metod_noi

61

всех координатных осей, поэтому достаточно найти площадь в первой координатной четверти.

Фиг. 7

Впервой четверти зададим эллипс параметрически x = a cost

y =bsin t

62

Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейного сектора.

Фиг. 8 Криволинейным сектором (фиг. 8) называется область, ограниченная

линиями, уравнения которых в полярной системе координат ( r,ϕ ) имеют вид:

1)два луча ϕ =α, ϕ = β (α < β) ; 2)линия r = f (ϕ) .

На фигуре 8 (предполагается, что ось X совпадает с полярной осью) лучу ϕ =α соответствует ОА (угол AOX равен α), лучу ϕ = β соответствует ОВ (угол ВOX равен β), линии r = f (ϕ) соответствует кривая АВ.

Разделим область на части лучами ϕ0 (ϕ0 =α) , ϕ1 ,…, ϕi (луч OCi ),

малая величина. Выберем значение угла ϕ =γi , где ϕi ≤γi ≤ϕi+1 (луч ODi ). Заменим криволинейный сектор Ci+1OCi круговым сектором радиуса ODi , где ODi = f (γ i) . При малом значении ϕi =ϕi+1 −ϕi есть все основания полагать, что их площади отличаются незначительно. Соответствующая

63

Полученная сумма является интегральной суммой для функции y = 12 f 2 (ϕ) на отрезке α ≤ϕ ≤ β . Переходя к пределу, при стремлении максимального значения ϕi к нулю, получаем

S = β∫1 f 2 (ϕ)dϕ.

α 2

Замечание.

Пусть область ограничена линиями, уравнения которых в полярной системе координат ( r,ϕ ) имеют вид:

1)два луча ϕ =α, ϕ = β (α < β) ;

2)линии r = f2 (ϕ), r = f1 (ϕ) , где f1(ϕ) ≤ f2 (ϕ) при α ≤ϕ ≤ β .

Тогда ее площадь вычисляется по формуле S = β∫1[f22 (ϕ) − f12 (ϕ)]dϕ

α 2

Задача 69. Найти площадь фигуры, ограниченной линией: r =sin 4ϕ.

Данная фигура схематично изображена на рисунке (Фиг. 9).

Фиг. 9.

Данный «цветок» состоит из четырех совершенно одинаковых «лепестков». (Напомним, что по смыслу полярной системы координат значение r ≥ 0 , поэтому для тех значений угла ϕ , при которых sin 4ϕ < 0 , точек на линии не существует). Поэтому достаточно найти площадь одного лепестка и умножить ее на четыре. «Первый лепесток» ограничен лучами

64

Задача 70. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: r = 2sinϕ, r =1 (r ≥1).

Данная фигура схематично изображена на рисунке (Фиг. 10).

Фиг. 10.

Она ограничена кривыми BNA и BMA . Найдем точки пересечения кривых r = 2sinϕ, r =1. Получаем 2sinϕ =1. На отрезке [0;2π] уравнение имеет два

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть имеется некоторое тело в пространстве. Обозначим Q(z) -

площади его сечений плоскостями, перпендикулярными оси Z. Требуется определить объем тела.

Будем предполагать, что плоскости пересекают данное тело при значениях z, лежащих на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок [a;b] на n частей

Полученная сумма является интегральной суммой для функции Q(z) на отрезке [a;b]. Окончательная формула для объема имеет вид

b

V = ∫Q(z)dz

a

Замечание. В частности, если тело получено вращением относительно оси X криволинейной трапеции, ограниченной линиями: x = a, x =b ,

πab . Следовательно площадь сечения эллипсоида Q(z) выражается формулой

Замечание. Если кривая задана уравнением в полярной системе координат r = f (ϕ) , где α ≤ϕ ≤ β , то, поскольку x = r cosϕ, y = r sinϕ , ее

x = f (ϕ)cosϕ

можно рассматривать как заданную параметрически ,

y = f (ϕ)sinϕ

где роль параметра играет угол φ (α ≤ϕ ≤ β ). Тогда длина кривой вычисляется по формуле

Задача 76. Найти длину кривой, заданной уравнением r = 4sinϕ, где

0 ≤ϕ ≤π .

Решение.

70

b

Окончательно получаем F = ∫ρ g z l(z)dz .

a

Задача 78. Найти силу давления жидкости плотности ρ на

вертикально погруженную в нее пластину, имеющую форму трапеции с верхним основанием а, нижним основанием b, высотой h, если верхнее основание находится на поверхности воды.

Поскольку пластина имеет форму трапеции, то ее ширина l(z) является линейной функцией z вида l(z) = kz + c . Так как l(0) = a , l(h) =b , то

l(z) = b −h a z + a .

Следовательно

Вычисление работы переменной силы

Пусть переменная сила F(x) перемещает точку по прямой из положения x=a в положение x=b. Требуется определить работу, совершенную данной силой. Разобьем весь путь из положения x=a в положение x=b на n частей

F(xi ) . Тогда значение Ai ≈ F (xi ) xi . Тогда полная работа A приближенно

n−1

равна - A ≈ ∑F (xi ) xi .

i=0

Полученная сумма является интегральной суммой для функции F(x) на отрезке [a;b]. Следовательно, выражение для работы может быть записано в

b

виде A = ∫F (x)dx .

a

Задача 79. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы вытащить из жидкости плотности ρ конус радиуса R, высоты H, плотности ρ1 , если в

начальный момент вершина конуса находится на поверхности, а плоскость основания параллельна поверхности жидкости.

Решение. Ось Z направим перпендикулярно поверхности жидкости, а ее начало поместим на ее поверхности (Фиг. 13).