Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VbIshka / Задания Математика 1 семестр ЭА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

362.13 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Задание 4

Срок сдачи заданий 17 неделя

1. Элементы линейной алгебры.

1. Вычислите определители, используя различные способы и принимая во внимание свойства определителей:

				1	5	2		1	1	2	3		0	0	2	1		2	5	6

	2	4						1	2	3	1		0	1	1	2
1)			, 2)	0	7	0	, 3)					, 4)					, 5)	1	2	5
	1	3						2	3	6	4		4	0	1	3
				1	2	0												1	3	2
								3	5	9	4		2	1	1	5

Ответы: 10, -14, -1, -14, -1

Контрольные вопросы

1.Как изменится значение второго определителя, если поменять местами первую и вторую строки?

2.Чему равно алгебраическое дополнение элемента - a32 -для второго определителя и четвертого определителя?

3.Найдите значение пятого определителя путем разложения по третьей строке

4.Чему равен определитель, если каждый элемент третьей строки равен соответствующему элементу пятой строки, умноженному на (-3)?

5.Как изменится значение четвертого определителя, если каждый элемент третьего столбца умножить на число 4?

2. Матрицы. Действия над матрицами. Решение матричных

уравнений.

		3		2	1	2		1	0
1) Над матрицами A						и B				выполнить действия
			4	0	3		3	2	2
			4	0	3		3	2	2
A B,	A B,	3A 2B

2) Какими характеристиками должны обладать матрицы, чтобы их можно было перемножить? Сформулируйте правило умножения матриц. Выполните умножение матриц:

									5			0	2 3			6		5	8	4	3		2 5
3	2		3			4			5			0	2 3					5	8	4	3		2 5
3	2		3			4				4		1	5 3		2		,	6	9	5		4	1 3
							,			4		1	5 3				,	6	9	5		4	1 3
	4			2		5										7
5	4			2		5				3		1	1 2			7		4	7			9
										3		1	1 2			4		4	7	3		9	6 5
																4
		5			2			56			11		22	29
		5			2			69	,			9	27	32
Ответы:						,		69	,			9	27	32
			7		0
			7		0			17					17	26
								17			13		17	26

3) Какими свойствами обладает операция умножения матриц: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивнось ? Применяя нужные свойства, выполните умножение матриц:

0		0	1	1		1				5
		1					4
1			2		2	2		Ответ:	15

	2	2	3				1
					1	1				25
	3	3	4
										35

1		a n	1		na
4) Выполнить операцию возведения в степень			Ответ:
	0	1		0	1

5) Дайте определение обратной матрицы A 1 и условия ее существования. Для

указанных		матриц			проверьте				выполнение				условий				существования обратной						матрицы
и, если обратная матрица существует, то найдите:
1	2		cos			sin			2 3		4			2		1		0
1	2		cos			sin				4 6 8			,		1 0 3
	,							,		4 6 8			,		1 0 3
						cos
3	4		sin			cos				1 6	7				0 5
										1 6	7				0 5			1
			2		1			cos			sin								15		1	3
			2		1			cos			sin							1		1	2	6
Ответы:							,							,
Ответы:							,							,
			3/ 2	1/ 2							cos						29
			3/ 2	1/ 2				sin			cos						29			5	10	1
																				5	10	1
6) Выполняя действия над матрицами,											найдите неизвестную матрицу											X из	указанных
уравнений:			AX B					X A 1B
			XA B					X BA 1
1	2		3		5										3		2			1	2
a)	X					,						b) X
				5	9											5	4
3	4			5	9											5	4			5	6
Ответы:		1		1							,		3			2
Ответы:											,						.
			2	3										5		4
			2	3										5		4

Самостоятельная работа:
с)	Найдите			матрицу			X из уравнения						: AXB C .				Здесь					3		1	,
с)	Найдите			матрицу			X из уравнения						: AXB C .				Здесь				A				,

