Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матан / методичка 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2016

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ по теме «Пределы и непрерывность функций»

1.Определения бесконечно малой и бесконечно большой величин при x x0 и x . Привести графическую иллюстрацию.

2.Дать определения предела функции в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределах.

3.Дать определение предела числовой последовательности.

4.Формулы 1-го и 2-го замечательных пределов и следствия из них.

5.Сравнение двух бесконечно малых величин. Понятие относительного порядка малости.

6.Эквивалентные бесконечно малые величины. Наиболее часто встречающиеся соотношения эквивалентности.

7.Виды неопределенностей и приёмы для их раскрытия.

8.Односторонние пределы функции в точке. Привести примеры вычисления таких пределов.

9.Различные условия непрерывности функции в точке и на интервале. Свойства функций, непрерывных в точке.

10.Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке. Графически проиллюстрировать теоремы Вейерштрасса и Коши.

11.Понятие и типы разрывов функции в точке. Определение каждого типа разрыва и их геометрическая иллюстрация.

Предел. Непрерывность

Вариант 1

1. Найти пределы:

1). lim

1 2n 3 8n3

9).

lim

3x2 5x

1 2n 2

4n2

sin 3x

arctg 2x

n 3 5n2 4 9n8 1

10).

lim

2). lim

23x 1

7 n n2

n (n n)

ln( x2 1)

3). lim

arcsin( 4 x

11).

lim

x2 1

x3 )

ln (1 sin

2n2

7n 1 1 3n2

12).

lim

1 cos x

tg 2 x

4). lim

2n2

5). lim

(2n 1)! (2n 2)!

sin 2x 1 x

(2n 3)!

13).

lim

5 10n 3 7n1

1 (3

x 1)

6). lim

2x 1

2 7

n 2

14).

lim

7). lim

x2 2x 1

15).

lim cos x 1 sin x

2x2 x 1

1 2x 3

16).

lim

4 n

8). lim

x 2

2. Для данных бесконечно малых при x x0 величин записать эквивалентные в виде A x x0 k :

3). ln 3(4 x),

1). 5 3

1 1,

x0 0;

x0 3;

10x2

2).

x0 0;

4). tg(x2 x 4),

x0 4 .

3. Исследовать на непрерывность функции:

x 0,

1) y

;

2) y

;

3) y 2x 3,

0 x 5,

x2 9

51 x 2

x 5.

Предел. Непрерывность

Вариант 2

1. Найти пределы:

5x 5

1). lim

3n 1

125n

9). lim

x 4 3

5 n 4n

2). lim

3n2 5n 2

(2n2 1)2 (2n2 3)2

3). lim

5 1 arcsin(5x

7) 1

1 cos 3 x

4).

3n 2

lim

5). lim

n!n

(n 2)! (n 1)!

6). lim

3n 8n1

5 3n 4 8n

1 2 n

7). lim

n 2

10). lim

x3 3x 2

x2 x

11).

lim

1 cos10x

12). lim

4ln (1 2x)

7 arctg 3x

13). lim

cos( x 2)

14).

lim

(cosx)(ctg 2x sin 3x)

x4 5

1 (x 2)

15).

lim

x 10

3x3

2x 1

n 5 (7n 6)1

8) lim

51 (x 2)

16).

lim

4)(x 2)2

x (3x

n n 6

2. Для данных бесконечно малых при x x0

величин записать

эквивалентные в виде A x x k :

3).

sin3 3x

;

1). ln 1 3 x tg

x ,

x 0;

2). 1 cos

x0 0;

4).

(x2 9x)4

x0 9.

x 5

3. Исследовать на непрерывность функции:

x 0,

1) y

y 5 31/( x6)

3) y

x2 ,

0 x 5,

x2 4

7 2x,

x 5.

Предел. Непрерывность

Вариант 3

1. Найти пределы:

x3 x2 x 1

2n2 5

1). lim

n 1

9).

lim

5 32n5 1

n2 1

10). lim

x 2 2

2). lim

3x 3 3

n2 3

1 3 2n

ln (1

sin x)

3). lim

11). lim

n 1

(x )sin

4).

lim

12). lim

tg x (1 cos x)

5). lim

(n 2)! (n 1)!

13). lim

ln sin x

n! (n 3)!

