ТПС / Лекции / Лекция 4

Лекция 4

Характеристики непериодических сигналов

Такие сигналы можно рассматривать как предельный случай периодического. Действительно, полагая что у последнего период T стал бесконечно большим T → , приходим, к одиночному импульсу (рис.16). Основная частота сигнала, первая гармоника при этом становится бесконечно малой и спектральный анализ основанный на рядах Фурье теряет смысл. Для частотных характеристик требуется ввести новое представление.

T , T t

Рис. 16 Переход к одиночному сигналу

1.1 Спектр одиночного сигнала

Для нахождения спектра воспользуемся комплексной формой ряда Фурье, предположив, что сигнал периодический:

; (1)

комплексная амплитуда будет

. (2)

Как и прежде . Сделаем предельный переход от периодического к одиночному сигналу. Если T → , то n₁ → , то есть будет непрерывной частотой. Часть выражения (2)теперь можно записать так:

, (3)

которая называется спектральной плотностью сигнала. Чтобы понять ее смысл, обратимся к ряду Фурье (1). Его можно записать так:

. (4)

При предельном переходе , сумма переходит в интеграл и сигнал будет равен

. (5)

Поскольку сигнал выражается в вольтах, в правой части (5) также должны бать вольты. Таким образом, F(j) имеет размерность вольты деленные на рад в сек. (часто В/Гц). отсюда и название данной величины «спектральная плотность». e^jt – гармонический множитель в комплексной форме. Из (5) можно сделать вывод о том, что сигнал может быть записан в виде суммы бесконечного количества гармонических сигналов с бесконечно малыми комплексными амплитудами

. (6)

Спектральная плотность характеризует распределение этих амплитуд по частоте.

В этом суть спектрального представления одиночных сигналов. Выражения (3) и (5) представляют пару интегрального преобразования Фурье, прямое и обратное.

Обратим внимание на то, что модуль и фаза одинаковые по значимости характеристики сигнала, ибо отсутствие любой из них делает невозможным его представление во времени.

2. Свойства спектральной плотности

а) В отличии от периодических сигналов частотная характеристика одиночного сигнала непрерывная функция частоты. Это означает, что в сигнале есть теоретически все частоты.

б) Модуль спектральной плотности F() – функция чётная, а фаза () нечетная функция частоты. На рис 1, 2 показан качественно вид этих функций для гипотетического одиночного сигнала.

F()

0 

Рис.1 Характеристика модуля спектральной плотности

()

0 

Рис.2 Характеристика фазы спектральной плотности

в) Для вычисления спектра следует руководствоваться следующим:

, (7)

,

.

г) Интегрирование, посредством которого вычисляется спектр, линейная операция и здесь применим принцип суперпозиции. Есть сигнал состоящий из суммы двух. Спектр суммы равен сумме спектров:

S(t) = S₁(t) + S₂(t),

F(j) = F₁(j) + F₂(j). (8)

д) Допустим, сигнал сдвинут по времени S₁(t - t₁) и нужно определить его спектр по исходному S(t). Здесь (t - t₁) – сдвиг во времени на t₀ =t-t₁. Если известно S(t)  F(j), то S₁(t)  . Таким образом множителем в спектральной плотности отражается временной сдвиг. На рис. 3 показан сдвинутый сигнал.

S(t) S(t-t₁))

t₁ t t

Рис.3 Сдвиг сигнала во времени

е) Если исходный сигнал подвергается дифференцированию или интегрированию, соответствующим образом меняется его спектр

, ;

, .

Свойства спектра позволят упростить его нахождение при задании конкретного вида сигнала.

Определим спектр простейшего сигнала в виде единичного импульса заданной длительности (рис. 4).

U(t)

1

 t

Рис. 4 Импульсный сигнал

Согласно (3) имеем:

. (9)

По известным в тригонометрии формулам получим выражение для модуля и фазы спектральной плотности:

, (10)

. (11)

На рис.5 показано поведение модуля спектральной плотности при различных длительностях импульса.

F()

1*₁

1* ₁ >  > ₂

1*₂



Рис. 5 спектральная плотность прямоугольного импульса

Теперь мы можем сделать важный для практике вывод. Ширина спектра, хотя бы в пределах главного лепестка зависит от длительности сигнала. Чем короче сигнал тем, шире его спектр и наоборот. Это остается справедливым и для периодических сигналов, у которых так же существует длительность. Эта закономерность получила название принципа неопределенности.

3. Энергия одиночного сигнала.

Она характеризует как амплитуду сигнала, так и время его существования. Вычислить ее через временную функцию можно так:

. (12)

Можно определить эту энергию и по спектру. Докажем это с помощью интегрального преобразования Фурье. Известно, что

,

тогда комплексно сопряженная спектральная плотность будет

. (13)

найдем интеграл от произведения, выразив комплексно сопряженную плотность через функцию сигнала:

В итоге получим известное выражение для энергии. Таким образом

. (14)

Эта формула получила название равенство Парсеваля для одиночного сигнала. Уместно считать, что F²() характеризует распределение по частоте энергии сигнала; она имеет следующую размерность:

.

4. Практическая ширина спектра одиночного сигнала

Теоретически бесконечные спектры сигналов необходимо ограничить во многих практических задачах, так как все устройства канала имеют ограниченную полосу пропускания. Естественно встает вопрос о согласованности с ними сигнала. Наиболее объективно ограничение выполнить на основе энергетического критерия. Известное равенство Парсеваля (14) дает полную энергию сигнала в полосе частот от 0 до .

Если задать процент от полной энергии сигнала W, то ему будет соответствовать определенная граничная частота _гр и

. (15)

Таким образом, имея зависимость энергии от верхней частоты можно найти граничную частоту.