smagina-belousova-method
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Е.П. Белоусова, Т.И. Смагина
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Учебно-методическое пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2013
Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 20 марта 2013 г., протокол № 8
Рецензент д-р техн. наук, доц. кафедры ММИО факультета ПММ Т.В. Азарнова
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре нелинейных колебаний факультета ПММ Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов второго курса направления «Прикладная математика и информатика» факультета ПММ.
Для направления 010500 – Прикладная математика и информатика
2
Настоящие методические указания предназначены для организации практических занятий и самостоятельной работы студентов, изучающих курс функционального анализа, а также при подготовке к экзамену по этому курсу. В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические сведения, даются образцы решения задач, а затем предлагаются задания для самостоятельной работы. При подборке задач и упражнений использовалась приведенная ниже литература.
Рекомедуемая литература
1.Треногин В.А. Функциональный анализ/ В.А. Треногин. – М.:
Физматлит, 2002. – 488 с.
2.Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Физматлит, 2004. -570 с.
3.Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа/ В.И. Соболев. – М.: Наука, 1968. – 286 с.
4.Люстерник Л.А. Краткий курс функциональго анализа/ Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. – М.: Высшая школа, 1982. – 270 с.
5.Треногин В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу/ В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. – М.: Физматлит, 2002. – 239 с.
6.Антоневич А.Б. Функциональный анализ и интегральные уравнеия/ А.Б. Антоневич, Я.В. Радыно. – Минск: БГУ, 2003. – 430 с.
3
1. Нормированные пространства
Непустое множество X элементов некоторой природы называется линейным пространством, если в нем для любых x, y X определены сумма x + y X и произведение αx X элемента x на число α с выполнением обычных свойств операций сложения и умножения на число.
Линейное |
пространство |
X |
называется |
нормированным, если в нем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определена норма, то есть |
неотрицательная функция |
|
|
|
|
|
|
|
: X → R , для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
которой выполнены следующие три аксиомы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
|
|
|
x |
|
|
|
≥ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 x = 0 |
|
(невырожденность нормы); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. |
|
|
|
αx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(однородность нормы); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
x |
|
|
|
+ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
(неравенство треугольника). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Приведем несколько примеров нормированных пространств. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
E pn |
- |
|
|
|
пространство n - мерных векторов x = (x1 ,..., xn ) |
с нормой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
xk |
|
|
p |
p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
E∞n |
- |
|
|
|
пространство n - мерных векторов x = (x1 ,..., xn ) |
с нормой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= max |
|
xk |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1≤k ≤n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
m |
- |
пространство ограниченных |
|
|
|
|
числовых последовательностей |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = (x1 , x2 ,...) , для которых |
sup |
|
xk |
|
|
|
< ∞, с нормой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1≤k ≤∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= sup |
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1≤k ≤∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. l p ( p ≥1) - пространство числовых последовательностей x = (x1 , x2 ,...)
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
таких, что ∑ |
|
xk |
|
p < +∞, с нормой |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= |
∞ |
xk |
p |
p |
. |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
4
5. C[a,b] - |
пространство непрерывных на [a,b] функций x(t) с нормой |
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
= max |
|
x(t) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a≤t≤b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. C k [a,b] |
- пространство k раз непрерывно дифференцируемых на [a,b] |
функций x(t) с нормой
k
x = ∑max x(k ) (t) .
s=0 a≤t≤b
7. Lp [a,b]( p ≥1) - пространство измеримых на [a,b] функций x(t) , для
которых ∫b
a
x(t) p dt < +∞ с нормой
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
p |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
= ∫ |
|
x(t) |
|
|
dt . |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
При решении задач важное значение имеют следующие неравенства. 1. Неравенство Гельдера для сумм
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
∞ |
|
∞ |
|
p |
|
|
∞ |
|
q |
|
|
|||||
|
p |
q |
|
|||||||||||||
∑ |
xk yk |
≤ |
∑ |
|
xk |
|
|
|
|
∑ |
|
yk |
|
|
, |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|||
k =1 |
|
|
|
|
|
где p, q >1 и 1p + 1q =1 и ряды в правой части неравенства сходятся.
2. Неравенство Гельдера для интегралов
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
p |
p |
q |
q |
, |
||||||
∫ |
x(t) y(t) |
|
x(t) |
|
|
|
y(t) |
|
||||
dt ≤ ∫ |
|
dt |
|
∫ |
|
dt |
||||||
a |
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
где p, q >1 и 1p + 1q =1 и интегралы в правой части неравенства сходятся.
3. Неравенство Минковского для сумм
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
p |
p |
|
∞ |
|
|
|
p |
p |
|
∞ |
|
|
|
p |
p |
|
|
∑ |
|
xk + yk |
|
|
≤ |
∑ |
|
xk |
|
|
+ |
∑ |
|
yk |
|
|
, |
|||
k =1 |
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
где p ≥1.