2 1 cos4x

6). lim

5n 2 3n1

x 3

2x2

14). lim

x 3

7). lim

)tg x

ex e2x

cos x

15). lim

sin 3x

4 4

8).

lim

16).

lim

2. Для данных бесконечно малых при x x0 величин записать эквивалентные в виде A x x0 k :

1). log 2 (2 cosx),

x0 0;

3). e5 x 2

2). tg x sin 2x ,

x0 0;

4). arc tg

3. Исследовать на непрерывность функции:

e x ,

x 1,

x 1

2) y e 1 x

3) y

1 x 3,

2x3 x2

1 x,

x 3.

Предел. Непрерывность

Вариант 4

1. Найти пределы:

n 4

81n4 n

3x 9 3

1). lim

3n 1

9).

lim

2x x

n (n 3

) 5

n n2

2). lim

(n 3)3 (n 4)3

10).

lim

4x2 9x 26

(n 3)4 (n

4)4

x2 4

7n2

18n

3n 2

11).

lim

ln tg x

3). lim

cos2x

7n2

11n

4).

lim

12).

lim

sin x

n! (n 1)!

5). lim

13).

lim

3x 1

3n! 4(n 1)!

x0 cos (x 1) / 2

6). lim

2n1 5n

5 / tg 5xsin 2x

7 2n 11 5n1

14).

lim (cosx)

x3 2x

1 (x 6)

7).

lim

15).

lim

tg 5x

3x 5

sin 2x

arcsin3x

8). lim

x sin

ctg 2 7x

16).

lim

x0 arc tg 2

2. Для данных бесконечно малых при x x0 величин записать эквивалентные в виде A x x0 k :

1) 3

x0 0;

3). ln 2 (x2 5x 7),

27 x

x0 2;

2). 1 cos310x,

x0 0;

4). arc sin

1 x2 ,

3. Исследовать на непрерывность функции:

1) y

4x 3

x 3,

x 0,

; 2)

; 3) y

x 1,

0 x 4,

41 (x1)

3 2

x 4.

Предел. Непрерывность

Вариант 5

1. Найти пределы:

1). lim

(n 1)4 (2n 1)4

9).

lim

5x2 3x 9

(3n 1)4 (n 1)4

x3 8x2 21x 18

5 x

2).

lim

n 3

10). lim

4 5n4 1 6 n8 1

x4 1 5 x

3).

lim

11).

lim

n2 1

4). lim

5). lim

4 2 10n

5 7

10n3

6). lim

4n!

3n! 2(n 1)!

7). lim

1 x2

cos x

cos3 x

8). lim 1 5sin 2x 3 / sin x x0

12).

13).

14).

15).

16).

lim

ln (1 2 x tg x)

e3x 1

10 3x 2

ln (5 2x) arc tg (x2 2x)

sin 3 x

(3 2x)tg (x / 2)

1 cos7x

1 cos5x

2. Для данных бесконечно малых при x x0 величин записать эквивалентные в виде A x x0 k :

			7x2					3). 5			2 ,
			7x2	1,			x0 0;	3). 5	39 7x		2 ,				x 1;
1).		e													0
1).		e
					2		x0 0;										3
2).			x tg x		2	,											3
								4). 1 cos		5x			2	,	x0			.
								4). 1 cos		5x				,	x0		10	.
																	10
3. Исследовать на непрерывность функции:
												2x 2,				x 1,
		x

1) y					2)		y 9 51 (x3)		3) y				1 x2		, 1 x 1,

	4x 5
	4x 5											3 2x,					x 1.

		7
Предел. Непрерывность				Вариант 6
1. Найти пределы:
1). lim	(2n 1)2 (n 1)2	9).	lim	2x2 5x 7
1). lim	(n 1)3 (n 1)3	9).	lim	3x2 x 2
n	(n 1)3 (n 1)3		x1	3x2 x 2

2). lim

3 n2

1 7n3

4 5n12 n 1

3). lim

(n 4)! (n 2)! 4). lim 3(n 3)!

2n 5n1

5). lim 2n1 5n3 n

	3n2	6n 7	2n
6). lim
6). lim	3n2	20n 1
	3n2	20n 1
n

3x2 5x 1 7). lim (2x 1)(3x 1)

10). lim

(2x 3)3x /( x 2)

11). lim

1 sin (x / 2)

12). lim

10 x

sin 5 x

13). lim

1 cos4x

(e5x 1)2

14). lim

(cosx)ctg x / sin 4x

2x1

15). lim

arcsin

arctg

2x 3 3

8). lim

2x 1

1/(

x 1)

3x x

16). lim

2. Для данных бесконечно малых при x x0 величин записать эквивалентные в виде A x x0 k :

1) ln (1 x tg 2

) ,

x 0;

3) (x2 2x) arctg (x 2) ,

x 2;

2). cosx cos2 x ,

x0 0;

4). e1 x3 1 ,

x0 1.

