Тимур Василенко
Миф о 80/20
Вопрос психиатра: известно, что при железнодорожной катастрофе большинство погибших бывает в первом вагоне. Вы собираетесь ехать на поезде. Какие выводы?
Ответ пациента: Надо отцепить первый вагон.
Принцип Парето: формулировки и сомнения
В литературе по менеджменту (в основном – в популярной или посвященной time-менеджменту) обязательно упоминается так называемый принцип Паретоилиправило 80/20. Вот некоторые его формулировки:
20% клиентов (товаров) дают 80% оборота или прибыли;
20% ошибок обусловливают 80% потерь;
20% исходных продуктов определяют 80% стоимости готового изделия;
за 20% расходуемого времени достигается 80% результатов ([1], с.111)
80% ваших посетителей смотрит только 20% страниц вашего сайта ([8])
20% преступников виновны в 80% преступлений ([7])
Применение этого правила к управлению запасами носит название ABC-анализа (от деления запасов на 3 группы A, B и C, первая из которых находится на постоянном контроле, вторая – на системе периодического дозаказа, а третья планируется и закупается на год. Не путать с ABC – ActivityBasedCosting, функционально-стоимостным анализом – сокращения одинаковые, сущность разная). Данная система, пожалуй, наиболее разработанное применение правила 80/20 (см. пример в [2], с.177-179). Развернутая история и интерпретация этого принципа содержится в статье [7].
Первоначальная, историческая формулировка – 80% всех богатств принадлежит 20% населения. Именно она встречается в сочинениях Вильфредо Парето, который утверждал, что «способ распределения доходов, по существу, является одним и тем же в разных странах и в различные исторические эпохи» [3]. Согласитесь, это более сильное и более осмысленное утверждение, чем популярный принцип 80/20.
Настораживает и другой факт. Почему в книгах, являющихся энциклопедиями приемов менеджмента ([4], [5]), нет упоминания (во всяком случае, я не нашел) о принципе Парето или правиле 80/20. Чем-то он показался авторам сомнительным, если они решили не включать его в свои книги. В сети есть замечательная статья [6], посвященная анализу применения этого принципа. В ней обращается внимание на то, что в литературе отсутствует масса примеров успешного применения этого принципа. Что-то неладно с этим принципом.
Я намереваюсь показать, что правило 80/20 не укоренено в реальности и имеет чисто психологический характер. Для этого нам понадобятся логика и немного математики – в пределах школьного курса.
Математика и магия чисел
«20% товаров дают 80% прибыли» – очень яркая, запоминающаяся формулировка. 20% товаров дают 100%–20%=80% прибыли. Соответственно оставшиеся 100%–20%=80% товаров дают 100%–80%=20% прибыли. Замечательная кососимметричность! Именно она сделала этот принцип столь знаменитым.
Чтобы разобраться в природе принципа Парето, рассмотрим его математический смысл.
Математическая формулировка
Есть список объектов или видов объектов (товаров) T1, T2...Tnи есть некоторый измеримый результат (прибыль), который является аддитивной функцией от объектов (общая прибыль является суммой прибылей от всех товаров), R(T1,T2...Tn)=R(T1)+R(T2)+…R(Tn). Так вот, принцип Парето гласит:
(1) Существует такое число 0<a<0,5, что объекты можно разбить на две группы M1 и M2 так, что численность группы M1 будет равна a*n, а результат R(M1)=(1–a)*R(M1,M2), т.е. 1-a от общего результата всех объектов,
(2) и при этом a=0,2 (20%).
В такой формулировке видно, что принцип Парето распадается на две части – наличие точки кососимметричности a(точки Парето), и утверждения о значении этой точкиa=0,2. Докажем сначала первую часть – что точка Парето существует.
Рассмотрим гистограмму результатов по объектам, предварительно упорядочив по убыванию результата. А теперь построим гистограмму накопленного результата и приблизим ее непрерывным графиком.
В дальнейших рассуждениях мы будем рассматривать непрерывный график результата, т.е. считаем, что объектов у нас очень много (пример – население страны, несколько тысяч товаров супермаркета). Итак, y=f(x) – график результата, линия красного цвета. График построен в безразмерных единицах – 1 по оси абсцисс соответствует полная совокупность объектов, 100% от их количества; 1 по оси ординат соответствует суммарный результат от полного набора объектов. Где же должна лежать точка Парето? – На прямой y=1–x, именно это равенство выражает искомую кососимметричность, толстая прямая синего цвета.
Их пересечение дает искомую точку Парето, точку a, такую, чтоf(a)=1–a. График y=f(x) строго возрастает, более того – это выпуклая функция (вспоминаем, что объекты мы упорядочивали по убыванию результата, т.е. производная убывает). Отсюда следует, что график функции результата всегда лежит выше прямой y=x (зеленая прямая) и совпадает с ней в одном случае – когда все объекты имеют одинаковый результат, равномерное распределение. Тем самым мы доказали, что искомая точка Парето всегда существует, ее значение меньше 0,5 и равно ему в единственном случае – равномерного распределения результата по объектам.
Из этого графика видно, как мы можем итерационно продолжить Парето-анализ. Если мы рассмотрим ограничение функции на интервале (0, a), то можем построить точку Парето второго порядка (тот же красный график и тонкая синяя прямая; точка Парето-2 показана пунктиром). Аналогично можем поступить на интервале (a, 1) и так далее.