Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

metod_noi

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
1.6 Mб
Скачать

11

 

 

 

 

 

2

 

p 2

p2

 

Выделим в знаменателе полный квадрат:

x

 

+ px + q = x +

 

 

+ q

 

,

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x +

 

 

= dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда полученный интеграл вычисляется по схеме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

d x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

p

2

 

p

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln

x +

 

 

 

+

x +

 

 

 

 

+ q

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

p 2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4

x2 + px + q

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

 

 

 

+ q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

+ x2

+ px + q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln

x +

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Мы воспользовались табличным интегралом

 

 

dx

 

 

x2 + A

 

+C )

 

 

 

= ln

x +

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Случай 2. a < 0 .

Преобразуем его к виду

 

dx

 

=

 

 

dx

 

 

=

1

dx

, где

ax

2

 

 

 

x2 b x

c

 

a

(x2 + px + q)

 

 

+bx +c

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

p = −b

, q = −

c

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выделим в знаменателе полный квадрат:

 

2

 

 

 

 

p 2

p2

 

2

 

p 2

2

 

p2

x

 

+ px + q = − x

 

 

+ q +

 

= m

 

x

 

 

, где m

 

= q +

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x

 

 

= dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда полученный интеграл вычисляется по схеме:

12

 

 

1

dx =

x

2

+ px + q

 

 

 

 

 

 

 

p

 

d x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

p 2

m

 

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

p

 

 

 

 

= arcsin

2

.

 

 

m

(Мы воспользовались табличным интегралом

 

 

dx

 

 

= arcsin

x

+C )

 

 

a

2

2

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6.Найти

 

 

5x + 2

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выделим в числителе производную знаменателя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x + 2

dx =

2 (2x + 2) + 2 5

dx =

5

(2

 

x + 2)

 

 

 

dx 3

 

 

 

1

dx

x

2

2

2

 

+ 2x

5

 

x

2

+ 2x 5

 

+ 2x 5

 

x

+ 2x 5

 

 

2

x

 

 

 

 

 

Заметим, что,

d(x2 + 2x 5) = (2x + 2)dx . Во втором интеграле выделим

 

полный квадрат в знаменателе x2 + 2x 5 = (x +1)2 5 1 = (x +1)2 6 , тогда d(x +1) = dx .

Получаем

5

 

 

 

(2x + 2)

 

 

 

dx

3

 

 

 

 

1

 

dx =

5

d(x2 + 2x 5)

3

d(x +1)

=

2

 

 

x

2

+ 2x

5

 

 

x

2

+ 2x

5

2

x

2

+ 2x 5

(x +1)

2

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=5

 

x2 + 2x 5 3ln

x +1 +

(x +1)2 6

 

+C =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + 2x 5

 

+C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=5

 

 

x2 + 2x 5 3ln

x +1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

5x + 2

 

dx =5

 

 

x2 + 2x 5

 

+C .

 

 

 

 

 

 

x2 + 2x 5 3ln

x +1 +

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+ 2x 5

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7.Найти

 

 

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 6x

2x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выделим в числителе производную знаменателя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

1

(4x 6) 3 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

4

 

 

 

 

 

 

 

2

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

6x

2x

2

 

 

 

1 6x

2x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

1

 

 

(4x 6)

 

dx

9

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

1 6x 2x

2

2

1 6x 2x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что,

 

d(1 6x 2x2 ) = (4x 6)dx . Во втором интеграле выделим

полный квадрат в знаменателе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 6x

2x

2

= −(2x

2

+6x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+3x

1

 

 

3 2

11

=

 

 

 

 

 

 

 

= −2 x

 

 

2

= −2 x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

11

 

 

 

+

3

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда d(x +

3) = dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(4x 6)

 

 

 

dx

9

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

1 6x 2x

2

 

2

 

 

1 6x 2x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

d(1 6x

2x

2

)

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

1 6x

2x

2

 

 

 

2

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

1 6x 2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

11

2

 

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

1

 

1 6x 2x2

 

 

 

9

 

 

 

 

arcsin

x + 2

 

+C =

 

= −

1

1 6x 2x2

 

9

arcsin

2x +3

+C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

11

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = −

1

 

 

1

6x 2x2

 

 

9

arcsin 2x +3

+C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

6x 2x

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

11

 

 

 

 

 

14

Применение формулы интегрирования по частям для вычисления неопределенных интегралов.

