Матан / методичка 3

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y ln sin 2x ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2016

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Основные правила дифференцирования функции одной переменной

Если С - константа, а U=U(x) и V=V(x) дифференцируемые функции, то

1. Производная константы

(С) 0,

2. Производная произведения константы на функцию

(C U ) C U ,

3. Производная суммы (разности) функций

(U V ) U V ,

4. Производная произведения функций

(U V ) U V U V ,

5. Производная частного функций

U	U V U V
		,
	V 2
V

6. Производная сложной функции y = y(U), где U = U(x):

y (x) y (U ) U (x),

7. Производная обратной функции x = x(y):

x ( y)	1	,

	y (x)
8. Производная параметрически заданной функции						x x(t),
8. Производная параметрически заданной функции
						y y(t)
y (x)	y (t)	,	y (x)	y (t)x (t) y (t)x (t)	,

	x (t)			x (t) 3

9. Производная показательно-степенной функции y U (x) V ( x) :

(U V ) V U V 1 U U V lnU V ,

10. Правило логарифмического дифференцирования функции

y = y(x): y (x) y(x) ln y(x)

Основные формулы дифференцирования функции одной переменной

Если U(x) - дифференцируемая функция, то производная по независимой переменной от функций:

1. Степенная функция

(U n ) n U n 1 U				1
	(	U )			U
			2
				U

	1	1
			U
		U 2
U

2. Показательная функция

(aU ) aU ln a U (eU ) eU U

3. Логарифмическая функция

(loga U )	1	U	(lnU )	1	U
	U ln a			U

4. Тригонометрические функции

(sinU ) cosU U

(cosU ) sinU U

(tgU )

(ctgU )

cos2 U

sin2

5. Обратные тригонометрические функции

(arcsinU )

(arccosU )

1 U 2

(arctgU )

(arcctgU )

1 U 2

6. Гиперболические функции

(shU ) chU U

(chU ) shU U

(thU )

(cthU )

ch2U

sh2U

					33
Приложения производной												Вариант 1
1.	Исследовать на экстремум функции:
		1	x3 x4 ;		y x 3					;		y	x	3
	1) y	1		2)				x 1			3)		x	3		;
	1) y			2)				x 1			3)					;
	3											3			x
2.	Составить уравнения всех асимптот следующих кривых:
					y	ln	x		;					3
	1) y 3 x3 3x ;			2)		ln	x				3)	y		3			;
	1) y 3 x3 3x ;			2)							3)	y				4)	;
							x						x(x			4)

3. Провести полное исследование и построить графики функций:

1) y	(x 1)2	;	2) y x e x2 / 2 ;	3) y ln	x 1
	x 2				x 2

4.Найти длины сторон прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.

5.Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке x x0 , или соответствующей значению параметра t t0 :

1)	y e2x x2 ,	x 0 ;
		0
2)	x cos(t / 2),	t0 / 2
	y t sin t,	t0 / 2

6. Используя правило Лопиталя, найти пределы:

x e x / 2

lim

;

lim

;

x 1

x e x

x2 1

3) lim

(tgx)tg 2x

;

Приложения производной

Вариант 2

Исследовать на экстремум функции:

2x3

1) y ln (x2 4x) ;

;

3) y 33 (x 1)2 2x ;

x2 4

Составить уравнения всех асимптот следующих кривых:

x3 3x

3) y

2x 3

1) y 4x2 5x ;

;

x 4

x2 3x)

3. Провести полное исследование и построить графики функций:

		x3			2) y e1/(3 x) ;
1)	y			;		3) y 1 3 (1 x)2
		2(x	1)2

4.Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась 800 кв.м, а длина забора была наименьшей?

6. Используя правило Лопиталя, найти пределы:

		xm 2m	; 2) lim x1/(1ln x) ;			2x 3 x 4
1)	lim			3)	lim		;
		xn 2n
	x2		x0		x	2x 3

Приложения производной

Вариант 3

Исследовать на экстремум функции:

x 5

3) y ln

x 1

;

1) y

;

y 2x 3 x2 ;

x 1

Составить уравнения всех асимптот следующих кривых:

1) y

2x3

;

y arctg

;

3) y

3x ;

ln x

3. Провести полное исследование и построить графики функций:

	y	x	arctgx		2) y	x2
1)				;				;	3) y x 2	x
						x
	2						2

4.Найти наибольший объём конуса, образующая которого l 3 .

1)	y 1 3		,	x 8 ;
		x
				0
2)	x 3(t sin t),			t0 / 3
	y 3(1 cost),

6. Используя правило Лопиталя, найти пределы:

		a
1) lim	xn sin	a	;		2)	lim (x2 2x)1/ x ;
1) lim	xn sin		;		2)	lim (x2 2x)1/ x ;
x		x				x
x						x
	3) lim			1 x ln x		;

					2x x2
	x1 1				2x x2

			36
Приложения производной					Вариант 4
1. Исследовать на экстремум функции:
	1
1) y	1	(4x3 x4 ) ;	2) y 3 x3	6x2	;
1) y		(4x3 x4 ) ;	2) y 3 x3	6x2	;
5

3)y sin 2x 2cosx ;

2.Составить уравнения всех асимптот следующих кривых:

	y	x2			2) y ln	x 2

1)				;			;
		x2				x 2
			1

3)y (x2 4x 3) ex1 ;

3.Провести полное исследование и построить графики функций:

1) y	4x3		;	2) y (x 1) e3x1 ;	3) y ln (x2 1)
	x3
		1

4.Сумма двух положительных чисел равна a . Найти эти числа при наименьшем значении их произведения.