																						5		2
B	5	6		, C	14		16		. Ответ: X					1	2
B				, C					. Ответ: X
		8				9
	7	8				9	10							3	4
								4		5	3				4 2		1				6			3 5
d)	XA B C .				Здесь		A		2	1	1	,			4 2		1				6			3 5
d)	XA B C .				Здесь		A		2	1	1	,	B						,	C					.
															5 4 3									1 2
									1	4	2				5 4 3						4			1 2
									1	4	2
				9 / 2		15 / 2			5
Ответ: X										.
						14			9
				9		14			9
7). Дайте определение понятия ранг матрицы. Найдите																		ранг матрицы методом
элементарных преобразований:
	2	5				2	6					3		6	8			1		5	0
	2	5				2	6				в)		0 4 6			,	г)		2 6 0				,
а)			,		б)			,			в)		0 4 6			,	г)		2 6 0				,

	2	1				6	18						6	12	16				2	4	1
													6	12	16				2	4	1
	1	2	3	0	1
		1	1	1
д) 0		1	1	1	0
		3	4	1
	1	3	4	1	1

3. Системы линейных уравнений

1). Каждую систему линейных уравнений решите тремя способами:

Методом обратной матрицы AX B

X A 1B

Методом Крамера

Методом элементарных преобразований (метод Гаусса)

						x	2 y	z	2
2x1		7x2		5			y	7z	1
2x1		7x2		5	,	7x	y	7z	1
3x		x	2	4	,	3x	2 y	5z	2
	1		2

Самостоятельная работа:

2)Для каждой из указанных ниже систем

методом элементарных преобразований определите ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы,

на основании теоремы Кронекера-Капелли сделайте вывод о совместности системы (определите число решений системы),

найдите решения системы, при этом, если решений множество, то укажите число базисных и свободных переменных

2x	y		5	9x1	3x2	5x3	6x4	4
		3z	16 ,		2x2	3x3	4x4	5
x				6x1
	5y	z	10		x2	3x3	14x4	8
				3x1

3x1		5x2		2x3		4x4		2	2x1		3x2		11x3			5x4		2
											x2		5x3			2x4		1
		4x2		x3		3x4		5 ,	x1
7x1										2x	x		3x			2x		3
5x		7x		4x		6x		3
			2		3		4			1		2			3		4
	1								x		x	2	3x	3		4x	4	3
										1

Ответы: 3 ,

	t

	13 3t		, не имеет решений,
	7		, не имеет решений,
	7
	0
	0

	2
	0
	0
	1	.
	1
	1
	1

Контрольные вопросы

1.Что такое порядок матрицы?

2.Матрица, стоящая слева имеет 5 столбцов и 3 строки, а матрица, стоящая справа имеет 2 столбца и 8 строк. Можно ли перемножить такие матрицы?

2		3	1
		0	5
3. Является ли матрица 3				вырожденной?
	8	12	4

4.Сколько решений имеет система линейных уравнений, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен 3, а число неизвестных равно 5?

5.Справедливо ли утверждение: все уравнения системы линейно независимы и система имеет единственное решение?

		2. Векторная алгебра
					j , найти декартовы координаты
1. По заданной паре векторов a 3i 2 j 6k , b 2i					j , найти декартовы координаты
					их длину и соответствующие
векторов a	b, a	b, 2a b / 2,	2a	3b, a / 3 b ,	их длину и соответствующие

единичные векторы ( орты), укажите направляющие косинусы.

2.	При каких значениях параметров ,		3 j k , b i 6 j 2k
		векторы a 2i
	коллинеарны?		B(2,8) и точка пересечения его
3.	Даны смежные вершины параллелограмма A( 2, 6),

диагоналей O(2, 2) . Найдите координаты двух других вершин и длины сторон. Ответ:

C(6, 2), D(2, 4)

4.По координатам середин сторон треугольника P( 2, 2), N ( 1, 4), M (2, 1) найдите

координаты его вершин и длины сторон.

Ответ: (1, 3), ( 5, 7), (3,1)

ABCD отношение

, векторы

трапеции

длин

оснований

диагоналей

Ответ:

a AC ,

BD b . Выразить через векторы a, b векторы сторон трапеции.

a b

и т.д.

Найти координаты вектора

i j k относительно

косоугольного базиса

e1 (1;1;0) ,

e2 (1;0;1) , e3

(0;1;1) . Чему равны углы между векторами базиса?

