VbIshka / Задания Математика 1 семестр ЭА

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(i 1)(2 3i);

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

362.13 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

y a

x y a,

a 0

вокруг оси 0 y

y 4

x2 ,

y 0

вокруг оси

x 3

3. Найдите длину дуги кривой:

x 1/ 4,

y 2

arcsin

x x2

4(1 sin ),

0, / 6

4.Определите работу, затрачиваемую на выкачивание жидкости плотностииз емкости в форме полушара радиуса R

5.Определите давление жидкости плотности на боковые стенки цилиндрического сосуда радиуса R

6.Найдите момент инерции прямоугольного треугольника с катетами a и b при вращении треугольника вокруг одного из катетов

2. Приближенное вычисление определенных интегралов

а ) Оценки интегралов. Формула среднего значения б) формула прямоугольников в) формула трапеций

г) формула Симпсона ( формула парабол)

Задачи:

	2
1.	Оценить интеграл exp( x2 )dx
	0
2.	Найти приближенно при n 6 ( вычислять с четырьмя знаками после запятой) интеграл
по формуле прямоугольников, по формуле трапеций , по формуле Симпсона
	1 sin x
			dx
		x	dx
		x
	0

Контрольные вопросы

1.Дайте определение понятия š определенный интегралŸ. Условие существования определенного интеграла (интегрируемость функции)

2.Геометрический смысл определенного интеграла

3.Интеграл с переменным верхним пределом.

4.Формула Ньютона-Лейбница

5.Оценка определенного интеграла. Формула среднего значения

6.Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования

7.Несобственный интеграл от неограниченных функций

8.Признак сходимости несобственных интегралов

9.Формула Симпсона

10.Числовой ряд. Определение суммы ряда

11.Ряд из членов геометрической прогрессии. Условия сходимости. Приведите примеры.

12.Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд

13.Критерий сходимости числового ряда с неотрицательными членами

14.Достаточные условия сходимости ряда. Признак сравнения

15.Достаточные условия сходимости ряда. Признак Даламбера

16.Достаточные условия сходимости ряда. Признак радикальный Коши

17.Достаточные условия сходимости ряда. Интегральный признак. Условия сходимости

ряда

n 1 n

18.Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница

19.Понятие абсолютной сходимости. Примеры

20.Понятие условной сходимости

(x 4)n

21. Степенной ряд. Радиус сходимости. Область сходимости. Пример

n 0 n2 22. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функций

exp x, sin x, cos x, ln(1 x), (1 x)m

Задание 3

Срок сдачи заданий 13 неделя

1.Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

1.Разложить функцию в ряд Маклорена с заданной точностью о(xn ) . Для бесконечно малых указать степенной порядок малости:

2x sin 2x ;	о(x7 )	chx cos x 2			;	о(x8 )
exp( 2x 1);	о(x4 )	arctgx arcsin x;				о(x7 )
ln(12 x x2 ); о(x5 )		3		2;	о(x11)
			8 x9

2.Разложить функцию в ряд Тейлора вблизи указанной точки a с требуемой точностью o((x a)n ) :

exp(x2 2x), a 1,

o((x 1)5 )

(x 2) ln(2x2 8x 11), a 2,

o((x 2)5 )

x 2

, a 2,

o((x 2)5 )

3 5 4x x2

x sin(x2 2x

), a

o((x

)5 )

3. Написать приближенные формулы, описывающие поведение функции при больших значениях переменной:

y 3 x3	x2		y x exp(1/\| x\|)		y 1/ arctg(1/ x)	y 4	x4 4x3

y x3 arcsin(1 / x2 )			y x2	4x

y x		x2 2x	y (x 2) exp( 1 / x)