5
4. Неравенство Минковского для интегралов
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
p |
p |
p |
p |
p |
p |
, |
||||||||
|
x(t) + y(t) |
|
|
x(t) |
|
|
y(t) |
|
|||||||
∫ |
|
dt |
≤ ∫ |
|
dt |
+ ∫ |
|
dt |
|||||||
a |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
где p ≥1.
Пример 1.
а) если x непрерывна на отрезке [a,b] , то является ли нормой функция
a+1 b
x = ∫ x(t) + ∫ x(t) dt, (a +1 < b −1) ?
a b−1
б) если x непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b] , то является ли нормой функция
x = x(b) − x(a) + max x&(t) ?
a≤t≤b
Решение. В первом случае ответ отрицательный, поскольку не выполнена первая аксиома нормы. Очевидно, что если эта функция равна нулю, то x(t) = 0 для t [a, a +1] [b −1,b] и x(t) может не равняться нулю на
промежутке [a +1,b −1].
Во втором случае заданная функция также не является нормой, так как
для x(t) ≡ c ≠ 0 |
она обращается в ноль. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример |
2. |
Доказать, |
что |
в |
пространстве |
непрерывно |
||||||||||
дифференцируемых на [a,b] функций можно ввести норму |
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
C1 = max( |
x |
C , |
x |
C ) , где |
|
|
y |
|
C = max |
y(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a≤t≤b |
|
|
|
Решение. При проверке аксиом нормы остановимся лишь на третьей, так как проверка первых двух не вызывает затруднения.
Для всех t [a,b] имеет место оценка
x(t) + y(t) |
≤ |
x(t) |
+ |
y(t) |
≤ |
x |
C + |
y |
C |
≤ max( |
x |
C |
, |
x |
C ) + max( |
y |
C , |
y |
C ) = |
x |
С1 + |
y |
С1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как это неравенство верно для всех t , то и
max |
|
x(t) + y(t) |
|
≤ |
|
|
|
x |
|
|
|
С1 + |
|
|
|
y |
|
|
|
С1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a≤t≤b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Аналогично |
max |
x(t) + y(t) |
≤ |
x |
C |
+ |
y |
C ≤ |
x |
С1 |
+ |
y |
С1 . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
a≤t≤b |
& |
& |
|
|
|
& |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y С1 и |
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x + y C1 ≤ x С1 + |
|
|
|
|
|
(x + y) |
|
|
|
|
≤ |
|
x |
С1 |
+ |
y |
С1 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
& |
|
|
& |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что влечет за собой справедливость неравенства треугольника.
Пример 3. Показать, что множество l2 |
|
|
числовых последовательностей |
||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = {xk }∞k =1 , удовлетворяющих условию ∑ |
|
xk |
|
|
2 < ∞, является нормированным, |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если в нем задать норму по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
xk |
2 |
2 |
. |
||||||
|
|
|
= ∑ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Введем в l2 операции сложения и умножения на число по правилу
|
|
|
|
x + y = {xk }1∞ +{yk }1∞ = {xk + yk }1∞ , |
αx =α{xk }1∞ = {αxk }1∞. |
||||||||||||
Из неравенства |
|
xk |
+ yk |
|
2 ≤ 2( |
xk |
|
2 + |
|
yk |
|
2 ) и признака Вейерштрасса получаем, |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
что ряд ∑ |
|
xk + yk |
|
2 |
сходится. |
|
Следовательно, x + y l2 . Нетрудно увидеть, |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
что и αx l2 . |
|
|
Аксиомы |
|
линейного |
пространства следуют из |
соответствующих аксиом сложения и умножения для чисел. Таким образом l2 - линейное пространство.
Покажем теперь, что указанная формула определяет в l2 норму. Для этого проверим требуемые аксиомы.
1. Очевидно, что x ≥ 0 . Если x - нулевой элемент, т.е. x = Θ = (0,0,...) ,
∞
то x = 0 . Обратно, если ∑ xk 2 = 0 , то xk = 0 для всех k , т.е. x = Θ.
k=1
2.Выполнение второй аксиомы следует из равенств
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
αx |
|
= |
∑ |
αxk |
|
|
|
|
= |
|
α |
|
|
|
∑ |
xk |
|
|
|
|
|
|
= |
α |
|
x |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Неравенство треугольника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x + y |
|
= ∑ |
xk + yk |
|
|
|
≤ |
|
∑ |
xk |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
∑ |
yk |
|
|
|
|
|
|
= |
x |
|
+ |
y |
||||||||||||
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
есть в точности неравенство Минковского для сумм при p = 2 .
Задания для самостоятельного решения
Являются ли нормами следующие функции.