Найти координаты вектора

P(3, 4)

относительно косоугольного базиса e1 (3; 1; ) ,

e2 (1; 2) .

Ответ: P 2e1

3e2

i 3 j 2k и

b i 2 j k

ортогональны?

При каких значениях векторы a

Найти угол при вершине

A в треугольнике с вершинами

A : (3;2; 3) , B : (5;1; 1) ,

C : (1; 2;1) .

Ответ: arccos 4 / 9

10.

Векторы

e1 , e2 , e3

образуют ортонормированный

базис. Найти

e3 ,если

известны

(1 /

2;0; 1 /

2 ) .

11.

2;0;1 / 2) и e2

Найдите

длины

диагоналей

параллелограмма,

построенного

на

векторах

3 , ( p, q) / 4 .

p 3q,

b 5 p 2q , если

12.

Ответ:

15,

593

a b

13.

Координаты

вершин

треугольника A : (1;2;0) , B : (3;0; 3) , C : (5;2;6) . Найти длину

медианы, проведенной из вершины B .

14.

Найдите проекцию

Пр

4;3;0 .

(2a 3b ) , если

a 1;2;1 , b 3;1;1 , c

Ответ: 41/ 5

15.

Найдите

площадь

параллелограмма,

диагоналями

которого

служат

векторы

2e1 e2 ;

4e1 5e2 ,

где

e1, e2 -

единичные

векторы под углом

градусов.

Ответ: S 3 /

2a1 a2 , 2a1

a2 ,

a1 3; 1;2 , a2

16.

Найти

a1, a2 ;

если

1;2; 1 .

Ответ: 3;5;7 ,

12;20;28

17.Координаты вершин треугольника A : (1;2;0) , B : (3;0; 3) , C : (5;2;6) . Найти площадь треугольника и длину его высоты, опущенной из вершины B .

				26
18.	В	точке	A 1;4;2	приложена	равнодействующая		сил
	F1 (2; 1; 3), F2 (3;2; 1), F3			( 4;1;3) .	Найдите	вектор	момента
	равнодействующей этих сил относительно точки O(2;3; 1) . Ответ: M ( 7;0; 7)
19.	Определить, лежат ли точки (1;2; 1), (0;1;5), ( 1;2;1), (2;1;3) в одной плоскости?
20.	Найдите		объем	тетраэдра	с	вершинами

A(2; 3;5), B(0;2;1), C( 2; 2;3), D(3;2;4) . Ответ: V 6

21.При каких значениях параметра векторы (1;2 ;1), (1; ;0), (0; ;1) компланарны ?

22.Координаты вершин тетраэдра (2;1; 1) , (3; 0 ;1) , (2; 1;3) (0; ; 0) , а его объем равен 5. Найти значение неизвестной координаты.

3. Аналитическая геометрия на плоскости

Прямая линия на плоскости

1. Написать			уравнения	прямой	линии	на			плоскости:
	a) проходящей		через произвольную точку		(a;b) под углом	к		оси ординат;
	b) проходящей через произвольную точку (a;b)				параллельно прямой		x 5		y 4	;
	b) проходящей через произвольную точку (a;b)				параллельно прямой	3				;
						3		2
c) проходящей через произвольную точку (a;b) перпендикулярно прямой
	x 5	y 4	;
			;

d)пересекающей координатные оси в точках (4;0),(0;7) .

2.Напишите уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения

прямых 11x 17y 9,

12x 13y 5 .

3.В треугольнике с вершинами A(1;2), B(2; 2), C(6;1) напишите уравнения сторон, высоты CD и медианы BM .

4.По координатам смежных вершин A( 3; 1), B(2;2) и точки пересечения диагоналей

O(3;0) напишите уравнения сторон параллелограмма

5.	Найдите	точку, симметричную точке		M ( 2; 9) относительно		прямой
	2x 3y 18 0 . Ответ: (2;3)
6.	Перепишите уравнение		прямой 2x 4 y 5 0 в нормальном		виде.	Найдите
	направляющие косинусы нормали к прямой и расстояние от начала координат до прямой.
7.	Покажите,	что прямые	3x 4 y 10 0,	3x 4 y 5 0	параллельны и
	найдите расстояние между ними. Ответ: 3

Кривые второго порядка

Уравнение

Ax2 2Bxy Cy 2

Dx Ey F 0 описывает окружность радиуса

5 с центром в точке (3;2) . Определить все коэффициенты этого уравнения.

