Полная механическая энергия системы

Рассмотрим тело массы m, которое свободно падает. С одной стороны, работа консервативных сил пошла на прирост кинетической энергии, то есть:

A₁₂= Е₂ - Е₁

а с другой стороны, работа консервативных сил определяется согласно (5.8):

А₁₂ = - (W₂ – W₁)

или

W₁+Е₁ = W₂+Е₂ = W = const. (5.12)

Это равенство выражает собой закон сохранения механической энергии, т.е. если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия сохраняется.

При механическом движении выполняются два закона сохранения: закон сохранения механического импульса системы и закон сохранения общей энергии системы. Следует заметить, что при этом имеет место еще один закон сохранения – закон сохранения массы. Эти законы позволяют решать много физических задач, связанных с механическим движением. Еще следует заметить, что закон сохранения импульса - это векторный закон, а закон сохранения энергии - скалярный.

Связь потенциальной энергии с силой поля.

Если известна потенциальная сила, действующая на тело, то пользуясь , можно найти потенциальную энергию тела. Пусть под действием силытело переместилось навдоль некоторого направленияS (см. рис.)

Т.к. работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной энергии: , то

Скалярное произведение можно представить как , где- проекция силына направление перемещения:. Подставим и получим

Откуда

Т.е. проекция силы на направление S равна взятой с обратным знаком производной от потенциальной энергии тела по координате S.

Теперь если взять последовательно в качестве направления перемещения направления вдоль осей декартовой системы координат, получим проекции силы:

Тогда сила

Градиентом скалярной функции называют вектор, проекциями которого являются частные производные по соответствующим координатам, и который можно представить как произведение оператора Гамильтона - набла на эту функцию. Дифференциальный операторобладает формальными свойствами вектора.

Тогда

Получили, что сила поля равна с обратным знаком градиенту потенциальной энергии этого поля.

Столкновения

Как пример, рассмотрим столкновение двух пуль массами m₁ и m₂. При столкновении двух пуль общая энергия системы может полностью или частично перейти в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию системы (изменяется температура системы).

1) Рассмотрим, так называемое, абсолютно неупругое столкновение двух пуль – это такие столкновения, в процессе которых механическая энергия не сохраняется, то есть такое столкновение, при котором не возникает потенциальная энергия упругой деформации, и вся кинетическая энергия системы превращается полностью или частично во внутреннюю энергию (деформация, тепло, и тому подобное). При абсолютно неупругом столкновении в дальнейшем мы имеем одно тело. В процессе неупругих столкновений потери механической энергии происходят в результате действия диссипативных сил.

Допустим, вдоль оси x в одном направлении двигаются две пули с массами m₁, m₂ и скоростями v₁ и v₂. После столкновения в дальнейшем двигается единственное тело массы m₁+m₂. Определим скорость системы после взаимодействия пуль и энергию, которая пошла на изменение внутренней энергии системы.

Поскольку система замкнутая (кроме указанных взаимодействий другими мы пренебрегаем) должны выполняться законы сохранения массы, энергии и импульса. Следует заметить, что закон сохранения импульса это векторный закон, а законы сохранения энергии и массы – скалярные.

Применим к нашей системе закон сохранения импульса: к взаимодействию тел общий импульс системы ; после взаимодействия общий импульс системы ( – скорость движения системы после взаимодействия), то есть:

.

Отсюда выплывает, что

. (5.13)

Если предыдущее движение шариков происходило вдоль одной оси, то и окончательное движение будет происходить тоже вдоль этой оси.

Энергию, которая пойдет на изменение внутренней энергии системы, можно найти используя закон сохранения энергии. Действительно, общая предыдущая кинетическая энергия системы превращается частично в кинетическую энергию и частично во внутреннюю энергию системы Q:

.

или учитывая (5.13) получим:

.

2) Теперь рассмотрим абсолютно упругое столкновение – столкновения тел, в результате которого их внутренние энергии не меняются, то есть форма шариков после столкновения возобновилась и шарики существуют отдельно одна от другой (рис. 5.6). Будем считать, что скорости шариков после взаимодействия да и направленные вдоль оси x (столкновение центральное).

Тогда закон сохранения импульса при таком столкновении имеет вид:

или в проекциях на ось x

. (5.14)

Закон сохранения энергии при таком столкновении имеет вид:

. (5.15)

Решая (5.14) и (5.15) относительно u1 и u2, получим:

(5.16)

Как выплывает с (5.16) направления скоростей u₁ и u₂ определяются как соотношением масс m1 и m2, так и соотношением начальных скоростей v₁ и v₂.

Если допустить, что m₁ = m₂, то u₁ = v₂ и u₂ = v₁, то есть шарики просто обмениваются скоростями. В частности, если второй шарик сначала не двигался, то после столкновения первый шарик остановится, а другой начнет двигаться со скоростью первого шарика.