Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metod_noi

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

R(x) =

Al−1

+ +

Br−1

+ +

(x − a)l

(x − a)l−1

(x − a)

−b)r

(x −b)r−1

(x −b)

Mk x + Nk

Mk −1x + Nk−1

+ +

M1x + N1

+ +

(x2 + px + q)k

(x2 + px + q)k−1

(x2 + px + q)

Si x +Gi

Si−1x +Gi−1

+ +

S1x +G1

(x2 + sx + g)i

(x2 + sx + g)i−1

(x2 + sx + g)

Методы определения коэффициентов разложения будут рассмотрены на конкретных примерах.

Приведем схему интегрирования простейших дробей. 1. ∫(x −Aa) dx = A∫d((xx−−aa)) = Aln x − a +C

2. ∫

dx =

A∫(x − a)

−n

d(x

−a) = A

(x −a)−n+1

+C = −

(x − a)n

−n +1

(n −1)(x −a)n−1

3. Схема вычисления интегралов вида

∫

Mx + N

dx была изложена ранее.

x2 + px + q

4.Рассмотрим схему вычисления интегралов вида ∫

Mx + N

dx .

(x2 + px + q)n

Выделив полный квадрат, представим квадратный трехчлен в виде

+ px + q = x

+ q −

. Поскольку q −

> 0 , то обозначим

q −

= m2 . Сделаем замену переменной t = x +

, dt

= dx, x =t −

Тогда имеем

M t

−

+ N

tdt

∫

dt = M

+ N

−

+ m

)

+ m

)

+ m

)

∫(t

Вычислим каждый интеграл отдельно.

tdt

d(t2 + m2 )

∫

= 2 ∫ (t2 + m2 )n

= −

(t2 + m2 )n

2(n −1)(t2 + m2 )n−1

Рассмотрим схему вычисления второго интеграла ∫(t2 +dtm2 )n . Обозначим

In = ∫(t2 +dtm2 )n . Его вычисление при n =1не представляет трудностей,

поскольку он является табличным интегралом I1 = ∫(t2 +dtm2 ) = m1 arctg mt .

Далее наш метод состоит в том, чтобы получить рекуррентное соотношение,

которое позволяет сводить вычисление In = ∫

к вычислению

(t2 + m2 )n

In−1 = ∫

(t2 + m2 )n−1

Преобразуем интеграл к виду

In =

∫

(t2 + m2 −t2 )dt

∫

−

∫

t2dt

(t2 + m2 )n

(t2 + m2 )n−1

(t2 + m2 )n

Это соотношение перепишем в виде

In =

In−1

∫t

tdt

−

(t2 + m2 )n

Для вычисления интеграла в правой части используем формулу

интегрирования по частям. Обозначим:

u =t , dv =

tdt

. Тогда du = dt ,

(t2 + m2 )n

tdt

v = ∫

∫(t

+ m

)

−n

d(t

+ m

) =−

(t2 + m2 )n

2(n −1)(t2 + m2 )n−1

Получаем

In =

In−1

−

2(n −1)(t

+ m

)

n−1

∫2(n −1)(t

+ m

)

n−1

2n −3

n−1

2m2 (n −1)(t2 + m2 )n−1

2m2 (n −1)

Таким образом I

2n −3

n−1

2m2 (n

−1)(t2 + m2 )n−1

2m2 (n −

Задача 17.Найти∫

(x2

+10)3

Используя полученное рекуррентное соотношение, получаем

2 3 −3

∫

(x2 +10)3

2 10 (3 −1)(x2 +10)2

2 10 (3 −1)

(x2 +10)2

Используем еще один раз рекуррентное соотношение.

Тогда

∫(x

+10)

40(x

+10)

20(x

+10)

20 ∫(x

+10)

Вычисление последнего интеграла не представляет трудностей.

Следовательно

∫

arctg

(x2 +10)3

40(x2 +10)2

800(x2 +10)

800 10

Далее приведем примеры интегрирования рациональных дробей.

Задача 18.Найти ∫	4x2 − x −9	dx
	(x + 2)(x +1)(x −1)

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде

4x2 − x −9	=	A		+	B	+	C	.
(x + 2)(x +1)(x −1)		(x +	2)		(x +1)		(x −1)

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С. Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен

(x + 2)(x +1)(x −1) - знаменателю в левой части выражения и приравняем

числители в правой и левой частях. Получим
4x2 − x −9 = A(x +1)(x −1) + B(x + 2)(x −1) +C(x + 2)(x +1) .	(1)

В соотношении (1) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

A + B +C = 4
	.
B +3C = −1	.

− A − 2B + 2C = −9
Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты. Отметим, что в

данном случае нет необходимости решать систему уравнений, поскольку неизвестные коэффициенты можно определить более простым путем. Равенство (1) рассматриваем как равенство многочленов, верное для любых значений x . Подставим в левую и правую части этого равенства x = −2 . Получим

9 = 3A , A = 3 .

Подставляя x = −1, имеем

− 4 = −2B , B = 2 .

Подстановка x =1дает

−6 = 6C , C = −1.

Следовательно

4x2 − x −9

−

(x + 2)(x +1)(x −1)

+ 2)

(x +1)

(x −1)

Тогда

4x2 − x −9

dx =

−

dx =

∫(x + 2)(x +1)(x −1)

(x + 2)

(x +1)

(x −1)

∫

= 3∫d(x + 2)

+ 2∫d(x +1)

−

∫d(x −1)

=3ln

x + 2

+ 2ln

x +1

−ln

x −1

+C .

(x + 2)

(x +1)

(x −1)

Ответ: ∫

4x2 − x −9

dx =3ln

x + 2

+ 2ln

x +1

−ln

x −1

(x + 2)(x +1)(x −1)

Задача 19.Найти ∫ 4x −8 2 dx

(x −3)(x −1)

Поскольку дробь правильная, то представим ее в виде суммы простейших дробей вида

4x −8	=	A		+	B	+	C	.
(x −3)(x −1)2		(x −	3)		(x −1)2		(x −1)

Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем

4x −8 = A(x −1)2 + B(x −3) +C(x −3)(x −1) .

(2)

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

A +C = 0

− 2A + B − 4C = 4 .

A −3B +3C = −8

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты. Отметим, что в данном случае нет необходимости полностью решать систему уравнений, поскольку часть неизвестных коэффициентов можно определить более простым путем. Равенство (2) рассматриваем как равенство многочленов, верное для любых значений x . Подставим в левую и правую части этого равенства x =3 . Получим

4 = 4A , A =1 .

Подставим в левую и правую части этого равенства x =1. Получим

− 4 = −2B , B = 2 .

Из первого уравнения системы находим

C = −1.

Тогда

4x −8

−

(x −3)(x −1)2

(x −

(x −1)2

−1)

Следовательно

4x −8

dx =

−

dx =

∫(x −3)(x −1)

∫

(x −1)

(x −3) (x −1)

d(x −3)

d(x −1)

= ∫ (x −3)

+ 2∫

(x −1)2

− ∫

(x −1)

= ln

x −3

−

−ln

x −1

Ответ: ∫

4x −8

dx = ln

x −3

−

−ln

x −1

+C .

(x −3)(x −1)2

x −1

Задача 20.Найти ∫

11x3 −34x2 +32x

4(x −1)2 (x −2)(x −4)

Разложим это выражение на простейшие дроби

11x3 −34x2 +32x

(x −1)2 (x −2)(x −4)

(x −1)2

x −1

−

x −

Задача 21.Найти ∫

Определяем коэффициенты

11x3 −34x2 +32x =

= A(x − 2)(x − 4) + B(x −1)(x − 2)(x −4) +C(x −1)2 (x −4) + D(x −1)2 (x −2)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем

B + C + D =11

A − 7B − 6C − 4D = −34

=32

−6A +15B + 9C + 5D

8A −8B − 4C − 2D = 0

Часть коэффициентов определим независимым путем.

Полагая x =1, x = 2 , x = 4 получаем

3A = 9 , A = 3 ;

− 2C =16 , C = −8 ;

18D = 288 , D =16 .

Тогда B = 3 .

Следовательно

11x3 −34x2 +32x

dx =

−

dx =

∫4(x −1)

∫

(x −2)(x −4)

4(x −1)

x −2

x −4

=34 ∫d(x(x−−1)1)2 dx + 43 ∫d((xx−−1)1)dx − 2∫d((xx−−2)2)dx + 4∫d((xx−−4)4)dx =

=−4(x3−1) + 34 ln x −1 −2ln x −2 + 4ln x −4 +C

Ответ:

∫

11x3 −34x2 +32x

dx = −

4 ln

x −1

−2ln

x −2

+ 4ln

x −4

4(x −1)2 (x −2)(x −4)

4(x −1)

x4 +1

x3 − x2 dx .

Подынтегральное выражение является неправильной рациональной дробью. Представим его в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Для этого используем схему деления многочлена на многочлен

_ x4 +1				x3 − x2
x4 − x3				x +1
_ x3		+1
	x3	− x2
			x2 +1

Следовательно

x4 +1

= (x +1)

x2 +1

x3 − x2

x2 (x −1)

Полученную правильную рациональную дробь

представим в виде

x2 (x −1)

суммы простейших дробей

x2 +1

x2 (x −

x −1

Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем

x2 +1 = A(x −1) + Bx(x −1) +Cx2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , имеем систему уравнений

B +C =1;A − B = 0;

−A =1.

Решением этой системы являются:

A = −1;

B = −1; С=2.

x4 +1

Тогда ∫

dx = ∫ x +1

−

dx =

− x

x −1

d(x −1)

= ∫xdx + ∫dx − ∫x2

− ∫

+ 2∫

x −1

+ x + x −ln

+ 2ln

x −1

+C .

Ответ: ∫

x4 +1

dx =

+ x + x

−ln

+ 2ln

x −1

+C .

x3 − x2

Задача 22.Найти ∫

x − 2

= ∫

x − 2

dx .

x3 −1

(x −1)(x2 + x +1)

Правильную рациональную дробь

x −2

представим в виде суммы

(x −1)(x2 + x +1)

простейших дробей

x − 2

Bx +C

(x −1)(x2 + x +1)

x −1

x2 + x +1

Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем

x −2 = A(x2 + x +1) +(Bx +C)(x −1)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем систему уравнений

A + B = 0;

A − B +C =1;A −C = −2.

Коэффициент А можно найти непосредственно подстановкой x =1 в исходное уравнение. Получаем

−1 =3A , то есть A = −13 . Тогда B = 13 , C = 53

x −2

1 (x +5)dx

∫

dx = ∫

dx = −3 ∫

∫

x3 −1

(x −1)(x2 + x +1)

(x −1)

(x2 + x +1)

(2x +1) −

= −

x −1

∫

2 +5

dx =

3 ln

(x2 + x +1)

(2x +1)dx

−3 ln

x −1

∫

6 ∫

(x2 + x +1)

+ x +1)

d x

= −

x −1

∫

3 ln

(x2 + x +1)

x +

= −

1 ln

x −1

1 ln

x2 + x +1

3arctg

x + 2

+C =

= −

1 ln

x −1

1 ln

x2 + x +1

3arctg 2x +1 +C .

x − 2

2x +1

Ответ: ∫

dx =

x −1

+ x +

3arctg

+C .

−3 ln

6 ln

x3 −1

Интегралы, сводящиеся к интегрированию рациональных дробей.

Рациональной функцией R(x) будем называть функцию, при вычислении

которой используются следующие математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень.

Интегралы вида ∫R(ex )dx .

Данный интеграл сводится к интегрированию рациональных дробей заменой

переменной ex =t . Тогда x = ln t ,

dx = dt .

После подстановки получаем

∫R(ex )dx = ∫

R(t)

dt .

Полученное выражение является рациональной дробью.

Задача 23.Найти ∫

ex +1

dx.

+ 4e

+ 4

Сделаем замену переменной ex =t . Тогда x = ln t , dx = dt .

ex +1

После подстановки получаем ∫

dx = ∫

t +1

dt = ∫

t +1

dt.

e2 x + 4ex

+ 4

(t2 + 4t + 4)t

(t + 2)2 t

t +1	=	A	+	B	+ C .
(t + 2)2 t		(t + 2)2		(t + 2)
					t

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С. Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен (t + 2)2 t -

знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

t +1 = At + B(t + 2)t +C(t + 2)2 .

В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

B +C = 0

A + 2B + 4C =1.4C =1

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.

A = 12 , B = −14 , C = 14 .

Тогда

t +1

1 dt

∫

dt =

∫

−

∫

4 ∫ t

= −

−

4 ln

t + 2

4 ln

(t + 2)2 t

(t + 2)2

(t + 2)

2(t + 2)

Подставляя t = ex , получаем

∫

ex +1

dx = −

−

4 ln(e

+ 2) +

4 x

e2 x + 4ex + 4

2(ex + 2)

Задача 24.Найти∫

ex −1

dx.

−

+10

Сделаем замену переменной ex =t . Тогда x = ln t , dx = dt .

После подстановки получаем

∫

ex −1

dx = ∫

t −1

e2 x −6ex +10

(t2 −6t +10)t

t −1	=	A	+	Bt +C	.
(t2 −6t +10)t		t
				t2 −6t +10

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен (t2 −6t +10)t

- знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

t −1 = A(t2 −6t +10) +(Bt +C)t .

A + B = 0

−6A +C =1.

10 A = −1

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.

A = −101 , B =101 , C =104 .

Тогда

	t −1		1 dt			1			(t + 4)dt
∫		dt = −		∫ t	+			∫		=
	(t2 −6t +10)t		10				10		t2 −6t +10

1 (2t −6) + 4 +3

= −

∫

dt =

t2 −6t +10

= −

∫

(2t −6)dt

∫

dt =

t2 −6t +10

= −

∫

d(t2 −6t +10)

∫

d(t −3)

t2 −6t +10

(t −3)2 +1

= −101 ln t + 201 ln t2 −6t +10 +107 arctg(t −3) +C

Подставляя t = ex , получаем

∫

ex −1

2 x

dx = −

ln(e

−6e

+10) +

e2 x −6ex +10

Задача 25.Найти ∫

ex + 4

dx.

+ 6e

−16

Сделаем замену переменной ex

=t . Тогда x = ln t , dx =

arctg(ex −3) +C .

dtt .

После подстановки получаем ∫

ex + 4

dx = ∫

t + 4

dt =∫

t + 4

dt.

2 x

+ 6e

−16

+ 6t −16)t

(t − 2)(t +8)t

t + 4	=	A		+	B	+ C .
(t − 2)(t +8)t		t −	2		t +8
						t

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен (t −2)(t +8)t -

знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

t + 4 = A(t +8)t + B(t − 2)t +C(t − 2)(t +8) .

A + B +C = 0,8A − 2B + 6C =1, .

−16C = 4.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.11.20183 Мб18MetFiz1.doc
#
06.11.20181 Мб31MetHist1.doc
#
06.11.20181 Мб31MetHist2.doc
#
15.03.2016757 Кб23metod_fmp.pdf
#
15.03.20162 Мб9metod_kki.pdf
#
15.03.20162 Мб12metod_noi.pdf
#
09.04.2015432 Кб39Metod_rek_k_prakt_bakal.docx
#
01.05.2025356 Кб1Metod_rekomendatsii_DR_2011_1_UP.doc
#
23.08.201965 Кб5Metod_ukaz_kontr_rab_5416_s_sayta_1.doc
#
10.11.20195 Мб11Metod_ukaz_po_dom_rab_EP_(red).doc
#
23.11.20191 Мб37metod3_lab.doc