Формула интегрирования по частям имеет вид

udv =uv vdu

Вэтой формуле за du и dv обозначены дифференциалы некоторых функций.

На всякий случай еще раз напомним определение дифференциала функции dy = ydx , а так же формулу восстановления функции по ее

дифференциалу dy = y +C .

В начале рассмотрим один пример.

Задача 8.Найтиxarctgxdx .

При использовании формулы интегрирования по частям важно правильно на первом этапе разбить подынтегральное выражение на два множителя u и dv . Неудачное разбиение может привести не к упрощению, а, наоборот, к усложнению примера. В указанном примере обозначим u = arctgx . Всю

оставшуюся часть подынтегрального выражения мы обозначим dv , то есть dv = xdx .

Тогда имеем:

u = arctgx, du = (arctgx)dx =1 +dxx2 ;

x2

 

 

 

 

dv = xdx, v = xdx = 2 .

 

 

 

 

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

xarctgxdx = arctgx(xdx) =

x2

x2

 

dx

2 arctgx

2

 

(1 + x2 ) .

Для вычисления последнего интеграла подынтегральное выражение преобразуем к виду

x2

 

1

 

=

1

x2

+1 1

 

=

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

1 + x

2

2

x

2

+1

 

2

1 + x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

x2

 

 

dx

 

 

 

x2

 

1

 

 

1

 

 

xarctgxdx =

 

 

 

 

arctgx

 

 

 

 

 

 

=

 

arctgx

 

1

 

 

dx =

2

 

2

(1

+ x

2

)

2

2

1 + x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

x2

arctgx

1

x +

1

arctgx +C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

Ответ: xarctgxdx =

x2

1

1

 

arctgx

2 x +

2 arctgx +C .

2

Данная формула применяется для вычисления ряда типов неопределенных интегралов. Мы разберем некоторые из них.

Интегралы вида: Pn (x)ekxdx ; Pn (x)sin kxdx ; Pn (x)cos kxdx .

Где Pn (x) - многочлен степени n . При вычислении таких интегралов

принимается u = Pn (x) . Отметим, что тогда:

1) dv = ekxdx; v = ekxdx = 1k ekxd(kx) = 1k ekx , то есть ekxdx = 1k d (ekx ); 2) dv =sin kxdx; v = sin kxdx = 1k sin kxd(kx) = −1k cos kx , то есть

sin kxdx = −1k d (cos kx);

3) dv = cos kxdx; v = cos kxdx = 1k cos kxd(kx) = 1k sin kx , то есть cos kxdx = 1k d (sin kx).

Задача 9.Найти (5x + 7)e2 xdx .

Полагаем u =5x + 7 , следовательно du =5dx . Тогда

 

 

 

2 x

dx, v = e

2 x

 

1

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv = e

 

 

dx = −

2 e

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

 

 

 

 

 

 

 

(5x

+7)e

2 x

 

 

 

1

e

2 x

 

1

e

2 x

5dx = −

1

(5x +7)e

2 x

+

5

e

2 x

dx =

 

dx = (5x +7)

2

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −1

(5x +7)e2 x 5 e2 x +С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы не будем проводить дальнейшее алгебраическое упрощение данного выражения. (Надеемся, что читатели не обидятся на авторов за столь подробное изложение всех преобразований, в следующих примерах мы будем некоторые промежуточные моменты опускать.)

Задача 10.Найти (3x2 +5x +3)cos 4xdx . Пусть u = (3x2 +5x +3), du = (6x +5)dx .

Тогда dv = cos 4xdx, v = cos 4xdx = 14 sin 4x .

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

16

(3x2 +5x +3) cos 4xdx = 14 (3x2 +5x +3)sin 4x 14 (6x +5)sin 4xdx .

Мы получили интеграл подобного типа, только степень многочлена стала

меньше. Применим еще раз метод интегрирования по частям.

Пусть u = 6x +5, du = 6dx .

 

 

 

 

 

Тогда

dv =sin 4xdx, v = sin 4xdx = −1 cos 4x .

