Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

smagina-belousova-method

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

491.17 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. Имеем уравнение 9λ2 + 6λ +1 = 0 ,

откуда λ = −

Тогда

с1 = с2 = с R

и существует ненулевое

решение

x(t) = c(t +t 2 ) (c ≠ 0) .

Следовательно,

λ = −

является

собственным

значением, а x(t) - собственной функцией оператра A .

Если же λ ≠ −

то

c1 = c2 = 0 и

x(t) ≡ 0 .

Следовательно,

λ = −

не

является собственным значением.

Кроме того,

λ = 0

также является собственным

значением,

соответствующими собственными функциями являются все функции

x(t) , для которых c1 = ∫1

sx(s)ds = 0 и c2 = ∫1

x(s)ds = 0 .

Пример 4. Найти спектр оператора сдвига Ax = (0, x1 , x2 ,...) в l2 .

Решение. Прежде всего отметим,

что так как

=1 , то

≤1 для

λ σ( A) .

Заметим, что λ = 0 σ( A) , так как оператор A не имеет обратного на

l2 . Пусть теперь

≤1 и λ ≠ 0 . Рассмотрим уравнение ( A −λI )x = y . Оно

эквивалентно системе уравнений

−λxn + xn−1

= yn ,

= 0 (n =1,2,...) .

Отсюда xn = (−yn

+ xn−1 ) / λ . Возьмем

y = (−1,0,...) l2 . Тогда решение, если

оно существует, должно иметь вид

x = (

,...,

,...) ,

λ2

λn

∞

но ряд ∑

расходится

при

≤1 . Поэтому R( A −λI ) ≠ l2 .

n=1

Следовательно, такие λ принадлежат

спектру оператора A . Таким

образом,

σ( A) = {λ C :

≤1}.

Задания для самостоятельного решения

1.Найти резольвентное множество, спектр и резольвенту оператора A , если:

а)	A : C[0,1] → C[0,1], где Ax(t) = et x(t) ;
б)	A : C[0,1] → C[0,1], где Ax(t) = a(t)x(t), a(t) - заданная непрерывная на
	[0,1] функция;
в)	A : C[1,2] → C[1,2] , где Ax(t) = ln t x(t) ;
г)	A : C[0,π] → C[0,π] , где Ax(t) = 4 cost x(t) .

2. Найти спектр и резольвентное множество оператора A : l2 → l2 , задаваемого соотношением Ax = (α1 x1 ,α2 x2 ,...,αn xn ,...) , где inf αn > 0 .

3. Найти собственные числа и собственные функции оператора, если:

а)	A : C[0,π] → C[0,π] , Ax(t) = π∫cos(t + s)x(s)ds ;
			0
б)	A : C[0,2π] → C[0,2π] , Ax(t) =			2∫πsin tsin sx(s)ds ;
				0
в)	A : C[0,1] → C[0,1],	Ax(t) = ∫1	(2ts − 4t 2 )x(s)ds .
		0
12. Компактные множества, компактные операторы
Пусть X - линейное нормированное					пространство. Множество
K X	называется	предкомпактным,			если	из	любой

последовательности элементов этого множества можно выделить

сходящуюся	в	X подпоследовательность.		Если предельный	элемент
x0 K , то	K	называется	компактным	множеством. В	случае
конечномерного пространства			X множество компактно тогда и только
тогда, когда оно ограничено и замкнуто.

Семейство функций K C[a,b] называется равномерно ограниченным,

если существует R > 0 ,

такое что для всех

x( ) K

t [a,b] следует

x(t)

≤ R . Равномерная

ограниченность

семейства

функций K

эквивалентна ограниченности множества K в C[a,b] .

равностепенно

Семейство

функций

K C[a,b]

называется

непрерывным, если для любого ε > 0

существует δ > 0

такое, что для

всех x( ) K

и для любых t1 ,t2 [a,b] таких,

что

t1 −t2

< δ , выполняется

неравенство

x(t1 ) − x(t2 )

< ε .

Критерий Арцела. Семейство функций K C[a,b] предкомпактно тогда и только тогда, когда K равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Пример 1. Является ли предкомпактным в C[0,1] множество

K= xn (t) = n(1 −cos t ); n =1,2,... ?

Решение. Воспользуемся критерием Арцела. Во-первых,

семейство K равномерно ограничено,

так

как

для любого n

справедлива оценка

(t)

= 2nsin 2

≤ 2n(

t 2

≤

Кроме того, по формуле Лагранжа конечных приращений

) − x

)

= sin

−t

≤

t −t

< ε

при

t1 −t2

< δ < ε сразу для всех n . Здесь t1

<ξ < t2 . Тем самым показано,

что K - предкомпактное множество.

Пример 2. Пусть K - множество непрерывно дифференцируемых функций x(t) таких, что выполнены два условия:

1)( L > 0)( x( ) K )( t [a,b])[ x&(t) ≤ L] ;

2)( x( ) K )( αx [a,b]) :[x(αx ) = 0].

Доказать, что множество K предкомпактно в C[a,b] .

Решение. Покажем, что K равномерно ограничено. Из представления

x(t) = x(αx ) + ∫t x&(s)ds ,

αx

учитывая, что x(αx ) = 0 , имеем для любых x( ) K

x(t) ≤ ∫b x&(s)ds ≤ L(b − a) t [a,b].