4.Написать приближенные формулы, описывающие поведение функции в окрестности ее нулей и точек разрыва:

x2 x 1

4 x 2x2

x2 2x 1

(x 2)2

x2 1

(x 1)3

(x 1)(x 1)2

x3 2x2

(x 2)2

(x 1)2

y 3

y exp(x2 ) cos2 (x)

y exp(1 / x2 ) / (x 1)

x 1

y arctg(1/ x2 ) /(x 1)

y exp(1 / x) / (x2

y arctg(1/ x) /(1 x2 )

y 1 / ln(1 x6 )

y ctg3x

5. Раскрыть неопределенности:

x 4 2x 2 1

x 4 2x 2 1,

3 x3 3x 2 4x 3 x 3 3x 2 4,

;

sin( x) tg(x)

x 0

cos x

x 0

x sin x

arctg(x) arcsin( x)

x 0

; x 0

x sin( x)

xarctgx

arctg

x 1 x ln(1

) ; x

;

1 cos

arcsin x

; x 0

arctgx

; x

2.Применение производной к исследованию функций

1.Написать приближенные формулы, описывающие поведение функций вблизи точек локальных экстремумов и точек перегиба

	exp( x2 / 2a2 ) ,	x
	exp( x2 / 2a2 ) ,	x2 a2
		x2 a2

3. Раскрыть неопределенности, используя правило Лопиталя:

ln x ; x

x
ctgx 1	;	x

sin 4x		4
x2 ln x;		x 0
(sin x)x ;		x 0

	x3 3x	; x
	ex

x ln2 x; x 0
(x x 1) ln x;					x 0
		1
	3x2 3x			;	x
			x

3.Провести полное исследование и построить графики функций (область определения, четность, нули функции, точки разрыва, вертикальные асимптоты, поведение при больших значениях аргумента – наклонные и горизонтальные асимптоты, локальные экстремумы, точки перегиба):

8(x 1)

x 1

y x / 2 arctg(x)

(x 1)2

2x 1

3x 2

y 1 xe

y x ln

x2 1

3.	Комплексные числа и многочлены

1. Провести вычисления в алгебраической форме:

2.Для указанных комплексных чисел определите реальную часть , мнимую часть, модуль и аргумент . Постройте вектор комплексного числа на плоскости. Запишите число в тригонометрической и показательной формах:

z 4	z 4			z 2i	z 3i
z 1 i	z 1		i	z 2 2i	z 4 4i
		3

3.Проведите вычисления, используя показательную и тригонометрическую форму записи комплексного числа:

1		i	24
	3				4		3		6
	3
				;		4 ;		8 ;		1

1 i
1 i

4. Найдите корни уравнений

z2 6z 13 0 ,

z2 8z 20 0 ,

z3 27 0

5.Для дробно-рациональных функций: 1) укажите все корни знаменателя и их вид, 2) представьте знаменатель в виде разложения на сомножители линейные или квадратичные (с отрицательным дискриминантом), если это уже не сделано , 3) представьте функцию как сумму элементарных (простейших) дробей:

			16
y	x	,	y	x 2	, y		x2 1
	(x 2)(x 3)(x 1)			(x 1)2 x		(x	2 4)(x 1)

x3 8

4. Интегрирование основных классов функций

Проинтегрировать рациональные дроби:

2x2 41x 91

x 2

dx ,

(x 2)2 (x 4)2

(x 1)(x 3)(x 4)

(x 2

x(x

x4 1

Проинтегрировать тригонометрические функции:

sin 3 (x) cos4 (x) dx

cos4 (x) dx

tg5 (x) dx

ctg4 (x) dx

sin2 (x) cos2 (x)

sin3 (x) cos3 (x)

cos3 (x)

sin3 (x)

cos(x) sin3 (x)

sin 5 (x)

cos4 (x)

1 cos(x)

sin(x) cos(x)

1 sin(x)

Проинтегрировать гиперболические функции:

3 sh 2

1 ch(x)

1 sh( x)

(x)

(sh(x) ch(x))8

ch3 (x)

sh 4 (x)

sh(3x) ch(4x) dx

sh 2 (x) ch2 (x)

