Матан / методичка 4

Кратные интегралы

Вариант 1

1.

В двойном интеграле

f (x; y) dxdy

перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1)

x2 y2 2,

x2 y,

( y 0) ;

2)

x y 2,

y 1,

x 0,

y 0 .

2.

Перейти к полярным координатам и вычислить:

arctg

y

dxdy,

где

D :{x2 y2 1;

0 y x}.

(D)

x

3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) x 5 y2;

x 4 y;

2)

y sin x ;

y cos x ;

y 0 ,

(0 x 2) .

1)

D :{(3 x) y (3 x),

0 x 3},

(x; y)

2x 3y ;

2)

D :{(2 x) y

4 x2} ,

(x; y) ln( x2 y2 ) .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

(V ) , ограниченной поверхностями:

1)

x2 y2 16 y ,

x y 16 ,

x 0 , z 0 ;

2)

4x y2 ,

2x y 2, y x ,

y 0 , z 0 .

1)

x 0 , y 2x , y 1,

x y z 3,

(z 0) ;

2)

x2 y2 z , z h2 .

V :{x2 y2 z2 4 ;

y 0 ;

z 0},

(x; y; z)

x2

.

x2 y2

z 2

Кратные интегралы

Вариант 2

1. В двойном интеграле

f (x; y) dxdy

перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1) xy 1, x2 y,

y 2 ,

x 0 ,

(x 0) ;

2) x2 y2 4 ,

y2 3x ,

y 0 ,

(x 0,

y 0) .

2. Перейти к полярным координатам и вычислить:

D :{x2 y2 2 ;

x (x2 y2 )3 dxdy,

где

(D)

1) x y;

x2 2 y;

2) x y 1;

x 2y 2 0 ;

x 0 .

1)

D :{(0 x y, 0 y 1},

(x; y) x2 2 y2 ;

2)

D :{x2 y2 4 ,

x 0 ,

y 0},

(x; y) x3 .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

1)

z 4 y2 ,

z 2 y2 ,

x 1,

x 2 ;

2)

z 4 x2 y2 ,

z 3.

1)

y 3x ,

x 1,

z 2(x2 y2 ) ,

z 0 ,

y 0 ;

2)

x2 y2 z2 9 ,

x2 y2 4 ,

y 0 .

V :{1 x2 y2 z2 4 ;

y 0},

(x; y; z) (x2 y2 z2 )3 2 .

Кратные интегралы

Вариант 3

1.

В двойном интеграле

f (x; y) dxdy

перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1)

x y2 ,

y2 4 x ;

2)

x y 1,

x 2y 2 0,

x 0 .

2.

Перейти к полярным координатам и вычислить:

где D :{x2 y2 10x ; y 0}.

(x2 y2 )5 dxdy,

(D)

3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1)

y 2x ; y 2x x2; x 0; x 2.

1)

D :{(6 x) y 2x,

x 4},

(x; y) x2 ;

2)

D :{x2 y2 4,

x

y x},

(x; y) 2y .

3

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

1)

z y, z 0, x 1, y 4x.

2)

z2 36(x2 y2), x2 y2 1,

x 0,

z 0, (x 0,

z 0).

2) x2 y2 z2 2R2,

x2 y2 Rz, z 0.

V :{25 x2

y2 z2 81,

x 0,

z 0,

x y x},

(x; y; z)

x2 y2 z2 .

7

Кратные интегралы

Вариант 4

1. В двойном интеграле

f (x; y) dxdy перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1)

y x2 ,

x y 1,

x 1,

x 3 ;

2)

x2 y2

1,

x y 1,

y 0 ,

( y 0);

2. Перейти к полярным координатам и вычислить:

cos (x2

y2 ) dxdy,

(D)

D :{ 2 x2 y2

4 2;

где

x y 3x}.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1)

3x 2y 4 0,

3x 2y 1 0, y 2 ,

y 5;

2)

x y 2 0,

y x3,

x 0 .

