Матан / методичка 4

21

Кратные интегралы

Вариант 18

1.

В двойном интеграле

f (x; y) dxdy перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1)

y

2

x 6,

y

1

x 1,

x 3 0.

3

y ,

2

2)

y 0,

x 0,

x sin y.

2.

Перейти к полярным координатам и вычислить:

x(x2 y2 ) dxdy ,

где

D :{y x2 y2 2 y,

x 0}.

(D)

3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1)

x2 y2 4 ,

y2 3x ;

1)

D: Параллелограмм – A(-1;2),

B(3;4), C(3;1/2),

D(-1;-3/2);

(x; y) 3x 2y ;

D :{x2 y2 8x,

x

y2

2)

3 y

},

(x; y)

.

3

(x2 y2 )3

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz

в виде

(V )

1)

y 25 x2 ,

y z,

x 4,

x 0,

z 0;

2)

z 18 x2 y2 , y x,

y 3,

x 0,

z 0.

1)

z y,

y 2x,

y 3,

x 0,

z 0.

2)

x2 y2 z2 2 ,

y x2 z 2 ,

y 0.

V :{4 x2 y2 z2 36,

y x,

y 0,

z 0},

(x; y; z)

y2

.

x2

y2

z 2

Кратные интегралы

Вариант 19

1.

В двойном интеграле

f (x; y) dxdy

перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1)

x 2y 5 0,

4x y 6 0,

2x 3y 18 0,

x 2y 2 0.

y 4x x2 ,

x 4.

2)

y 2

x, x 0,

2.

Перейти к полярным координатам и вычислить:

y

dxdy ,

где

D :{1 x2 y2 9,

x 0,

(D) x2 y2

y 0}.

3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) x2 y2 5,

y 2x2 ,

( y 0) ;

1)

D :{y ex ,

x 0,

y 2};

(x; y) ex y ;

2)

D :{2x x2 y2 6x};

(x; y) yx .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

1)

x 5,

y x 5,

z x2 5y2 ,

y 0,

z 0;

2)

4 y x2 y2 ,

x2 y2 y,

z

x2 y2 .

1)

y

9 x2 z2 ,

y

x2 z 2 ,

( y 0);

2)

x2 y2 4 ,

y z 2,

z 0.

V :{2(x2 y2 ) z 4,

0 y

x

};

(x; y; z)

xz

3

x2 y2

Кратные интегралы

Вариант 20

1.

В двойном интеграле

f (x; y) dxdy

перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1)

x2 y2 4,

y2 3x,

( y 0);

2)

x y 4,

x 3y 0,

x 5y 16.

2.

Перейти к полярным координатам и вычислить:

(x2 y2 ) dxdy , где D :{x2 y2

8,

y x,

x 2}.

(D)

3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) xy 6 ,

3x 2 y ,

x 6y 0;

1)

D :{y x2 1,

x y 3 0};

(x; y) 2x y;

2)

D :{x2 y2 4x,

y x};

(x; y) x (x2 y2 )5 .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

1)

y x2 ,

x y2 ,

3x 2y z 6 ,

z 0;

2)

z 4 x2 y2 ,

y x,

y x,

y 2,

z 0.

1)

z2 4 x,

x2 y2

4x,

(z 0);

2)

x2 y2 z2 2z ,

z

x2 y2 .

V :{1 (x2 y2 z2 ) 9,

z 0,

0 y

x

};

3

(x; y; z)

z

.

x2 y2 z 2

24

Кратные интегралы

Вариант 21

1. В двойном интеграле

f (x; y) dxdy перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1) x2 y2 4,

y 2x x2 ,

x 0,

x 0,

y 0;

ln( x2 y2 ) dxdy ,

где D :{4 x2 y2 25,

x 0}.

(D)

1) y2 x2

4x,

y 3x,

( y 0);

y x 3,

1) D :{xy 1,

x y, x 2};

(x; y) x4 y;

2) D :{2 y x2 y2 6 y,

x y x}; (x; y) (x2 y2 ) .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

1)

x 4,

x 4 y,

z 4 y2 ,

z 0;

2)

z 1 3x2 2 y2 ,

y 1 x2 ,

y 1,

z 0.

1)

y2 z 2 2z,

x 4 x2 z2 ,

x 0;

2)

z 3x,

y2 2 x,

z 0.

V :{4 (x2 y2 z2 ) 16,

z 0,

y 0,

y x 3};

(x; y; z)

y

.

x2 y2 z 2

25

Кратные интегралы

Вариант 22

1. В двойном интеграле

f (x; y) dxdy перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1) x2 y2 2,

y2 x;

(D)

где D :{x2 y2 3x,

x

3 y x 3};

(x; y) x 2y;

1)

D :{x / 2 y x / 2};

2)

D :{2x x2 y2 8x,

y 0};

(x; y) 3y .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

1)

y 2x,

x y z 2,

x 0,

z 0;

2)

x2 y2 z2 1,

x2 y2 z2 36 ,

x2 y2 z2 ,

x y x,

z 0.

1)

y 2 x2 z 2 ,

y x2 z 2 ,

2)

x y 3,

z x2 9,

x 0,

y 0,

z 0.

V :{(x2 z2 ) 4z,

x y 4

y 0};

(x; y; z)

1

x2 z 2

26

Кратные интегралы

Вариант 23

1.