4. Найти интегралы, избавляясь от квадратных корней при помощи тригонометрических или гиперболических подстановок:

x 2 4x 3 dx

x 2x x 2 dx

x 2 4x dx

x 4

(x 2)

4x 3

1 x

5. Найти интегралы, избавляясь от радикалов при помощи степенных подстановок:

1 3

1 3 x

1 4

3 1 x 1 x

3 x 4

6. Найти интегралы, комбинируя различные приемы:

1 x

x 6 1

earccos xdx

(1 x)

x(1 x)

arccos(x) dx

x arcsin( x)

arctgxdx

(x2 1) 1 x2

Самостоятельная работа

1.Получить разложения в ряд Маклорена для основных элементарных функций: экспонента, логарифмическая функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, гиперболические, обратные гиперболические функции

2.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:


y(x) 3 x		4		;	x 1; 2 ,
		(x 2)2
y(x) 3			; x 1;6
	2x2 (x 3)

3. Решите задачи:1) Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точку A(1; 2) и отсекающей от координатных осей треугольник наименьшей площади ( x 0, y 0) , 2) Объем правильной треугольной призмы V . Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность была наименьшей

4. Провести полное исследование и построить графики функций:

	x3 2x2				,			x2
y		,	y 3	x2 (x 6)		y (x 2) exp( 1 / x) ,	y
	(x 1)2
								x2 2x

5. Вычислить определенные интегралы

/ 3

x2 3x

/ 2

(tgx)4 dx ,

dx ,

(x 1)(x2 1)

3 cos x

(1 x2 )3

/ 6

/ 3

Контрольные вопросы

1. Теорема Тейлора. Формула Маклорена. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

2.	Получите разложение в ряд Маклорена для функции	y ln(1 x)
3.	Получите разложение в ряд Маклорена для функции	y arctgx
4.	Получите разложение в ряд Маклорена для функции	y	1
4.	Получите разложение в ряд Маклорена для функции	y	1 x
			1 x
5.	Чему равен коэффициент a разложения функции	y 3x4 2x3 1 в ряд Тейлора по
	5
степеням (x 4)?
6.	Чему равна производная порядка n 20 в точке x 0		функции y ln(1 x) ?

6.Как определить степенной порядок малости при помощи разложения в ряд Тейлора в окрестности точки ? Приведите примеры.

8.Как можно определить степенной порядок роста бесконечно большой в окрестности точки разрыва 2 рода?

9.Что называют наклонной (горизонтальной) асимптотой графика функции? Какие способы нахождения асимптот Вы знаете? Как использовать теорему Тейлора для нахождения асимптот? Приведите примеры.

10. Сколько асимптот имеет график функции y		x 3	, y		x3
							,
	x	2 (x 4)		x	2
						4

yx ln x ?

11.Дайте определение точки локального экстремума функции

12.Сформулируйте необходимые условия существования экстремума

13.Сформулируйте достаточные условия существования экстремума

14.Дайте определение точки перегиба графика функции и сформулируйте необходимые условия его существования

15.Дайте геометрическую интерпретацию комплексного числа. Что называют модулем комплексного числа? Что называют аргументом комплексного числа? Приведите примеры.

16.Как связаны алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа?

17.Что такое комплексно-сопряженное число? Сформулируйте правило деления комплексных чисел в алгебраической и показательной формах.

18.Дайте геометрическую интерпретацию nz . Найдите 3 27

		19
19.	Найдите корни уравнения z4 4 0 ,	z3 8 0 ,		z2 4z 5 0
				x 3
20.	На какие элементарные дроби можно разложить дробь				?
			(x3 8)x2
21.	При помощи какой тригонометрической (гиперболической) подстановки можно вычислить

x2 x2 9 ?

