13.2. Логические операции и способы их аппаратурной реализации.

Алгебра логики, разработанная в середине прошлого века ирландским математиком Д.Булем, является научной основой работы цифровых устройств. В ней действуют принципы (правила), схожие с обычной алгеброй, но буквами (символами) обозначаются не числа, а высказывания. В алгебре Буля переменные принимают только два дискретных значения: логическая 1 приписывается истинному высказыванию и логический 0 - ложному (неистинному). Символы нельзя рассматривать как арифметические числа, т.е. алгебра логики является алгеброй состояний, а не чисел. Аппарат алгебры логики используют как для анализа, так и проектирования (синтеза) логических устройств любой сложности в системах цифровой обработки информации. В этом случае можно проводить все исследования строго математически.

Основные логические операциивключают следующие элементарные преобразования двоичных сигналов.

1. Логическое сложение или дизъюнкция(от английского disjunction - разъединение), обозначаемое символом и называемое также операцией ИЛИ. Эта операция описывается для простейшей функции двух переменных x1 и x2 (см. рис. 13.1, б) в виде логической формулы

(13.3)

Соотношение (13.3) означает, что функция yд равна 1, если хотя бы один из аргументов (x1 илиx2) равен 1.

Условное обозначение, таблица истинности и другие показатели этой логической функции приведены в табл. 13.2.

Заметим, что таблицей истинностиназывают функциональную взаимосвязь значений выходной величиныy_iлогического устройства с каждой из возможныхi-х комбинаций входных переменныхx₁,x₂, ...,x_n, представленных в табличной форме. Как отмечалось [см. (13.1)], для функцииnпеременных таких комбинаций будет

В простейшем случае двух переменных x₁иx₂таблица истинности (см. пятую строку первых двух столбцов таблицы 13.2) будет насчитывать

комбинации этих переменных.

Анализируя таблицу 13.1 и таблицу 13.2 можно отметить, что столбец y₂соответствует операции логического сложения. Наиболее просто эту операцию можно реализовать с помощью контактной цепи с двумя параллельно включенными контактами (рис. 2 в табл. 13.2). Сигналy_дна выходе такой цепи появится только в том случае, если хотя бы один из контактов замкнут.

В цифровой электронике операцию логического сложения легко реализуют с помощью двух диодов (с независимыми входами), работающих на одно нагрузочное устройство с сопротивлением R. Принципиальная схема такой электронной цепи приведена на рис. 3 табл. 13.2. Как видно из рис. 3, сигнал на выходе цепи, соответствующий логической 1, имеет место только в том случае, если на входе хотя бы одного из диодов также существует сигнал, соответствующий логической 1. Этот сигнал открывает диод, в результате чего в нагрузочном устройстве появляется ток, обеспечивающий соответствующее логической 1 выходное напряжение цепи.

2. Логическое умножение или конъюнкция(от английского conjunction - соединение), обозначаемое символом и называемое операцией И. Условное обозначение & конъюнкции на логических схемах (см. рис. 4 табл. 13.2) именуют амперсендом. Для удобства записи сложных логических функций символ конъюнкции можно условно отождествлять со знаком обычного умножения. Для функции двух переменных в этом случае имеем

(13.4)

Соотношение (13.4) показывает, что y_к=1 только в том случае, когда оба аргумента (x₁иx₂) становятся равными 1.

Таблица 13.2 Формы отображения основных логических операций

Условное обозначение и другие показатели функции y_кпредставлены во втором столбце таблицы 13.2. Вновь анализируя таблицу 13.1, отметим, что столбец с y₁₅отвечает операции логического умножения. Эта операция может быть реализована контактной цепью, принципиальная схема которой приведена на рис. 5 (табл. 13.2), а принципиальная схема электрической цепи, действие которой аналогично контактной, показана на рис. 6. Сигнал на выходе электронной цепи, равный примерно U_п, что соответствует y_к=1, можно получить только в том случае, если оба диода заперты, т. е. на их катоды подан высокий потенциал (по отношению к аноду), соответствующий входным сигналам x₁=1 и и x₂=1.

