Лабораторна робота №7

Тема: Дослідження задачі розтину графа на шматки.

Мета: набути навичок розв'язку задачі розтину графа на шматки і реалізувати його програмн.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

1 . Постановка задачі розрізу графа схеми.

Сформулюємо задачу розрізу графа G= (Х,U)на шматки G_i = (Х_i,П_i) і

∈ I = {1,2,...,1}, де 1 - кількість шматків, на які розрізається граф. Розріз графа визначимо по аналогії з розбиттям множин.

Сукупність шматків В(G_і) називається розрізом графа G=(Х, V), якщо

(1)

де U_ii - множина ребер, що попадають в розріз між шматками G_i та G_i. Позначимо {U_ii}=k_ii та назвемо його числом реберного об'єднання шматків, причому

Якщо k_ii =1, то шматок G_i , називається напівостовом.

Задачею розрізу графа G=(Х,U) є знаходження такої сукупності шматків., щоб сумарне число реберного з'єднання задовольняло заданому критерію оптимальності.

Під оптимальним розрізом графа G=(X,U) будемо розуміти такий розріз

B(G_t), який задовольняє умові

(2)

тобто критерієм оптимальності є мінімальна кількість ребер між шматками графа G.Сформульована задача е задачею комбінаторно-логічного типу, і роз'вязок її пов'язаний з великим перебором різних варіантів розбиття графа на шматки.Щоб запобігти цьому, розроблені алгоритми, не пов'язані з повним перебором, хоч і такі, які приводять до знаходження не загального, а локального мінімума, достатнього для практичних цілей.

На практиці використовуються ітераційні, послідовні та змінні алгоритми. При використанні послідовних алгоритмів спочатку вибираються по визначеному критерію вершина графа, далі до неї приєднуються інші вершини з метою створення першого шматка, другого шматка і тощо до отримання бажаного розбиття. Ітераційні алгоритми полягають в

слідуючому : граф розбивається на визначену кількість шматків довільним чином. Потім відбувається перестановка вершин з одного шматка в інший по деяким критеріям з метою мінімізації числа ребер між шматками.

2. Послідовні алгоритми розрізу.

Опишемо один з можливих алгоритмів послідовного типу, який приводить до отримання локального максимума у відповідності з критерієм для випадку, коли існують деякі обмеження. Часто при компоновці модулів в комірці, яка є прототипом задачі розрізу графа схеми, ставиться у вимогу отримання рівних по кількості вершин шматків. Крім того, як правило, деякі вершини графа жорстко закріплюються за визначеними шматками, тобто є забороненими для перестановок.

Нехай задано граф G=(Х, UF) та множина заборонених елементів Q c X,

|Q|=q . Вимагається знайти такий розріз В(G_щ) на І однакових шматків, щоб

де X_i - вершини i-го шматка.

Інакше передбачається, що будь-які дві заборонені вершини розміщуються в різних шматках. Ця вимога не порушує загальності міркувань.

Побудова першого шматка починається з вершини , яку апріорно вважаємо належного множиш вершин Х_i першого шматка G_l = (Х_l,U_l) та створюючої перший рівень. На першому рівні множина X, = {х_σ}.

Для визначення вершини слідуючого рівня, тобто другої вершини, яку необхідно розмістити в шматок G_l , будується множина вершин, суміжних з вершиною

Позначимо цю множину Гх_є .

Введемо поняття віносної ваги δ(х_i) для будь-якої вершини графа хі :

(3)

де а_ik - кількість ребер, з'єднаючих вершину x_і з вершинами X_l .

У відповідності з обраним критерієм для отримання необхідного шматка з множини Гх_е необхідно обрати вершину х_i з мінімальною величиною δ(х_i) тобто обрати x_і , для якої

δ(x_i)=min δ(x_i)

де i ={1,2,…,t}, t=| Гх_е |

Вершина x_і є вершиною другого рівня. На другому рівні X_i = {х_е,х_і].

Далі розглянемо множину Гх_е Гх_і та для кожної вершини X_k (Гх_є Гх_і ) визначимо відносну вагу у відповідності з виразом (3). Обираючи вершину х_k з мінімальною вагою, отримає X_l = {х_е,х_і,х_k}.

Вказаний процес виконується до тих пір, поки множина Х_l не буде утримувати n/1 елементів.

Отриманий шматок G_l видаляється з графа G. Обирається слідуюча заборонена вершина х_ɷ та будується слідуючий шматок по описаній

процедурі.

Сформулюємо описану процедуру у вигляді алторитма

1. Видаляємо першу заборонену вершину х_є та по матриці суміжності або її кодовій реалізації будуємо множину Гх_е . Переходимо до п.2.

2. Для вершин з множини Гх_е визначаємо по формулі (3) відносні ваги та вибираємо з них мінімальну. Переходимо до п.4. Якщо таких вершин декілька, то перехопимо до п.З.

3. З підмножини вершин з рівною відносною вагою обираємо вершину з більшим локальним ступенем, розміщуємо її в шматок та переходимо до л.5.

4. Обрану вершину розміщуємо в шматок. Переходимо до п.5.

5. Підраховуємо кількість з вершин в шматку. При s<k пере ходимо до п. 7; якщо s=k, то шматок отримано. Видаляємо його з графа G та переходимо до п.6.

6. Перевіряємо існування заборонених вершин; якщо такі вершини існують, то переходимо до п. 1, інакше - до п.8.

7. Будуємо множину вершин, суміжних раніш обраним в даний шматок, та переходимо до п.2.

8. Кінець роботи алгоритму.