В двойном интеграле

f (x; y) dxdy перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1)

x 2y 2,

x 2y 5 0,

x 1,

x 3;

2)

y2 x 0,

y 2,

x 2y 3,

( y 2).

2.

Перейти к полярным координатам и вычислить:

где D :{x2 y2 2 y 0,

(x2 y2 ) dxdy ,

x 0}.

(D)

3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1)

x2 y 20,

8x y 0;

2) D :{4 x2 y2 9,

x 0,

y 0};

(x; y)

2x 3y

.

x2 y2

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

1)

z 9 x2 y2 ,

x y 3,

x 0,

y 0, z 0;

2)

x 25 y2 ,

x z,

y 4,

y 0,

z 0.

1)

x2 y2 z2 R2 ,

x2 z2 Ry,

y 0;

2)

x2 y2 z2 36 ,

z

x2 y2 ,

0 y x.

V :{(x2 z2 ) 16 y,

0 z 16 y,

x 0};

(x; y; z)

x

.

x2

y2

Кратные интегралы

Вариант 24

1.

В двойном интеграле

f (x; y) dxdy

перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

12 x2 ,

12 x2 ,

1)

y

y 2 3

x 0,

(x 0);

2)

y | ln x |,

y 5.

2.

Перейти к полярным координатам и вычислить:

x dxdy , где

D :{x2

y2 bx,

x 0}.

(D)

3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1)

y 2,

y x2 5,

x 1,

x 3;

1)

D :{y 4x 6,

x 1 2y 0,

x 1};

(x; y) x ;

2)

D :{y x2 y2 2y},

(x; y) 3y .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz

в виде

(V )

1)

z x2 ,

2x y,

x 4,

y 0, z 0;

2)

x2 y2 4,

y

x2 z 2 ,

y 0.

6. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

1)

x2 y2 z2 1,

x2 y2 z2 9,

y x,

z 0,

y 0;

2)

z 4 x2 y2 ,

x y 2,

x 0,

y 0,

z 0.

V :{x2 y2

2x,

x z 2,

y 0,

z 0};

(x; y; z)

y

.

x2 y2

Кратные интегралы

Вариант 25

1.

В двойном интеграле

f (x; y) dxdy

перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1)

x2 y2 4,

x2 y2 4x;

2)

x2 y 0,

x y 2 0.

2.

Перейти к полярным координатам и вычислить:

где D :{x2

y2 y,

(x2 y2 )3 dxdy ,

x y x 3}.

(D)

3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1)

y 2,

y x2 5,

x 1,

x 3;

1) D: Треугольник – A(3;4),

B(6;2),

C(3;1/2);

(x; y) x y ;

2) D :{4 x2 y2 16,

x y x /

3, x 0,

y 0};

(x; y)

3x y

.

x2 y2

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

(V ) , ограниченной поверхностями:

1)

x y 4,

z 4 y,

x 0,

z 0;

2)

x2 y2 4,

z x2 y2 ,

z 0.

1)

z 4(x2 y2 ),

y 3x, x 2,

z 0,

y 0;

2)

2 y x2 y2 ,

4 y x2 y2 ,

x 2,

x 4.

V :{2 x2 y2 z2 8,

x2 y2

z2 ,

x 0,

y 0,

z 0};

(x; y; z) xy .

Кратные интегралы

Вариант 26

1. В двойном интеграле

f (x; y) dxdy

перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

1) x2 y2 2,

x2 y,

( y 0) ;

2) x y 2,

y 1,

x 0,

y 0

2. Перейти к полярным координатам и вычислить:

D :{x2 y2 2 ;

x (x2 y2 )3 dxdy,

где

(D)

1)

y 2x ,

y 2x x2 ,

x 0,

x 2;

2)

y2 2x;

x y 4 .

1)

D :{0 y 1 x;

0 x 1},

(x; y) y2 ;

2)

D :{x x2 y2 2x},

(x; y) 1 y x .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

1)

x 2,

y 4x ,

y 3 x ,

z 4 ,

z 0 ;

2)

z 2(x2 y2 ) ,

z 4 2(x2 y2 )

1)

z 3x2 3y2 1,

z 5 3x2 3y2 .

2)

2x 3y 12,

z y2 2 ,

x 0,

y 0,

z 0.

V :{ x2 y2

z

9 x2 y2 ,

x 0},

(x; y; z) x .

Кратные интегралы

Вариант 27

1. В двойном интеграле

f (x; y) dxdy

перейти к повторному и

(D)

расставить пределы интегрирования по области (D),

ограниченной линиями:

x 0;

y 0 .

1) y x, y 4x, xy 1,

(x y 1) dxdy,

где D :{1 x2 y2 4,

0 y x}.

(D)

1)

D :{1 x2 y 3 x,

x 0}

(x; y) 4x 5y 2 ;

2)

D :{1 1 y2 x y},

(x; y) 3xy .

5. Записать тройной интеграл

f (x; y; z) dxdydz в виде

(V )

1)

x2 z2 1 y, y 0,

x 0;

2)

z x, y2 x, x 3,

z 0.

1)

x y 2, x y 3, z 2, z 0.

2)

x2 y2 z2 4, z x2 y2 ,

y 0.

V :{x2 y2 2x,

z 3,

y 0,

z 0},

(x; y; z)

z

.

x

2

y2