1)	y 8 4		70 ,					x 16 ;
1)	y 8 4	x	70 ,					x 16 ;
								0
		3			t,
2)	x 5cos				t,
2)				3 t,
	y 5 sin			3 t,		t	0	/ 3
							0

6. Используя правило Лопиталя, найти пределы:
1) lim	ln tg x	;	2) lim	x3 5x2 3x 9	; 3)	lim x2 /(1 x) ;

x / 4	cos2x		x3	x3 8x2 21x 18		x1

3)y e2x x2 ;

2.Составить уравнения всех асимптот следующих кривых:

	2) y	x2 6x 3
1) y 3 1 x3 ;		x2 6x 3	;
1) y 3 1 x3 ;		x 3	;
		x 3

3)y x 2ln x ;

3.Провести полное исследование и построить графики функций:

1) y	4x	;	2) y x e x2 ;	3) y	3	1
	x2 4				x	x3

4.В круг радиуса R вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.

	1) y	1	(x2 2x 3) ,		x 4 ;

	4				0

	2) x 2 cost,			t0 / 3
	y sin t,
6. Используя правило Лопиталя, найти пределы:
1) lim	arctg x ln (1 x2 )			;	2) lim (e2x x)1/ x ;
	3x
x0					x0

	3)			lim (xn e x ) ;
			x

			38
Приложения производной					Вариант 6
1. Исследовать на экстремум функции:
	4x
1) y	4x	;	2) y (x 1)3	3 x2 ;
1) y	x2	;	2) y (x 1)3	3 x2 ;
4	x2

3)y ln (9 x2 ) ;

2.Составить уравнения всех асимптот следующих кривых:

			x3
1) y 9x2 1 ;	2)	y	x3		;
1) y 9x2 1 ;	2)	y	2(x	1)2	;
			2(x	1)2

3)y x e x ;

3.Провести полное исследование и построить графики функций:

	4
1) y x	4	; 2) y x2 x 1	;	3) y x ln x

	x 2
	x 2
4. Из всех цилиндров данного объёма V				найти тот, у которого
полная поверхность наименьшая.

1)	y		2x			,	x0 2 ;


		x2 1
			t	3	,
2)	x 1		t		,
2)				t 2 ),
	y t (1			t 2 ),			t	0	2
								0

6. Используя правило Лопиталя, найти пределы:

1) lim	2x ln (1 2x)	;
	x2
x0

3) lim

2) lim (3		x	)	tg (x / 4a)	;
2) lim (3		a	)		;
x2a		a
x2a
1	;

cos( x / 2) ln (1 x)

Приложения производной

Вариант 7

1. Исследовать на экстремум функции:

1) y

;

e x

;

3) y

;

2(x

x3 1

2. Составить уравнения всех асимптот следующих кривых:

1) y x 2arctg x ;

2) y x ln (x2 1) ;

1 x3

;

3. Провести полное исследование и построить графики функций:

1) y	2	1	;	2) y 3 3		x ;	3) y x	ln x	;
					x
	x	x2						x

4.В треугольник, основание которого a , высота h , вписан прямоугольник наибольшей площади (основание прямоугольника лежит на основании треугольника). Найти стороны этого прямоугольника.

1)	y x x3,	x 1 ;
		0
2)	x arcsint,	t0 1
	y arccos(1 t),	t0 1

6. Используя правило Лопиталя, найти пределы:

1) lim	x ctg x 1	;		2) lim	(1 ex )1/ x ;
	x2
x0				x
	3) lim		x3	6x 6sin x	;
				x5
	x0

Приложения производной

Вариант 8

Исследовать на экстремум функции:

x 1

3 3

1) y 5

;

2) y

; 3)

y x2 ln x ;

x 1

Составить уравнения всех асимптот следующих кривых:

x4 27

;

1) y x2 x 1 x2 x 1 ; 2)

2x3

3)y 1 e1/ x ;

3.Провести полное исследование и построить графики функций:

		10x			y 5x e x ;
1)	y	10x		; 2)		3) y x 3 (x 1)2 ;

		(1	x)3
		(1	x)3

4.Из всех прямоугольников данного периметра P найти тот, у которого диагональ наименьшая.

1)	y	x16 9	,	x 1 ;

	1 5x2			0

2)	x t sin t cost,			t0 / 4
	y sin t t cost,

6. Используя правило Лопиталя, найти пределы:

1) lim	3tg	4x 12tg x		;	2) lim	(ctg x)1/ ln x ;

x0	3sin	4x 12sin x			x0
	3) lim (		1		tg x) ;
			cos x
		x / 2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Матан

#
18.03.20161.3 Mб33методичка 3.pdf
#
18.03.20161.47 Mб23методичка 4.pdf
#
18.03.20161.61 Mб15методичка 5.pdf
#
18.03.20162.77 Mб30Общая_шестая.doc