Кроме того, семейство K равностепенно непрерывно, так как при t1 −t2 < δ < εL , выполнено соотношение

		x(t1 ) − x(t2 ) = x(ξ) t1 −t2 ≤ L t1 −t2 < ε .
			&
По теореме Арцела множество K предкомпактно.
Линейный	ограниченный			оператор A : X →Y называется
компактным,	если он любое			ограниченное множество M X

переводит в предкомпактное множество AM Y . Свойства компактных операторов:

1)линейная комбинация компактных операторов является компактным оператором;

2)если A - компактный, а B - ограниченный оператор, то операторы AB и BA компактны;

3)в бесконечномерном пространстве компактный оператор не имеет ограниченного обратного;

4)если линейный ограниченный оператор A : X →Y и пространства X или Y конечномерны, то оператор A является компактным;

5)если Y - банахово пространство и An − A → 0 при n → ∞, где A -

линейный ограниченный оператор и An - компактные операторы, то A - компактный оператор.

Пример 3. Является ли оператор

				Ax(t) = x(0) +tx(1)
компактным в пространстве C[0,1] ?
		Решение.	Пусть M	- произвольное ограниченное множество в
C[0,1] , то есть			существует R > 0 , что для любых x M выполнено
	x	C ≤ R . Тогда семейство		AM , во-первых, равномерно ограничено, так
				AM , во-первых, равномерно ограничено, так

как для любых x M

Ax(t) ≤ R(1 +t) ≤ 2R ,

и, во-вторых, равностепенно непрерывно, так как

Ax(t1 ) − Ax(t2 ) ≤ t1 −t2 x(1) ≤ t1 −t2 R < ε

при t1 −t2 < δ < εR . По теореме Арцела множество AM предкомпактно в

C[0,1] . Следовательно, A - компактный оператор.

Пример 4. Показать компактность оператора A : L2 [0,1] → L2 [0,1]

Ax(t) = ∫1 ets x(s)ds .

Решение. Пусть M - произвольное ограниченное множество в L2 [0,1] , то есть x L2 ≤ R для всех x M .

Учитывая неравенство Коши-Буняковского, получим

−1

Ax(t)

≤ ∫ets

x(s)

ds ≤ (∫e2s )

≤ R

что

показывает

равномерную

ограниченность

семейства

AM .

Кроме того, пользуясь формулой Лагранжа, получим

Ax(t1 ) − Ax(t2 )

≤ ∫1

et1s −et2 s

x(s)

ds ≤ ∫1 seξs

t1 −t2

x(s)

ds ≤

−

≤ (∫e2s )

t1 −t2

< (

)

Rδ < ε

при

δ < 2

ε(e2 −1)

−

R−1

сразу

для

всех

x( ) M . Это

показывает, что

A : L2 [0,1] → C[0,1] L2 [0,1]

семейство

AM C[0,1]

является

равностепенно непрерывным.

предкомпактно в C[0,1] .

По теореме Арцела семейство функций

Это

означает, что из

любой последовательности

{yn } AM

можно

выделить сходящуюся в C[0,1] подпоследовательность. Так как из равномерной сходимости вытекает сходимость в среднем квадратичном, то эта подпоследовательность будет сходиться и в L2 [0,1] . Таким образом, множество AM является предкомпактным в L2 [0,1] . Это доказываеткомпактность оператора A .

	Задания для самостоятельного решения
1.	Какие из следующих операторов являются компактными в
	пространстве	C[0,1] :
	а) Ax(t) = ∫t	x(s)ds ; б) Ax(t) = ∫1 t 2 sx(s)ds ; в) Ax(t) = x(t 2 ) .
	0	0
2.	Доказать компактность оператора A : L2 [0,1] → L2 [0,1] :
	а) Ax(t) = ∫1 ts(1 −ts)x(s)ds ; б) Ax(t) = ∫1 sin(t + s)x(s)ds ; в)		Ax(t) = ∫1 et +s x(s)ds .
	0	0	0

Учебное издание

Белоусова Елена Петровна, Смагина Тамара Ивановна

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Учебно-методическое пособие для вузов

Издано в авторской редакции

Подп. в печ. 16.05.2013. Формат 60×84/16.

Усл. печ. л. 2,7. Тираж 25 экз. Заказ 451.

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.

394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): +7 (473) 259-80-26 http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра

Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. +7 (473) 220-41-33

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.05.201511.65 Mб112ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf.pdf
#
20.05.2015260.61 Кб12shpargalka_po_rynku_cennyh_bumag.doc
#
19.11.2018499.71 Кб3shpory_IOGP (3).doc
#
19.03.20166.46 Mб20shpory_po_optike.doc
#
25.11.2019142.34 Кб3SITUATsIONN_E_ZADAChI_-_LOR_BOLEZNI.doc
#
21.05.2015491.17 Кб31smagina-belousova-method.pdf
#
21.05.20151.16 Mб21Sorokin.pdf
#
22.11.201830.11 Кб6sotsiologia(2).docx
#
21.05.2015485.86 Кб10sotsiologia.rtf
#
19.03.2016267.64 Кб12speckurs.pdf
#
21.05.20155.14 Mб156spez_fiz_pr_zachita.pdf