		arctgx
22.	Найдите интеграл				dx
22.	Найдите интеграл		x2		dx
	1		x2
					0,6 sin x
23.	Вычислить приближенно интеграл						dx , используя разложение подынтегральной
23.	Вычислить приближенно интеграл					x	dx , используя разложение подынтегральной
					0	x
					0
функции в ряд Маклорена. Оценить погрешность вычислений.
24.	Вычислить	x3dx		тремя способами.


		x2 1

Литература

4.Алексеев Д.В. , Казунина Г.А., Алексеевская Г.В. Элементарные аналитические методы и свойства основных элементарных функций. Кемерово. Куз ГТУ .1998

5.Математика. Методические рекомендации для контроля качества знаний студентов. Составители: Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина, А.В. Бирюков Кемерово . Куз ГТУ .2005

6. Шипачев В.С. Высшая математика - любое издание

Справочные материалы

Ряды Маклорена основных элементарных функций

инекоторые другие разложения в ряды

1.Бином с произвольным показателем

(1 z)a 1 az	a(a 1)	z 2		a(a 1)(a 2)	z3		a(a 1)(a 2)(a 3)	z 4

2!			3!			4!

2.Стандартная экспонента и натуральный логарифм


exp(z) 1 z	1	z 2			1		z 3				1	z 4

2!			3!					4!
ln(1 z) z				1		z 2			1	z 3			1	z 4	1	z5
															5
			2					3				4

3.Тригонометрические, обратные тригонометрические и гиперболические функции

sin( z) z

cos(z) 1

z 2

z 4

z 6

sh( z) z

z 7

ch(z) 1

z 2

z 4

tg(z) z	1	z 3				2	z5			th(z) z	1	z3				2	z5
					15										15
3			1					3		3			1					1
arcsin( z) z				z3					z5	arctg(z) z				z3					z5
								40
6										3					5

4.Разложение арктангенса при больших значениях переменной

arctg(x)

O(x 5 ) ;

3x3

x 2

arctg(x)

O(x 5 )

3x3

Таблица простейших производных и интегралов

15.

a 1

/ (a 1), a 1.

) ax

16.

(1 / x)dx ln(| x|) .

ln (x) 1/ x ,

17.

exp(ax)dx (1 / a) exp(ax) .

(exp(ax)) a exp(ax) ,

18.

cos(ax)dx (1/ a)sin( ax) .

sin (ax) a cos(ax) ,

19.

sin(ax)dx (1 / a) cos(ax) .

cos (ax) a sin( ax) ,

20.

(x) ,

(1/ cos

(x))dx tg(x) .

tg (x) 1/ cos

21.

(x) ,

(1/ sin

(x))dx ctg(x) .

ctg (x) 1/ sin

(1 /

22.

1 x

)dx arcsin(x) ,

arcsin (x) 1/

1 x

arccos (x) 1/

23.

) ,

(1/(1 x

))dx arctg(x) ,

arctg (x) 1/(1 x

) .

arcctg (x) 1/(1 x

24.

ch(ax)dx (1/ a) sh(ax) .

sh (ax) a ch(ax) ,

25.

sh(ax)dx (1/ a) ch(ax) .

ch (ax) a sh(ax) ,

26.

(x) ,

(1/ ch

(x))dx th(x) .

th (x) 1/ch

27.

(x) ,

(1/sh

(x))dx cth(x) .

cth (x) 1/sh

28.

1 x

(1/ 1 x

)dx ln( x

1 x

) .

Arsh (x) 1/

15.

1 ,

(1/

1)dx ln( x

Arch (x) 1/

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке VbIshka

#
16.03.2016362.13 Кб10Задания Математика 1 семестр ЭА.pdf
#
16.03.20162.69 Mб26Математика 2 Семестр.pdf
#
16.03.2016430.9 Кб8Метод.Указания для практических занятий.pdf
#
16.03.20161.13 Mб12Метод.Указания для самостоятельной работы студентов.pdf
#
16.03.2016474.13 Кб14Специальные главы математики 2.pdf
#
16.03.20161.16 Mб62Специальные главы математики.pdf