Постройте кривые и укажите их основные характеристики:

(x 1)2

( y 2)

( y 3)

(x 5)2

1; c)

( y 3)2 2(x 2)

3.Установите, какие линии определяются уравнениями и схематично их постройте:

5x2 9 y2 30x 18y 9 0

16x2 9 y2 64x 18y 199 0

16x2 9 y2 144

x 2 y 2 12 y 14

y 4x2 8x 7

5x2 23xy 7 y 2 4 0

Примечание. В последнем случае используйте поворот системы координат на угол

	1	arctg	2B	x x cos y sin
				согласно соотношениям
			A C
2				y x sin y cos

4.Составьте уравнение окружности, которая имеет центр на прямой 2x y 0 и касается

прямых 4x 3y 10 0;	4x 3y 30 0 .
Ответ: (x 2)2 ( y 4)2	4

5. Найдите координаты фокуса параболы по координатам ее вершины A(6, 3) и

уравнению ее директрисы 3x 5 y 1 0 . Ответ: (9, 8)

Самостоятельная работа.

1.Решите задачи:

1.На гиперболе x2 / 2 y2 1 найти точку, ближайшую к точке (3; 0) .

2.Найти стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в эллипс x2 / a2 y2 / b2 1 .

3. Записать уравнения касательных к эллипсу x2 / a2 y2 / b2 1 , параболе	y2 2 px
и гиперболе x2 / a 2 y2 / b2 1 в произвольной точке касания (x0 ; y0 ) .

2. Векторная функция скалярного аргумента. Вектор скорости. Вектор ускорения. Кривизна плоской кривой.

Решите задачи:

t 1.

a). По уравнению движения r (t) 3t i (4t t 2 ) j определите траекторию

движения (годограф), вектор скорости, вектор ускорения, тангенциальную и нормальную составляющие вектора ускорения для моментов t 0 и

b) По уравнению движения r (t) 3cos t i sin t j определите траекторию движения (годограф), вектор скорости, вектор ускорения, тангенциальную и нормальную составляющие вектора ускорения для моментов t 0 и t 1.

c). Найдите кривизну в вершинах эллипса x2 9 y2 9 в вершинах эллипса.

3. Полярная система координат. Постройте кривые в полярной системе координат:

a) r cos , b) r 2 cos 6 , c) r 1 cos 3

Контрольные вопросы

1.Линейные операции над векторами

2.Векторный базис в пространстве n-измерений. Условия существования базиса.

3.Прямоугольный декартов базис. Координаты вектора в этом базисе. Модуль вектора.

4.Направляющие косинусы. Единичный вектор (орт).

5.Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Вычисление.

6.Векторное произведение векторов. Определение. Свойства. Вычисление.

7.Смешанное произведение векторов. Определение. Свойства. Вычисление.

8.Уравнения прямой на плоскости: с направляющим вектором, через две точки, в šотрезках на осях Ÿ, с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой.

9.Канонические уравнения и характеристики кривых второго порядка.

Литература

7.Математика. Методические рекомендации для контроля качества знаний студентов.

Составители: Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина, А.В. Бирюков Кемерово. Куз ГТУ .2005 8. Шипачев В.С. Высшая математика - любое издание

9.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича –любое издание.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке VbIshka

#
16.03.2016362.13 Кб24Задания Математика 1 семестр ЭА.pdf
#
16.03.20162.69 Mб44Математика 2 Семестр.pdf
#
16.03.2016430.9 Кб22Метод.Указания для практических занятий.pdf
#
16.03.20161.13 Mб26Метод.Указания для самостоятельной работы студентов.pdf
#
16.03.2016474.13 Кб28Специальные главы математики 2.pdf
#
16.03.20161.16 Mб77Специальные главы математики.pdf