3. Логическое отрицание или инверсия, обозначаемое черточкой над переменной и называемое операцией НЕ. Эта операция записывается

(13.5)

Как видно, операция выполняется над одной переменной xи значение у_ивсегда противоположно значению этой переменной. Условное обозначение и другие показатели функции у_uприведены в третьем столбце таблицы 13.2.

Реализация логической операции НЕ может быть также осуществлена контактной цепью, но (в отличие от цепей, рассмотренных на рис. 2 и 5) с помощью нормально замкнутых контактов электромагнитного реле (рис. 8). Отсутствие напряжения на обмотке реле (х=0) предполагает замыкание цепи и появление сигнала на ее выходе, соответствующего логической 1 (у_u=l). При наличии напряжения (логической 1) на обмотке реле (х=1) цепь разомкнута и сигнал на выходе цепи отсутствует (у_u=1).

Логическая операция инверсии сравнительно легко реализуется в электронике цепью простейшего усилителя при включении транзистора в схему ОЭ (рис. 9 табл. 13.2), которая обладает инвертирующим свойством. Действительно, когда транзистор работает в режиме насыщения (при входном напряжении, соответствующем логической 1), выходной сигнал

Когда же транзистор заперт (при отсутствии входного сигнала: х=0),

что соответствует логической 1.

Сопоставляя таблицы истинности для операций дизъюнкции и конъюнкции (см. таблицу 13.2), можно обосновать следующие соотношения алгебры Буля, имеющие большое практическое значение.

Принцип дуальности, который удобно выразить в виде двух положений:

(13.6)

Правило де Морганавытекает как следствие принципа дуальности и формулируется в виде двух логических соотношений:

(13.7)

Приведенные соотношения (13.6) - (13.7) можно легко обобщить для n входных сигналов x₁, x₂, ..., x_n. Их широко используют для преобразования сложных логических функций к более простому виду (минимизации функций) при проектировании (синтезе) логических устройств цифровой электроники.

Рассмотренные выше основные логические операции И, ИЛИ и НЕ образуют функционально полный набор, т.е. позволяют реализовать любые логические функции (преобразования) комбинационной логики. Строго говоря, для этой цели можно ограничиться даже двумя операциями, например ИЛИ и НЕ. Однако при использовании только этих трех элементов не всегда удается получить логические устройства наипростейшего вида. Поэтому в логических системах находят применение и другие типовые элементы, реализующие иные логические операции, показанные в таблице 13.1.

Особое значение в цифровой микроэлектронике уделяется двум универсальным логическим операциям, каждая из которых способна самостоятельно образовать функционально полный набор. Как известно, в случае применения только одного базового элемента наблюдается заметное усложнение проектируемых логических устройств. Однако в интегральной технологии удобство изготовления одного базового элемента имеет решающее значение. Поэтому универсальные логические элементы составляют основу большинства интегральных цифровых микросхем.

Универсальные логические операции, реализуемые базовыми элементами, включают две следующие разновидности (для удобства сохраним имеющийся порядок нумерации операций).

4. Функция Шеффера, обозначаемая символически вертикальной черточкой | (штрих Шеффера), отображает операцию И-НЕ. Этой операции соответствует столбец y₅в таблице 13.1. Для простейшей функции двух переменных x₁и x₂ в этом случае получают:

(13.8)

Формула (13.8) указывает на то, что функция y_ш=0 тогда и только тогда, когда x₁=x₂=1.

5. Функция Пирса, обозначаемая символически вертикальной стрелкой (стрелка Пирса), выражает операцию ИЛИ-НЕ. Этой операции соответствует столбец y₁₂в таблице 13.1. Для функции двух переменных x₁и x₂она записывается в виде:

(13.9)

Соотношение (13.9) означает, что y_n=1 тогда и только тогда, когда x₁=x₂=0.

