6.3. Изображение синусоидальных функций времени в комплексной форме

При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам.

Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:

где с - модуль комплексного числа;

φ- аргумент;

a - вещественная часть комплексного числа;

b - мнимая часть;

j - мнимая единица, j = √-1.

С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.

От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:

Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под угломφотносительно вещественной оси (рис.6.3).

Умножим комплексное число на множитель .

Радиус - вектор на комплексной плоскости повернется на угол β.

Множитель называется поворотным.

Рис.6.3

Если , то вектор, умноженный на , превратится во вращающийся со скоростьюωрадиус - вектор.

Выражение называется комплексной функцией времени.

Применительно к напряжению, получим - комплексную функцию времени для напряжения.

- комплексная амплитуда напряжения (исходное положение вектора в комплексной плоскости). Определим, чему равна мнимая часть комплексной функции времени для напряжения.

Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.

Замечание. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку.

Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.

Пример.

         

Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.

              

Амплитуда результирующего тока , начальная фаза - .

Мгновенное значение результирующего тока

.

      Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:

- закон Ома;      (6.4)                        - первый закон Кирхгофа;     (6.5)                                 - второй закон Кирхгофа.   (6.6)

6.4. Сопротивление в цепи синусоидального тока

Если напряжение подключить к сопротивлению R, то через него протекает ток

     (6.7)

Анализ выражения (6.7) показывает, что напряжение на сопротивлении и ток, протекающий через него, совпадают по фазе.

Формула (6.7) в комплексной форме записи имеет вид

     (6.8)

где и - комплексные  амплитуды  тока и напряжения.

Комплексному уравнению (6.8) соответствует векторная диаграмма (рис. 6.4). Из анализа диаграммы следует, что векторы напряжения и тока совпадают по направлению.

Рис.6.4

Сопротивление участка цепи постоянному току называется омическим, а сопротивление того же участка переменному току - активным сопротивлением.

Активное сопротивление больше омического из-за явления поверхностного эффекта. Поверхностный эффект заключается в том, что ток вытесняется из центральных частей к периферии сечения проводника.