Тема № 6: Проверка соответствия экспериментальных данных нормальному закону распределения случайной величины.
Для статистической оценки показателей качества и выполнения сравнительного анализа необходимо знать закон распределения случайной влечены.
Критерий Пирсона.
По этому критерию проверяют гипотезу
о том, что распределение опытных данных
не противоречит теоретическому
распределению. В случае выполнения
неравенства
гипотеза о подчинении выборки нормальному
закону распределения не отвергается.
где 
– частота попадания экспериментальных
данных i-й интервал гистограммы;
– теоретическая частота попадания
экспериментальных данных i-й интервал;
К – число интервалов гистограммы
распределения
Допустимая величина
отклонений
(определяется по таблице 2.1) зависит от
уровня значимости а (а=0,10) и числа степеней
свободы q
где К
– число интервалов гистограммы
распределения; r – число параметров
закона распределения, для нормального
закона распределения r
равняется 2 (т.е.
и σ)
Проверку гипотезы о подчинении статистического ряда данных нормальному закону распределения проводят следующим образом.
Определяют максимальное и минимальное значение в выборке (Хmax=356 Xmin=128)
Для построения гистограммы распределения определяют длину интервала Dи по формуле Стерджеса:
N – общее число измерений физических величин, определяющее размер выборки
Разбивают выборку на К интервалов длиной Dи. Для каждого интервала устраивают нижнюю и верхнюю границ.
Нижнюю границу
1-го интервала определяют как
,
а верхнюю
Первый должен включать Xmin , последний интервал Хmax
Для последующих
интервалов
,
Середину интервала определяют:
Рассчитывают экспериментальные частоты попадания результатов измерений в каждый интервал
.
При этом значение пренадлежит интервалу,
если совпадает с его нижней границей.Вычисляют статистические характеристики выборки с учётом частоты попадания значений в интервал.
Среднее арифметическое значение для середин интервалов
Вычисляют для каждого интервала значение:
Устанавливаем значение плотности вероятностей нормального распределения f(ti) (по приложению 1)
Устанавливаем теоретические частоты попаданий результатов измерений в i-й интервал по формуле:
Вычисляем значение критерия Пирсона
по формуле:
Рассчитываем число степеней свободы:
По таблице 2.1 определяем допустимое значение
:
(а=0,10, q=5)
= 9,24>6,92
следовательно
Вывод: Гипотеза о соответствии экспериментальных данных нормальному закону распределения не отвергается.
|
№ п/п |
Границы интервала |
Середина интервала
|
|
|
|
ti |
f(ti) |
|
|
| |||||||||||||||||
|
Нижняя |
Верхняя | ||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 | ||||||||||||||||
|
1 |
128 |
160 |
144 |
6 |
-76,4 |
35021,76 |
1,65 |
0,102 |
5,65 |
0,35 |
0,02 | ||||||||||||||||
|
2 |
160 |
192 |
176 |
17 |
-44,4 |
33513,12 |
0,96 |
0,252 |
13,96 |
3,04 |
0,66 | ||||||||||||||||
|
3 |
192 |
224 |
208 |
23 |
-12,4 |
3536,48 |
0,27 |
0,385 |
21,32 |
1,68 |
0,13 | ||||||||||||||||
|
4 |
224 |
256 |
240 |
17 |
19,6 |
6530,72 |
0,42 |
0,365 |
20,21 |
-3,21 |
0,51 | ||||||||||||||||
|
5 |
256 |
288 |
272 |
11 |
51,6 |
29288,16 |
1,12 |
0,213 |
11,80 |
-0,80 |
0,05 | ||||||||||||||||
|
6 |
288 |
320 |
304 |
4 |
83,6 |
27955,84 |
1,81 |
0,078 |
4,32 |
-0,32 |
0,02 | ||||||||||||||||
|
7 |
320 |
352 |
336 |
1 |
115,6 |
13363,36 |
2,50 |
0,017 |
0,94 |
0,06 |
0,00 | ||||||||||||||||
|
8 |
352 |
384 |
368 |
1 |
147,6 |
21785,76 |
3,19 |
0,00245 |
0,14 |
0,86 |
5,51 | ||||||||||||||||
|
Сумма |
80 |
|
170995,2 |
|
78,33 |
|
6,92 | ||||||||||||||||||||
|
|
174,17 |
1 |
0,242 |
13,40 |
|
|
220,4 |
0 |
0,398 |
22,04 |
|
|
266,63 |
1 |
0,242 |
13,40 |