1)

D :{0 y 1 x;

0 x 1},

(x; y) y2 ;

2)

D :{x x2 y2 2x},

(x; y) 1 y x .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

1)

x z 2 ,

x2 y2

2x,

z 0 ,

(z 0);

y 2 ,

y 2x

x 0,

z 0.

2)

z 2 x,

1)

z 1 x2 y2 ,

z

x2 y2 ,

x 0 ;

2)

x2 y2 1 z ,

x y 3,

x 0,

y 0,

z 0.

V :{x2 z2 y 4,

x 0,

z 0},

(x; y; z)

x

.

x2

z 2

8

Кратные интегралы

Вариант 5

1.

В двойном интеграле

f (x; y) dxdy перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1) x2 y 2,

x2 y 0,

2)

y x2 3

y 1 4x x2 3,

y 0 .

2.

Перейти к полярным координатам и вычислить:

(x2 y2 ) dxdy,

где

D :{(x2 y2 )2 (x2 y2 )}.

(D)

3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1)

y cos x ;

y sin x ;

(x 0) ;

2)

x2 y2 1;

x y 1;

(x 0;

y 0 ).

1)

D :{y x,

y x ,

0 y 1},

(x; y) 1 y ;

2)

D :{(x2 y2 ) 9,

x y x} ,

(x; y) xy 2 .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

(V ) , ограниченной поверхностями:

x 2,

y 4x ,

z 0 ;

1)

y 3 x ,

z 4 ,

2)

z 2(x2 y2 ) ,

z 4 2(x2 y2 )

6. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

1)

z 4 x2 ,

y 5 , y 0 , z 0 ;

z R2 x2 y2 ,

y x ,

z 0 ,

(x 0 ,

y 0) .

2)

y x 3 ,

V :{2 x2 y2 z 2 ,

y x y},

(x; y; z) y x2 y2 .

Кратные интегралы

Вариант 6

1.

В двойном интеграле

f (x; y) dxdy

перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1)

y 2x ,

y 2x 3 ,

x 1,

x 2;

2)

x 27 y2 ,

x 6 y .

2.

Перейти к полярным координатам и вычислить:

D :{x2 y2 Ry};

(x2 y2 ) dxdy,

где

(D)

3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1)

y ln x ,

y 0,

x 1,

x e;

1)

D :{2x y 2 x;

x 0},

(x; y) 2 x y ;

2)

D : {x 2 y 2 1,

y 0},

(x; y) x2 3y .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

(V ) , ограниченной поверхностями:

1)

z x2 ,

x y 2 ,

y 0,

z 0;

2)

z x2 y2 ,

x2 y2 2x,

z 0.

1)

z 3x2 3y2 1,

z 5 3x2 3y2 .

2)

2x 3y 12,

z y2 2 ,

x 0,

y 0,

z 0.

V :{

x

y

z

1,

x 0,

y 0,

z 0},

8

3

5

(x; y; z) (1

x

y

z

)

6

.

8

3

5

10

Кратные интегралы

Вариант 7

1. В двойном интеграле

f (x; y) dxdy перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1)

x2 y2 1,

x y 1,

(x 0,

y 0) ;

2)

x2 y2 9,

5y 4x ,

y 0,

(x 0,

y 0) .

2. Перейти к полярным координатам и вычислить:

(2 x y) dxdy,

(D)

D :{1 x2 y2 16,

x

где

y x 3}.

3

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

2xy 1,

x 16;

1)

2 y x ,

2)

x y2 ,

x 3 ,

y 0 .

1)

D :{x2 1 y 1 x},

(x; y) 2x 5y 8;

2)

D :{x2 y2 4x ,

x2 y2 4 y},

(x; y) xy .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

1)

z x2 y2 ,

5x y 5,

x 0,

y 0,

z 0;

2)

x2 y2 2 y ,

x2 y2 4 y ,

z 0 ,

z 2 ,

x 0 .

1)

z 9 x2 y2 ,

9z 2x2 2 y2 ,

z 0 .

2)

y2 2x ,

z 2 x ,

z 0 .

V :{ x2 y2

z

9 x2 y2 ,

x 0},

(x; y; z) x .