрудно

увидеть,

что t = 0 есть

точка минимума, а tn

являются точками максимума. При этом

n +1

−n 1

−1

= 0 .

1 −

= 1 +

→ e

C[0,1]

n +1

Таким образом, последовательность xn (t) сходится в C[0,1] к нулевой функции.

Пример 3. В каком из пространств l1 ,l2 , m сходится последовательность

xn = ( 1n ,..., 1n,0,0,...) ?

123

Решение. Так как покоординатно данная последовательность сходится к нулевой последовательности, то предельным элементом во всех трех пространствах может быть только x0 = {0,0,...}.

В пространстве l1 последовательность {xn }не сходится, так как

		∞			1
xn	l	= ∑	xkn	=		n =1.

	1				n
		k =1

В пространстве l2 последовательность сходится, так как при n → ∞

∞

2 =

= ∑

xkn

→ 0 .

k =1

В m также есть сходимость, ибо при

= sup

xkn

→ 0 .

Задания для самостоятельного решения

1. Сходятся ли в пространстве C[0,1] последовательности:

xn (t) = t(1 + e−nt ) ;

xn (t) =

;

c) xn (t) = n sin

;

1 + n2t 2

d) xn

(t) =

2nt

;

xn (t) =

t(2 + n2t 2 )

;

f) xn (t) = t n −t 2n .

1 + n2t 2

2. Сходятся ли в l1 ,l2 , m следующие последовательности:

,... ;

(n−1)

(n+1)

> 0 ;

= 0,...,0,

,... ,

(n +1)α

123 nα

n−1

,0,...,0,1,0,0,... ;

14243

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20251 Мб3Shpargalka_po_istorii_kolonki.rtf
#
20.05.2015261 Кб21shpargalka_po_rynku_cennyh_bumag.doc
#
19.11.2018500 Кб8shpory_IOGP (3).doc
#
19.03.20166 Мб31shpory_po_optike.doc
#
25.11.2019142 Кб8SITUATsIONN_E_ZADAChI_-_LOR_BOLEZNI.doc
#
21.05.2015491 Кб50smagina-belousova-method.pdf
#
21.05.20151 Мб29Sorokin.pdf
#
21.05.2015486 Кб15sotsiologia.rtf
#
22.11.201830 Кб13sotsiologia(2).docx
#
19.03.2016268 Кб16speckurs.pdf
#
21.05.20155 Мб175spez_fiz_pr_zachita.pdf