Угол между двумя прямыми

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле: 

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x-x₁)/m₁ = (y-y₁)/n₁ и (x-x₂)/m₂ = (y-y₂)/n₂, вычисляется по формуле: 

Расстояние от точки до прямой

3,2

Каждую плоскость в пространстве можно представить как линейное уравнение, называемое общим уравнением плоскости

 ,

Частные случаи.

o     Если в уравнении (8) , то плоскость проходит через начало координат.

o     При (,) плоскость параллельна оси(оси, оси) соответственно.

o     При (,)  плоскость параллельна плоскости(плоскости, плоскости).

• Даны точки ,,. Составить уравнение плоскости.

Решение: используем (7)

 

 

 

 

 

  ,    

 

  .

 

Ответ: общее уравнение плоскости .

• Пример.

Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задана общим уравнением плоскости . Запишите координаты всех нормальных векторов этой плоскости.

Решение.

Нам известно, что коэффициенты при переменных x, y и z в общем уравнении плоскости являются соответствующими координатами нормального вектора этой плоскости. Следовательно, нормальный вектор заданной плоскостиимеет координаты. Множество всех нормальных векторов можно задать как.

Ответ:

• Пример.

Напишите уравнение плоскости, если в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве она проходит через точку , а- нормальный вектор этой плоскости.

Решение.

Приведем два решения этой задачи.

Из условия имеем . Подставляем эти данные в общее уравнение плоскости, проходящей через точку:

• Пример.

Напишите общее уравнение плоскости параллельной координатной плоскости Oyz и проходящей через точку .

Решение.

Плоскость, которая параллельна координатной плоскости Oyz, может быть задана общим неполным уравнением плоскости вида . Так как точкапринадлежит плоскости по условию, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости, то есть, должно быть справедливо равенство. Отсюда находим. Таким образом, искомое уравнение имеет вид.

• Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векторам и .

Решение. Векторное произведение по определению 10.26 ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n:

то есть . Используя формулу (11.1), получим

Раскрыв в этом уравнении скобки, приходим к окончательному ответу.

Ответ: .         

• Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:

Согласно вышесказанному:

Ответ: 

• Построить плоскость, проходящую через точку  параллельно плоскости .

У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали. 1) Из уравнения найдём вектор нормали плоскости:.

2) Уравнение плоскости составим по точкеи вектору нормали:

Ответ: 

Векторное уравнение плоскости в пространстве

Параметрическое уравнение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Сформулируем следующую задачу:

Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку M(x0,  y0,  z0) перпендикулярно данному вектору  n = {A, B, C} .

Решение. Пусть P(x, y, z) — произвольная точка пространства. Точка P принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор MP = {x − x0, y − y0, z − z0} ортогонален вектору n = {A, B, C} (рис.1).

Написав условие ортогональности этих векторов (n, MP) = 0 в координатной форме, получим:

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0

 Уравнение плоскости по трем точкам 

     В векторном виде

     В координатах

Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Пусть

 и 

– общие уравнения двух плоскостей. Тогда:

1) если , то плоскости совпадают;

2) если , то плоскости параллельны;

3)  если  или , то плоскости пересекаются и системауравнений

                         (6)

является уравнениями прямой пересечения данных плоскостей.

3.3

Составить канонические уравнения прямой по точке  и направляющему вектору  Решение: Канонические уравнения прямой составим по формуле: Ответ:

В ряде задач требуется найти какую-нибудь другую точку , принадлежащую данной прямой. Как это сделать? Берём полученные уравнения  и мысленно «отщипываем», например, левый кусочек: . Теперь этот кусочек приравниваем к любому числу (помним, что ноль уже был), например, к единице: . Так как , то и два других «куска» тоже должны быть равны единице. По сути, нужно решить систему:

Составить параметрические уравнения следующих прямых:

Решение: Прямые заданы каноническими уравнениями и на первом этапе следует найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и её направляющий вектор.

а) Из уравнений  снимаем точку и направляющий вектор: . Точку можно выбрать и другую (как это сделать – рассказано выше), но лучше взять самую очевидную. Кстати, во избежание ошибок, всегда подставляйте её координаты в уравнения.

Составим параметрические уравнения данной прямой:

Удобство параметрических уравнений состоит в том, что с их помощью очень легко находить другие точки прямой. Например, найдём точку , координаты которой, скажем, соответствуют значению параметра :

Таким образом:  б) Рассмотрим канонические уравнения . Выбор точки здесь несложен, но коварен:  (будьте внимательны, не перепутайте координаты!!!). Как вытащить направляющий вектор? Можно порассуждать, чему параллельна данная прямая, а можно использовать простой формальный приём: в пропорции находятся «игрек» и «зет», поэтому запишем направляющий вектор , а на оставшееся место поставим ноль: .

Составим параметрические уравнения прямой:

в) Перепишем уравнения  в виде , то есть «зет» может быть любым. А если любым, то пусть, например, . Таким образом, точка  принадлежит данной прямой. Для нахождения направляющего вектора используем следующий формальный приём: в исходных уравнениях  находятся «икс» и «игрек», и в направляющем векторе на данных местах записываем нули: . На оставшееся место ставим единицу: . Вместо единицы подойдёт любое число, кроме нуля.

Запишем параметрические уравнения прямой: