metod_noi
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(x) = |
Al |
|
+ |
|
Al−1 |
+ + |
|
A1 |
|
|
+ + |
|
Br |
|
+ |
Br−1 |
+ + |
B1 |
+ |
|||||||
(x − a)l |
|
(x − a)l−1 |
(x − a) |
(x |
−b)r |
(x −b)r−1 |
(x −b) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Mk x + Nk |
|
+ |
|
|
Mk −1x + Nk−1 |
|
+ + |
|
|
M1x + N1 |
|
|
+ + |
|
|
|
|||||||||
(x2 + px + q)k |
(x2 + px + q)k−1 |
(x2 + px + q) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
+ |
Si x +Gi |
|
|
+ |
|
Si−1x +Gi−1 |
|
+ + |
|
|
S1x +G1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
(x2 + sx + g)i |
|
(x2 + sx + g)i−1 |
|
|
(x2 + sx + g) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методы определения коэффициентов разложения будут рассмотрены на конкретных примерах.
Приведем схему интегрирования простейших дробей. 1. ∫(x −Aa) dx = A∫d((xx−−aa)) = Aln x − a +C
2. ∫ |
|
|
|
A |
|
|
dx = |
A∫(x − a) |
−n |
d(x |
−a) = A |
(x −a)−n+1 |
+C = − |
|
A |
+C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(x − a)n |
|
|
|
−n +1 |
|
|
|
(n −1)(x −a)n−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Схема вычисления интегралов вида |
|
∫ |
Mx + N |
|
|
dx была изложена ранее. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + px + q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.Рассмотрим схему вычисления интегралов вида ∫ |
|
|
Mx + N |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x2 + px + q)n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выделив полный квадрат, представим квадратный трехчлен в виде |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
+ px + q = x |
+ |
|
+ q − |
|
|
. Поскольку q − |
|
|
|
|
|
|
> 0 , то обозначим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
4 |
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
q − |
p2 |
= m2 . Сделаем замену переменной t = x + |
|
p |
, dt |
= dx, x =t − |
p |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
Тогда имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M t |
− |
|
|
|
+ N |
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
Mp |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ N |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
(t |
2 |
+ m |
2 |
) |
n |
(t |
2 |
|
+ m |
2 |
) |
n |
2 |
|
|
|
|
2 |
+ m |
2 |
) |
n |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫(t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Вычислим каждый интеграл отдельно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
1 |
d(t2 + m2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
|
= 2 ∫ (t2 + m2 )n |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
(t2 + m2 )n |
|
|
2(n −1)(t2 + m2 )n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим схему вычисления второго интеграла ∫(t2 +dtm2 )n . Обозначим
In = ∫(t2 +dtm2 )n . Его вычисление при n =1не представляет трудностей,
поскольку он является табличным интегралом I1 = ∫(t2 +dtm2 ) = m1 arctg mt .
22
Далее наш метод состоит в том, чтобы получить рекуррентное соотношение,
которое позволяет сводить вычисление In = ∫ |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
к вычислению |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(t2 + m2 )n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In−1 = ∫ |
|
|
dt |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(t2 + m2 )n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Преобразуем интеграл к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In = |
|
1 |
|
∫ |
(t2 + m2 −t2 )dt |
= |
|
1 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
t2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m2 |
|
|
|
(t2 + m2 )n |
|
|
m2 |
(t2 + m2 )n−1 |
|
|
m2 |
|
(t2 + m2 )n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Это соотношение перепишем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In = |
|
1 |
|
In−1 |
|
|
1 |
|
∫t |
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
m2 |
m2 |
|
(t2 + m2 )n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для вычисления интеграла в правой части используем формулу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегрирования по частям. Обозначим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u =t , dv = |
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда du = dt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(t2 + m2 )n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
v = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
∫(t |
2 |
+ m |
2 |
) |
−n |
d(t |
2 |
|
+ m |
2 |
) =− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(t2 + m2 )n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(n −1)(t2 + m2 )n−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
In = |
|
1 |
|
In−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||
m |
2 |
|
m |
2 |
|
|
2(n −1)(t |
2 |
+ m |
2 |
) |
n−1 |
∫2(n −1)(t |
2 |
+ m |
2 |
) |
n−1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
2n −3 |
|
|
|
|
I |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2m2 (n −1)(t2 + m2 )n−1 |
2m2 (n −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом I |
n |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
2n −3 |
|
|
|
I |
n−1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2m2 (n |
−1)(t2 + m2 )n−1 |
2m2 (n − |
1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Задача 17.Найти∫ |
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x2 |
|
|
+10)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Используя полученное рекуррентное соотношение, получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 −3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
∫ |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x2 +10)3 |
2 10 (3 −1)(x2 +10)2 |
2 10 (3 −1) |
(x2 +10)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Используем еще один раз рекуррентное соотношение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫(x |
2 |
|
+10) |
3 |
|
|
40(x |
2 |
+10) |
2 |
|
40 |
|
20(x |
2 |
+10) |
|
|
20 ∫(x |
2 |
+10) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычисление последнего интеграла не представляет трудностей. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
x |
|
+C |
||||||||||||||||||||||||||
(x2 +10)3 |
|
40(x2 +10)2 |
|
800(x2 +10) |
800 10 |
|
|
|
|
10 |
|
23
Далее приведем примеры интегрирования рациональных дробей.
Задача 18.Найти ∫ |
4x2 − x −9 |
dx |
|
(x + 2)(x +1)(x −1) |
|||
|
|
Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде
4x2 − x −9 |
= |
A |
|
+ |
B |
+ |
C |
. |
|
(x + 2)(x +1)(x −1) |
(x + |
2) |
(x +1) |
(x −1) |
|||||
|
|
|
|
Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С. Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен
(x + 2)(x +1)(x −1) - знаменателю в левой части выражения и приравняем
числители в правой и левой частях. Получим |
|
4x2 − x −9 = A(x +1)(x −1) + B(x + 2)(x −1) +C(x + 2)(x +1) . |
(1) |
В соотношении (1) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и получаем систему уравнений для определения А, В, С.
A + B +C = 4 |
|
|
. |
B +3C = −1 |
|
|
|
− A − 2B + 2C = −9 |
|
Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты. Отметим, что в |
данном случае нет необходимости решать систему уравнений, поскольку неизвестные коэффициенты можно определить более простым путем. Равенство (1) рассматриваем как равенство многочленов, верное для любых значений x . Подставим в левую и правую части этого равенства x = −2 . Получим
9 = 3A , A = 3 .
Подставляя x = −1, имеем
− 4 = −2B , B = 2 .
Подстановка x =1дает
−6 = 6C , C = −1.
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4x2 − x −9 |
|
= |
|
3 |
|
|
+ |
2 |
|
|
|
− |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(x + 2)(x +1)(x −1) |
(x |
+ 2) |
|
(x +1) |
|
|
(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4x2 − x −9 |
|
|
dx = |
|
|
|
|
3 |
+ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− |
1 |
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
∫(x + 2)(x +1)(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x + 2) |
(x +1) |
(x −1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 3∫d(x + 2) |
+ 2∫d(x +1) |
− |
∫d(x −1) |
|
=3ln |
|
x + 2 |
|
+ 2ln |
|
x +1 |
|
−ln |
|
x −1 |
|
+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x + 2) |
|
(x +1) |
|
|
|
(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: ∫ |
|
4x2 − x −9 |
|
|
|
|
dx =3ln |
|
x + 2 |
|
+ 2ln |
|
x +1 |
|
−ln |
|
x −1 |
|
+C |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x + 2)(x +1)(x −1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
Задача 19.Найти ∫ 4x −8 2 dx
(x −3)(x −1)
Поскольку дробь правильная, то представим ее в виде суммы простейших дробей вида
4x −8 |
= |
A |
|
+ |
B |
+ |
C |
. |
|
(x −3)(x −1)2 |
(x − |
3) |
(x −1)2 |
(x −1) |
|||||
|
|
|
|
Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем
4x −8 = A(x −1)2 + B(x −3) +C(x −3)(x −1) . |
(2) |
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x и получаем систему уравнений для определения А, В, С.
A +C = 0
− 2A + B − 4C = 4 .
A −3B +3C = −8
Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты. Отметим, что в данном случае нет необходимости полностью решать систему уравнений, поскольку часть неизвестных коэффициентов можно определить более простым путем. Равенство (2) рассматриваем как равенство многочленов, верное для любых значений x . Подставим в левую и правую части этого равенства x =3 . Получим
4 = 4A , A =1 .
Подставим в левую и правую части этого равенства x =1. Получим
− 4 = −2B , B = 2 .
Из первого уравнения системы находим
C = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4x −8 |
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(x −3)(x −1)2 |
(x − |
3) |
|
(x −1)2 |
(x |
−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4x −8 |
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
2 |
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∫(x −3)(x −1) |
2 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x −3) (x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
d(x −3) |
|
|
|
|
|
d(x −1) |
|
|
|
d(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= ∫ (x −3) |
+ 2∫ |
(x −1)2 |
|
− ∫ |
|
(x −1) |
= ln |
|
x −3 |
|
− |
|
|
|
|
|
−ln |
x −1 |
+C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: ∫ |
|
4x −8 |
|
|
|
|
dx = ln |
|
x −3 |
|
− |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−ln |
|
x −1 |
|
+C . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x −3)(x −1)2 |
|
|
x −1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Задача 20.Найти ∫ |
|
11x3 −34x2 +32x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4(x −1)2 (x −2)(x −4) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Разложим это выражение на простейшие дроби |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11x3 −34x2 +32x |
|
|
= |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
+ |
B |
|
+ |
|
|
|
|
|
C |
|
+ |
|
|
|
D |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
(x −1)2 (x −2)(x −4) |
|
(x −1)2 |
x −1 |
|
x |
− |
2 |
|
x − |
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
Определяем коэффициенты
11x3 −34x2 +32x =
= A(x − 2)(x − 4) + B(x −1)(x − 2)(x −4) +C(x −1)2 (x −4) + D(x −1)2 (x −2)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем
B + C + D =11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A − 7B − 6C − 4D = −34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
=32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6A +15B + 9C + 5D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8A −8B − 4C − 2D = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть коэффициентов определим независимым путем. |
|
|
|||||||||||||
Полагая x =1, x = 2 , x = 4 получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3A = 9 , A = 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− 2C =16 , C = −8 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18D = 288 , D =16 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда B = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
11x3 −34x2 +32x |
dx = |
|
|
3 |
|
+ |
3 |
− |
2 |
+ |
4 |
dx = |
||
∫4(x −1) |
2 |
|
∫ |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
(x −2)(x −4) |
|
4(x −1) |
|
4(x −1) |
|
x −2 |
x −4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
=34 ∫d(x(x−−1)1)2 dx + 43 ∫d((xx−−1)1)dx − 2∫d((xx−−2)2)dx + 4∫d((xx−−4)4)dx =
=−4(x3−1) + 34 ln x −1 −2ln x −2 + 4ln x −4 +C
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
11x3 −34x2 +32x |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx = − |
|
+ |
4 ln |
|
x −1 |
−2ln |
x −2 |
+ 4ln |
x −4 |
+C |
||
4(x −1)2 (x −2)(x −4) |
4(x −1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 +1
x3 − x2 dx .
Подынтегральное выражение является неправильной рациональной дробью. Представим его в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
Для этого используем схему деления многочлена на многочлен
_ x4 +1 |
|
|
x3 − x2 |
|
x4 − x3 |
|
|
x +1 |
|
_ x3 |
+1 |
|
||
|
x3 |
− x2 |
|
|
|
|
|
x2 +1 |
26
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x4 +1 |
|
|
= (x +1) |
+ |
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|||||||
|
x3 − x2 |
|
x2 (x −1) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Полученную правильную рациональную дробь |
x2 |
+1 |
представим в виде |
||||||||||||||||
x2 (x −1) |
|||||||||||||||||||
суммы простейших дробей |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x2 +1 |
|
= |
A |
+ |
|
B |
+ |
C |
|
|
|
|
||||||
|
x2 (x − |
1) |
x2 |
|
x |
|
x −1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем
x2 +1 = A(x −1) + Bx(x −1) +Cx2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , имеем систему уравнений
B +C =1;A − B = 0;
−A =1.
Решением этой системы являются: |
A = −1; |
B = −1; С=2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда ∫ |
|
|
|
|
|
dx = ∫ x +1 |
− |
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
3 |
− x |
2 |
x |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
d(x −1) |
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= ∫xdx + ∫dx − ∫x2 |
− ∫ |
|
x |
+ 2∫ |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
= |
|
+ x + x −ln |
|
x |
|
+ 2ln |
|
x −1 |
+C . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: ∫ |
|
x4 +1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dx = |
|
|
+ x + x |
|
−ln |
x |
|
+ 2ln |
x −1 |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x3 − x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Задача 22.Найти ∫ |
|
|
x − 2 |
|
= ∫ |
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 −1 |
(x −1)(x2 + x +1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Правильную рациональную дробь |
|
|
|
|
|
|
x −2 |
представим в виде суммы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x −1)(x2 + x +1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
простейших дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x − 2 |
|
|
|
|
= |
|
|
A |
|
|
|
+ |
|
|
Bx +C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(x −1)(x2 + x +1) |
|
x −1 |
|
|
x2 + x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем
27
x −2 = A(x2 + x +1) +(Bx +C)(x −1)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем систему уравнений
A + B = 0;
A − B +C =1;A −C = −2.
Коэффициент А можно найти непосредственно подстановкой x =1 в исходное уравнение. Получаем
−1 =3A , то есть A = −13 . Тогда B = 13 , C = 53
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 (x +5)dx |
|
|
|||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = −3 ∫ |
|
|
|
|
|
+ |
3 |
∫ |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 −1 |
(x −1)(x2 + x +1) |
(x −1) |
(x2 + x +1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(2x +1) − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= − |
1 |
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
1 |
∫ |
2 |
2 +5 |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 ln |
|
|
|
|
|
+ |
3 |
|
|
|
(x2 + x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(2x +1)dx |
9 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
−3 ln |
|
x −1 |
|
+ |
6 |
∫ |
|
|
|
|
|
+ |
6 ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x2 + x +1) |
(x2 + x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
d |
(x |
2 |
+ x +1) |
3 |
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 ln |
|
|
|
|
|
|
+ |
6 |
|
|
(x2 + x +1) |
|
|
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
2 |
|
|
+ |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= − |
1 ln |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
+ |
1 ln |
|
x2 + x +1 |
|
+ |
|
3arctg |
x + 2 |
|
+C = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1 ln |
|
x −1 |
|
+ |
1 ln |
|
x2 + x +1 |
|
+ |
|
3arctg 2x +1 +C . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
||||||||||||||
Ответ: ∫ |
dx = |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ x + |
|
|
|
|
3arctg |
+C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−3 ln |
|
+ |
6 ln |
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 −1 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
Интегралы, сводящиеся к интегрированию рациональных дробей.
Рациональной функцией R(x) будем называть функцию, при вычислении
которой используются следующие математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень.
Интегралы вида ∫R(ex )dx .
Данный интеграл сводится к интегрированию рациональных дробей заменой
переменной ex =t . Тогда x = ln t , |
dx = dt . |
|
|
|
||||||||||||
После подстановки получаем |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫R(ex )dx = ∫ |
R(t) |
dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полученное выражение является рациональной дробью. |
|
|
|
|||||||||||||
Задача 23.Найти ∫ |
|
|
ex +1 |
|
dx. |
|
|
|
||||||||
e |
2x |
+ 4e |
x |
|
+ 4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сделаем замену переменной ex =t . Тогда x = ln t , dx = dt . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex +1 |
|
|
t |
|
|
|
|
После подстановки получаем ∫ |
|
|
|
|
dx = ∫ |
t +1 |
dt = ∫ |
t +1 |
||||||||
|
|
|
|
dt. |
||||||||||||
e2 x + 4ex |
+ 4 |
(t2 + 4t + 4)t |
(t + 2)2 t |
Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде
t +1 |
= |
A |
+ |
B |
+ C . |
|
(t + 2)2 t |
(t + 2)2 |
(t + 2) |
||||
|
|
t |
Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С. Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен (t + 2)2 t -
знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим
t +1 = At + B(t + 2)t +C(t + 2)2 .
В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t и получаем систему уравнений для определения А, В, С.
B +C = 0
A + 2B + 4C =1.4C =1
Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.
A = 12 , B = −14 , C = 14 .
29
Тогда
|
|
t +1 |
1 |
|
dt |
|
|
1 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
1 dt |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dt = |
2 |
∫ |
|
|
|
|
− |
4 |
∫ |
|
|
|
+ |
4 ∫ t |
= − |
|
− |
4 ln |
|
t + 2 |
+ |
4 ln |
|
t |
|
+C |
|||||||||
|
(t + 2)2 t |
(t + 2)2 |
(t + 2) |
2(t + 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Подставляя t = ex , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ |
|
ex +1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dx = − |
|
|
|
− |
4 ln(e |
|
+ 2) + |
4 x |
+C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
e2 x + 4ex + 4 |
2(ex + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Задача 24.Найти∫ |
|
|
|
|
ex −1 |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
e |
2x |
|
− |
6e |
x |
+10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Сделаем замену переменной ex =t . Тогда x = ln t , dx = dt . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
После подстановки получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
ex −1 |
|
dx = ∫ |
|
|
|
t −1 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
e2 x −6ex +10 |
(t2 −6t +10)t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде
t −1 |
= |
A |
+ |
Bt +C |
. |
(t2 −6t +10)t |
t |
|
|||
|
|
t2 −6t +10 |
Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.
Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен (t2 −6t +10)t
- знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим
t −1 = A(t2 −6t +10) +(Bt +C)t .
В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t и получаем систему уравнений для определения А, В, С.
A + B = 0
−6A +C =1.
10 A = −1
Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.
A = −101 , B =101 , C =104 .
Тогда
|
t −1 |
|
1 dt |
|
1 |
|
(t + 4)dt |
|
||
∫ |
|
dt = − |
|
∫ t |
+ |
|
|
∫ |
|
= |
(t2 −6t +10)t |
10 |
|
10 |
t2 −6t +10 |
30
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 (2t −6) + 4 +3 |
|
|
|
|
|||||||||
= − |
ln |
|
t |
|
+ |
|
∫ |
2 |
|
|
|
|
dt = |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
10 |
|
|
|
t2 −6t +10 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= − |
1 |
ln |
|
t |
|
|
1 |
|
∫ |
|
(2t −6)dt |
7 |
∫ |
|
1 |
dt = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||
10 |
|
20 |
|
t2 −6t +10 |
10 |
t2 −6t +10 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= − |
1 |
ln |
|
t |
|
|
1 |
|
∫ |
|
|
d(t2 −6t +10) |
|
7 |
∫ |
d(t −3) |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
||||||||||||||
10 |
|
20 |
|
|
t2 −6t +10 |
|
10 |
(t −3)2 +1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −101 ln t + 201 ln t2 −6t +10 +107 arctg(t −3) +C
Подставляя t = ex , получаем
∫ |
ex −1 |
|
|
x |
1 |
|
|
2 x |
|
x |
|
7 |
|||||
|
dx = − |
|
+ |
|
ln(e |
|
−6e |
|
+10) + |
|
|
||||||
e2 x −6ex +10 |
10 |
20 |
|
|
|
10 |
|||||||||||
Задача 25.Найти ∫ |
|
|
|
ex + 4 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
||||||
e |
2x |
+ 6e |
x |
−16 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сделаем замену переменной ex |
=t . Тогда x = ln t , dx = |
arctg(ex −3) +C .
dtt .
После подстановки получаем ∫ |
|
|
ex + 4 |
dx = ∫ |
|
|
t + 4 |
dt =∫ |
t + 4 |
dt. |
||
e |
2 x |
+ 6e |
x |
−16 |
(t |
2 |
+ 6t −16)t |
(t − 2)(t +8)t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде
t + 4 |
= |
A |
|
+ |
B |
+ C . |
|
(t − 2)(t +8)t |
t − |
2 |
t +8 |
||||
|
|
t |
Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.
Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен (t −2)(t +8)t -
знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим
t + 4 = A(t +8)t + B(t − 2)t +C(t − 2)(t +8) .
В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях t и получаем систему уравнений для определения А, В, С.
A + B +C = 0,8A − 2B + 6C =1, .
−16C = 4.