 

 

Получаем

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (6x +5)sin 4xdx =

(3x2 +5x +3)cos 4xdx = 1 (3x2

+5x +3)sin 4x

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

=

1

(3x

2

+5x +3)sin 4x

1

 

1

(6x +5)cos 4x +

6

 

4

 

4

4

4

cos 4xdx =

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 (3x2 +5x +3)sin 4x +

 

1

(6x +5)cos 4x

 

3

sin 4x +C

 

 

 

 

 

 

 

16

32

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (3x2 +5x +3)sin 4x +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

(3x2 +5x +3)cos 4xdx =

 

(6x +5)cos 4x

sin 4x +C

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если вы хорошо овладели навыками интегрирования, то можно явно не

выписывать чему равно u и du , dv и v , проделывая промежуточные

выкладки в уме. Покажем это на примере.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 11.Найти(7x +1)sin

x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

(7x +

1)sin

 

dx

= −2

(7x +1)d cos

 

 

 

= −2(7x +1)cos

 

 

+14

cos

 

 

dx =

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2(7x +1)cos

+ 28sin

+C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: (7x +1)sin

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = 2(7x +1)cos

 

+ 28sin

 

+C .

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Следующий тип интегралов, для которых применяется формула

интегрирования по частям – это интегралы вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn (x)lnk xdx , где

Pn (x)

 

- многочлен степени n , k целое положительное

число. В этом случае принимается u = lnk

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 12.Найти (4x +9)ln2 xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

u = ln2 x , значит

du = 2ln x

1 dx . Тогда dv = (4x +9)dx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = (4x +9)dx = (2x2 +9x) .

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

Получаем (4x +9) ln2 xdx = (2x2 +9x)ln2 x

(2x2 +9x)2ln x

1 dx =

= (2x2 +9x) ln2 x 2(2x +9)ln xdx

 

 

 

 

 

x

 

 

1 dx . Тогда dv = (2x +9)dx ,

Теперь обозначим u = ln x , значит du =

v = (2x +9)dx = (x2 +9x) .

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем (4x +9) ln2 xdx = (2x2 +9x) ln2 x 2(2x +9)ln xdx =

= (2x

2

+9x)ln

2

 

2

+9x)ln x (x

2

+9x)

1

 

 

 

 

x 2 (x

 

 

x

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=(2x2 +9x) ln2 x 2 (x2 +9x) ln x (x +9)dx =

=(2x2 +9x)ln2 x 2(x2 +9x)ln x +(x2 +18x) +C .

Ответ: (4x +9)ln2 xdx = (2x2 +9x)ln2 x 2(x2 +9x)ln x +(x2 +18x) +C .

Существует еще один класс интегралов, при вычислении которых полезно применить формулу интегрирования по частям. Применяемый прием называется «интегрирование с возвратом». Суть его состоит в том, что в результате применения формулы интегрирования по частям мы получаем уравнение для искомого интеграла.

Приведем пример вычисления интегралов вида eax cosbxdx и

eax sin bxdx .

Задача 13.Найти eax cosbxdx .

Пусть u = cosbx . Значит du = −bsin bxdx . Тогда dv = eaxdx, v = eaxdx = 1a eax .

Получаем

eax cosbxdx = 1a eax cosbx + ba eax sin bxdx .

Далее обозначим u =sin bx . Значит du =bcosbxdx . Тогда, как и ранее

dv = eaxdx, v = eaxdx = 1a eax . Применяя еще раз формулу интегрирования по частям, получаем

eax cosbxdx = 1a eax cosbx + ba eax sin bxdx =

=

1

e

ax

cosbx +

b

1

e

ax

sin bx

b

e

ax

 

a

 

 

 

 

a

 

cosbxdx

 

 

 

 

a a

 

 

 

 

 

 

18

Раскрываем скобки

e

ax

1

ax

 

b

 

ax

b2

e

ax

 

 

cosbxdx = a e

 

cosbx +

 

e

 

sin bx a2

 

cosbxdx .

 

 

a2

 

 

Фактически мы получили уравнение для определения искомого интеграла

eax cosbxdx .

Переносим интеграл из правой части соотношения в левую

 

+

b2

 

e

ax

cosbxdx =

1

e

ax

cosbx +

b

e

ax

sin bx .

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

eax cosbxdx =

 

 

 

 

 

eax cosbx +

 

 

 

 

 

 

eax sin bx +C .

 

a

2

+b

2

a

2

+b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 14.Найти e3x sin 4xdx .

 

 

 

 

 

 

1 e3x .

Пусть u =sin 4x . Значит

du = 4cos 4xdx . Тогда dv = e3xdx, v = e3xdx =

Получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 4xdx =

3 e

 

sin 4x

3 e

 

 

cos 4xdx .

