Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем наблюдалось раз, – раз, – раз и – объем выборки. Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки – относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалом и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.[5]

Пример. Задано распределение частот выборки объема :

	2	6	12
	3	10	7

Написать распределение относительных частот.

Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки: , , .

Напишем распределение относительных частот:

	2	6	12
	0.15	0.5	0.35

Проверка: . [6]

Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака . Введем обозначения: – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее ; – общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события равна . Если изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, то есть относительная частота есть функция от . Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события . [3]

Итак, по определению,

,

где – число вариант, меньших ; – объем выборки.

Таким образом, для того, чтобы найти, например, , надо число вариант, меньших , разделить на объем выборки:

.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения генеральной совокупности, называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события , а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события , то есть , стремится по вероятности, к вероятности этого события. Другими словами, при больших , числа и мало отличаются одно от другого, в том смысле, что , . Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности. [3]

Такое заключение подтверждается и тем, что обладает всеми свойствами . Действительно, из определения функции вытекают следующие свойства:

1. значения эмпирической функции принадлежат отрезку ;

2. – неубывающая функция;

3. если – наименьшая варианта, то при ; если – наибольшая варианта, то при .

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

варианты	2	6	10
частоты	12	18	30

Решение. Найдем объем выборки: . Наименьшая варианта равна 2, следовательно, при .

Значение , а именно , наблюдалось 12 раз, следовательно, , при .

Значения , а именно и , наблюдались раз, следовательно , при .

Так как – наибольшая варианта, то при .

Искомая эмпирическая функция:

[6]