Важнейшие показатели универсальных логических операций представлены в таблице 13.3

Таблица 13.3. Формы отображения универсальных логических операций

Реализацию операций И—НЕ и ИЛИ—НЕ не представляет труда осуществить также в контактной цепи, применяя для этой цели электромагнитные реле с нормально замкнутыми (в отсутствие сигнала на входе управления реле, соответствующее отсутствию напряжения на его обмотке) контактами. Для реализации операции И—НЕ электромагнитные реле включают в цепь параллельно (рис. 2, табл. 13.3), а в случае операции ИЛИ—НЕ — последовательно.

Теоремы булевой алгебры.

Теоремы булевой алгебры отражают связи, существующие между операциями, выполняемыми над логическими переменными. Сформулируем основные из них

Справедливость всех перечисленных теорем может быть доказана подстановкой.

Представление функции алгебры логики (ФАЛ) математическим выражением.

При представлении ФАЛ математическим выражением используют два вида ее представления.

Дизъюктивной нормальной формой(ДНФ) называется логическая сумма элементарных логических произведений, в каждое из которых аргумент или его отрицание входят один раз.

ДНФ может быть получена из таблицы истинности следующим образом: для каждого набора аргументов на котором функция равна «1» записывают элементарные произведения переменных, причем переменные, значение которых равно нулю записывают с инверсией. Полученные произведения, которые носят название конституент единицы или минтермов, суммируют.

Например, пусть задана логическая функция 3х переменных, которая равна единице в случае, если хотя бы две из входных переменных равны «1». Требуется записать ДНФ этой функции.

Представим логическую функцию в виде таблицы истинности.

Для данной логической функции ДНФ имеет вид:

ДНФ, полученная суммированием конституент единицы, называется совершенной (СДНФ).

Конъюктивной нормальной формой (КНФ)называется логическое произведение элементарный сумм, в каждую из которых аргумент или его отрицание входят один раз.

КНФ может быть получена из таблицы истинности: для каждого набора аргументов на котором функция равна «0» составляют элементарную сумму, причем переменные, значение которых равно «1», записываются с отрицанием. Полученные суммы, которые носят название конституент нуля или макстермов, объединяют операцией логического умножения.

Например, КНФ для функции из предыдущего примера имеет вид:

КНФ также называется совершенной, т.к. каждая элементарная сумма содержит все переменные.

Иногда удобнее пользоваться не самой ФАЛ, а ее инверсией. В этом случае при использовании вышеописанных методик для записи СДНФ надо использовать нулевые, а для записи СКНФ единичные значения функции .

Например, для ФАЛ предыдущего примера СДНФ и СКНФ инверсной функции имеют вид:

Иногда для сокращения записи ФАЛ представляют последовательностью десятичных чисел. Для представления ФАЛ последовательностью чисел задают десятичные значения конституент единицы или нуля.

Например, запись ФАЛ из предыдущего примера в виде последовательности чисел имеет вид:

Переход от ФАЛ к логической схеме.

Для построения логической схемы необходимо логические элементы предназначенные для выполнения логических операций, указанных в ФАЛ, располагать начиная от входа в порядке указанном в булевом выражении.

Например, логическая схема устройства, реализующего логическую функцию

имеет вид, представленный на рис. 13.2.

Рис. 13.2. Пример логической схемы устройства

Синтез логических устройств в заданном базисе логических элементов.

До сих пор для построения структуры логических устройств мы пользовались функционально полной системой логических элементов, реализующих три основные логические операции И, ИЛИ, НЕ. Однако на практике, с целью уменьшения номенклатуры используемых микросхем, часто пользуются функционально полной системой логических элементов в составе двух, выполняющих операций И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Любую ФАЛ можно записать в заданном базисе логических элементов. Если задан базис И-НЕ, то путем двойного инвертирования исходного выражения или его части и применения теорем Де-Моргана ФАЛ приводиться к виду, содержащему только операции логического умножения и инвертирования. Если же задан базис ИЛИ-НЕ, исходную ФАЛ теми же приемами приводят к виду, содержащему только операции логического сложения и инверсии. Далее логическое выражение записывается через условные обозначения выбранных операций.

Например, исходная ДНФ в базисе И-НЕ имеет вид:

Пример