1. |
x R2 , |
|
|
|
x |
|
|
|
= |
|
|
x1 |
|
+ |
|
x2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
x R2 , |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
= max{ |
x1 + 2x2 |
|
, |
|
x1 − x2 |
|
}; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
x C[a,b], |
|
|
|
x |
|
|
|
|
= max |
|
|
|
|
x(t) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a≤t≤ |
a+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
x C |
1 |
[a,b], |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
x(s) |
|
2 |
|
ds) |
1 |
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= max |
|
+ ( |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a≤t≤b |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
x C |
2 |
[a,b], |
|
|
|
|
|
|
x |
|
= x(a) + x(a) + max x(t) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
a≤t≤b |
&& |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
x C |
2 |
[a,b], |
|
|
|
|
|
|
x |
|
= x(a) + x(b) + max x(t) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a≤t≤b |
|
&& |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
x C |
1 |
[a,b], |
|
|
|
|
|
x |
|
= x(a) + max x(t) ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a≤t≤b |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Сходимость в нормированном пространстве
Пусть X - нормированное пространство.
Определение. Последовательность {xn }∞n=1 X сходится к элементу x0 X , если xn − x0 X → 0 при n → ∞.
Приведем несколько утверждений, которые очень полезны при решении задач.
1.Сходимость последовательности функций в C[a,b] эквивалентна равномерной сходимости. Из равномерной сходимости вытекает поточечная сходимость.
2.Из сходимости последовательности в пространстве m вытекает покоординатная сходимость.
3.Из сходимости в l p следует покоординатная сходимость.
8
Пример 1. Сходится ли в C[0,1] последовательность xn = t n ?
Решение. Предположим. что последовательность xn (t) сходится в C[0,1] , т.е. существует такое x0 C[0,1], что xn (t) → x0 (t) для любого t [0,1] . Так как поточечно последовательность xn (t) сходится к разрывной функции
0, 0 ≤ t <1, x0 (t) = 1, t =1,
которая не принадлежит пространству C0,1], то наше предположение неверно. Таким образом, последовательность xn (t) не сходится в C[0,1] .
Пример 2. Будет ли сходиться в пространстве C[0,1] последовательность xn = t n −t n+1 ?
Решение. Сначала найдем элемент, подозрительный на предельный. Предположим, что xn сходится к x0 в смысле пространства C[0,1] . Тогда
последовательность функций xn (t) сходится к x0 (t) равномерно, а следовательно, и поточечно. Так как поточечно xn (t) сходится к нулевой функции, то предельным элементом может быть только x0 (t) ≡ 0 .
Проверим, сходится ли xn к x0 в смысле пространства C[0,1] . Имеем
xn − x0 C[0,1] = max xn (t) 0≤t≤1
= max(t n −t n+1 ) .
0≤t≤1
Для |
определения |
|
точки |
максимума |
приравняем производную к нулю: |
|||||||||||||||||||||||
xn (t) = nt |
n−1 |
−(n +1)t |
n |
= t |
n−1 |
(n −(n +1)t) = 0 . |
Нетрудно |
увидеть, |
что t = 0 есть |
|||||||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
точка минимума, а tn |
= |
|
|
n |
|
|
являются точками максимума. При этом |
|||||||||||||||||||||
n +1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
1 |
−n 1 |
|
|
−1 |
|
= 0 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
xn |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 − |
|
= 1 + |
|
|
|
|
|
→ e |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C[0,1] |
|
n +1 |
|
n +1 |
|
n |
n +1 |
|
|
|
Таким образом, последовательность xn (t) сходится в C[0,1] к нулевой функции.
Пример 3. В каком из пространств l1 ,l2 , m сходится последовательность
xn = ( 1n ,..., 1n,0,0,...) ?
123
n
9
Решение. Так как покоординатно данная последовательность сходится к нулевой последовательности, то предельным элементом во всех трех пространствах может быть только x0 = {0,0,...}.
В пространстве l1 последовательность {xn }не сходится, так как
|
|
∞ |
1 |
|
|||
xn |
l |
= ∑ |
xkn |
= |
n =1. |
||
|
|||||||
|
1 |
|
|
n |
|||
|
|
k =1 |
В пространстве l2 последовательность сходится, так как при n → ∞
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∞ |
|
2 = |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
xn |
|
|
|
= ∑ |
|
xkn |
|
|
|
n |
= |
→ 0 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В m также есть сходимость, ибо при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
= sup |
|
xkn |
|
|
= |
1 |
→ 0 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
n |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения
1. Сходятся ли в пространстве C[0,1] последовательности:
a) |
xn (t) = t(1 + e−nt ) ; |
|
|
b) |
xn (t) = |
|
t |
; |
|
c) xn (t) = n sin |
t |
; |
|||||||||||||
|
|
1 + n2t 2 |
|
n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||
d) xn |
(t) = |
|
2nt |
|
; |
|
|
|
e) |
xn (t) = |
t(2 + n2t 2 ) |
; |
f) xn (t) = t n −t 2n . |
|
|||||||||||
1 + n2t 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + n2t 2 |
|
|
|
|
||||||
2. Сходятся ли в l1 ,l2 , m следующие последовательности: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
x |
|
= |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
,... ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(n−1) |
2n |
|
2 |
(n+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 0 ; |
|
|
|
|
|
|||||
|
= 0,...,0, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
,... , |
α |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(n +1)α |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
123 nα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c) |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
= |
|
,0,...,0,1,0,0,... ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
14243 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10