3. Исследовать на непрерывность функции:

2x 1,

x 1,

1) y

x 7

2) y

2x1,

3) y

1 x 1,

(2x 5)(3x

(1/ x)

6 2x,

x 1.

Предел. Непрерывность

Вариант 7

1. Найти пределы:

3n2 2n 5

1). lim

9).

lim

3 x2 7

x 8 2

1 cos8x

n 4

25n4 81

2). lim

11n

10). lim

sin x tg 2

n (n 7 n) n2 n 1

3). lim

3n 2n

11). lim

x2 2x 15

5 3n1 2n 2

x2 7x 10

5x3

4). lim

12). lim

5). lim

n! (n 2)!

13).

lim

sin (x / 3)

(n 1)! (n 2)!

1/ 2 cos x

/ 3

51/ n

14). lim

(x 1)1/( x 2)

6). lim

4n4

ln (1 arcsin2x

)

7). lim

15). lim

x 0

arctg

2n2

2n 3

3n2

16). lim

2(e x 1)

3( 1 6x 1)

8). lim

2n2 2n

2. Для данных бесконечно малых при x x0

величин записать

эквивалентные в виде A x x

k :

1) x arctg 3 2x2 ,

3) ln 5 (x2 x 19),

x0 4;

4). 3

sin (x sin 3 x5 ),

3 ,

x0 0;

36 3x

3. Исследовать на непрерывность функции:

4x3

2 x2 ,

1) y

2) y 1 52 /(3x 4)

3) y

2cos x,

x2 16

x /

x0 3.

x 0,

0 x / 2,

x / 2.

Предел. Непрерывность

Вариант 8

1. Найти пределы:

1 2 3 n

1). lim

9). lim

x 6 2

4n4 1

2x 20 4

cos(x2 x) 1

3 8n3 5

2). lim

n 2

10). lim

4 n 7 4n

sin x

34n2

11). lim

1 2x

1 x

3). lim

sin (1 x)

2n 3n

4). lim

12). lim

5). lim

n! n

13). lim

lg x 1

(n 1)! n !

x 9

x10

6). lim

5n 9n1

14). lim 3x

x /( x1)

4 5n 8 9n 2

3 2x2

7).

lim

21/( x 3)

ln (1tg

)

15). lim

2 e

8). lim

3x2

x 14

x2 x x

2x2 2x 4

16). lim

3x 1

2. Для данных бесконечно малых при x x0 величин записать эквивалентные в виде A x x0 k :

3). ln (2x 5) ,

arctg

x0 0;

2). 7

4). sin (x3 3x2 ),

2x3 1 1,

x0 0;

3. Исследовать на непрерывность функции:

x 0,

1) y 3

2) y 5e1/ x

3) y

0 x 1,

2x 1

x 1.

				10
Предел. Непрерывность						Вариант 9
1. Найти пределы:
	15		31		x 3
1). lim	(2n 1)	(3n 1)		9). lim

					3x x
	(n2 13n 4)23
n	(n2 13n 4)23			x3

2). lim

2 3 8n3 n

n2 5

3). lim

2n ln

n 1

n 2

4).

lim

5n 1

5). lim

3n!

5(n 1)! 4n!

6). lim

10n 1

5 3 10n3

x3 2x

7). lim

8).	lim	x2 x 6
		2x2 x 21
	x3

2. Для данных бесконечно малых при эквивалентные в виде A x x0 k :

10). lim		2x2 ln cos x 1
			sin 2 x
x0
11). lim		x sin 2x
		x sin 5x
x0
12). lim			(x	) tg x
x / 2				2

13). lim	log 3 x 1
			tg x
x3

14). lim	(2x 3)3x /( x 2)
x2
15). lim			sin 2 x 1/ ln cos x
			2 3
x0
			3x 2 2x
16). lim

x			3x 1

x x0 величин записать

3). e(x2 4x5) 1,

ln (1 2x arctg 3 x5 ,

x 5;

2).

1 x sin x cos2x,

4). arcsin3(x2

2x),

x0 2.

3. Исследовать на непрерывность функции:

x 0,

1) y

3) y

1 x,

0 x 1,

3 41/(5x1)

4 x2

1 (1 x),

x 1.

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Матан

#
18.03.20161.3 Mб32методичка 3.pdf
#
18.03.20161.47 Mб22методичка 4.pdf
#
18.03.20161.61 Mб14методичка 5.pdf
#
18.03.20162.77 Mб29Общая_шестая.doc