 

 

 

Далее обозначим u = cos 4x . Значит

 

du = −4sin 4xdx . Тогда, как и ранее

dv = e3xdx, v = e3xdx =

1 e3x . Применяя еще раз формулу интегрирования по

частям, получаем

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 e3x cos 4xdx =

 

 

 

e3x sin 4xdx =

1 e3x sin 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

e

3x

sin 4x

4

1

e

3x

cos4x +

4

e

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

3

 

sin 4xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раскрываем скобки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

3x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

3x

 

 

 

 

sin 4xdx =

3 e

 

sin 4x

9 e

 

 

cos 4x

9 e

 

sin 4xdx .

 

 

 

 

 

 

 

Переносим интеграл из правой части соотношения в левую

 

 

 

+

16

e

3x

sin 4xdx =

1

e

3x

sin 4x

4

e

3x

cos 4x .

 

 

1

 

 

 

 

3

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3x sin 4xdx =

3

e3x sin 4x

4

 

e3x cos 4x +C .

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

Аналогичным образом могут быть вычислены интегралы вида:

x2 + Adx и a2 x2 dx .

 

 

 

Задача 15.Найти

x2 + Adx .

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим u =

x

2

+ A , dv = dx . Тогда du =

,

 

v = dx = x .

 

 

 

 

 

x

2

+ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

 

 

 

 

x2 + Adx = x

x2 + A

 

x2

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем данное равенство к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ Adx = x

 

2

+ A

x2 + A A

 

 

2

+ A

 

2

+ Adx +

 

 

A

 

 

x

 

 

 

 

 

 

dx

= x

x

 

x

 

 

 

 

 

dx

 

 

x

2

 

 

 

 

 

x

2

+ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последний из интегралов в правой части является табличным. Вычисляя его, имеем

x2 + Adx = x

 

x2 + A

 

 

x2 + Adx + Aln

x +

 

x2 + A

 

 

 

 

 

 

 

 

Из полученного выражения следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x2 + Adx = x

x2 + A + Aln

x +

x2 + A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + Adx =

 

x2 + A +

 

 

x2 + A

 

+C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 16.Найти

 

a2 x2 dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим u =

a

2

x

2

,

 

dv = dx . Тогда

 

 

 

du =

 

 

 

 

,

v = dx = x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

 

 

 

 

 

a2 x2 dx = x a2 x2 +

 

 

 

 

x2

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем данное равенство к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2 dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x a

2

x

2

a2 x2 a2

dx = x a

2

x

2

a

2

x

2

dx

+

 

a2

 

dx

 

 

 

a

2

x

2

 

 

 

 

 

 

a

2

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последний из интегралов в правой части является табличным. Вычисляя его, получаем

a2 x2 dx = x a2 x2

a2 x2 dx + a2 arcsin

x

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

Из полученного выражения следует

 

2

a2 x2 dx = x

a2 x2

+ a2 arcsin

x

 

a

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

+ a2

 

 

 

 

 

a2 x2 dx =

x

 

a2 x2

arcsin

x

 

+C .

 

a

 

2

 

 

2

 

 

Интегрирование рациональных дробей.

Напомним, что рациональной дробью называется выражение вида:

R(x) = Pn (x) , где Pn (x), Qm (x) - многочлены степени n и m соответственно.

Qm (x)

Дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе строго меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Известно, что всякая неправильная ( n m )дробь может быть представлена в виде

R(x) = Pn (x) = Pnm (x) + R1 (x) , где Pnm (x) - многочлен соответствующей

Qm (x)

степени, а R1 (x) - правильная рациональная дробь.

Поскольку проблема интегрирования многочлена не представляет серьезных трудностей, то основной вопрос – это интегрирование правильных рациональных дробей.

Простейшими рациональными дробями называются следующие выражения:

1)

A

; 2)

A

; 3)

Mx + N

; 4)

 

Mx + N

,

x a

(x a)n

x2 + px + q

 

(x2 + px + q)n

 

 

 

 

 

 

где в последних двух выражениях

p2 4q < 0 .

 

Известна теорема о том, что всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей. Поясним вид такого представления.

Пусть имеется правильная рациональная дробь R(x) = Pn (x) .

Qm (x)

Любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения линейных и квадратных множителей. Предположим, что

Qm (x) = (x a)l ... (x b)r (x2 + px + q)k ... (x2 + sx + g)i

Где l,..., r, k,...,i - целые числа, l +... + r + 2k +... + 2i = m p2 4q < 0,...., s2 4g < 0.

Тогда дробь R(x) может быть представлена в виде

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]