Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет приборостроения и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metod_noi

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

			π																		π										π			π
		9	∫2 (1 − cos2t − cos2 2t + cos3 2t)dt =															9			π			9							π		9	∫2
= =		9																9	t		2	−		9		sin 2t					2 −		9		(1 + cos4t) +
= =																			t			−				sin 2t					2 −				(1 + cos4t) +
		4	0														4				0	8									0		8	0
		4	0														4				0	8									0		8	0
		π													π										π				π
	9	∫2								9π			9		π		9								π			9		∫2
+	9		(1 −sin2 2t)cos2tdt =							9π	−		9	t	2	−	9			sin 4t					2		+	9				(1 −sin2 2t)d (sin 2t) =
+			(1 −sin2 2t)cos2tdt =								−			t	2	−				sin 4t					2		+					(1 −sin2 2t)d (sin 2t) =
	4	0								8	8				0		32								0			8		0
	4	0								8	8				0		32								0			8		0
													π
	9π			9π		9			sin3 2t			2				9π
=			−		+			−						=			.
=	8		−	16	+	8	sin 2t	−		3				=		16	.
	8			16		8				3		0				16
												0											x2					y2
			Задача 68. Найти площадь эллипса																				x2				+	y2				=1.
			Задача 68. Найти площадь эллипса																				a2				+	b2				=1.
Эллипс с полуосями a,										b (Фиг. 7)													a2					b2
Эллипс с полуосями a,										b (Фиг. 7)							- фигура, симметричная относительно

всех координатных осей, поэтому достаточно найти площадь в первой координатной четверти.

Фиг. 7

Впервой четверти зададим эллипс параметрически x = a cost

y =bsin t

Тогда значению x = 0соответствует t =					π	, значению x = a соответствует
t = 0.					2
t = 0.						π
						π
			a	0
Следовательно S = 4∫ydx = −4∫bsin t asin tdt =2ab ∫2							(1 − cos2t)dt =
			0	π		0
		π		2
	sin 2t	π
	sin 2t	2
= 2ab t −			=πab .
= 2ab t −			=πab .
	2	0
	2	0

Рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейного сектора.

Фиг. 8 Криволинейным сектором (фиг. 8) называется область, ограниченная

линиями, уравнения которых в полярной системе координат ( r,ϕ ) имеют вид:

1)два луча ϕ =α, ϕ = β (α < β) ; 2)линия r = f (ϕ) .

На фигуре 8 (предполагается, что ось X совпадает с полярной осью) лучу ϕ =α соответствует ОА (угол AOX равен α), лучу ϕ = β соответствует ОВ (угол ВOX равен β), линии r = f (ϕ) соответствует кривая АВ.

Разделим область на части лучами ϕ0 (ϕ0 =α) , ϕ1 ,…, ϕi (луч OCi ),

ϕi+1 (луч OCi+1 ),…, ϕn (ϕn = β) . Обозначим	ϕi =ϕi+1 −ϕi . Площадь
криволинейного сектора Ci+1OCi обозначим	Si .
Тогда полная площадь S криволинейного сектора ВОА может быть
n−1
представлена в виде S = ∑ Si .
i=0
Оценим значение Si , предполагая, что	ϕi =ϕi+1 −ϕi - достаточно

малая величина. Выберем значение угла ϕ =γi , где ϕi ≤γi ≤ϕi+1 (луч ODi ). Заменим криволинейный сектор Ci+1OCi круговым сектором радиуса ODi , где ODi = f (γ i) . При малом значении ϕi =ϕi+1 −ϕi есть все основания полагать, что их площади отличаются незначительно. Соответствующая

площадь кругового сектора радиуса OD равна				1	f 2 (γ	i	)	ϕ	i	. Тогда имеем
площадь кругового сектора радиуса OD равна					f 2 (γ		)	ϕ		. Тогда имеем
			i	2
n−1	n−1	1 f 2		2
n−1	n−1
S = ∑	Si ≈ ∑		(γi ) ϕ i .
i=0	i=0	2

Полученная сумма является интегральной суммой для функции y = 12 f 2 (ϕ) на отрезке α ≤ϕ ≤ β . Переходя к пределу, при стремлении максимального значения ϕi к нулю, получаем

S = β∫1 f 2 (ϕ)dϕ.

α 2

Замечание.

Пусть область ограничена линиями, уравнения которых в полярной системе координат ( r,ϕ ) имеют вид:

1)два луча ϕ =α, ϕ = β (α < β) ;

2)линии r = f2 (ϕ), r = f1 (ϕ) , где f1(ϕ) ≤ f2 (ϕ) при α ≤ϕ ≤ β .

Тогда ее площадь вычисляется по формуле S = β∫1[f22 (ϕ) − f12 (ϕ)]dϕ

α 2

Задача 69. Найти площадь фигуры, ограниченной линией: r =sin 4ϕ.

Данная фигура схематично изображена на рисунке (Фиг. 9).

Фиг. 9.

Данный «цветок» состоит из четырех совершенно одинаковых «лепестков». (Напомним, что по смыслу полярной системы координат значение r ≥ 0 , поэтому для тех значений угла ϕ , при которых sin 4ϕ < 0 , точек на линии не существует). Поэтому достаточно найти площадь одного лепестка и умножить ее на четыре. «Первый лепесток» ограничен лучами

ϕ = 0 , ϕ =			π		и кривой r =sin 4ϕ. . Следовательно
π			4		π
π	1				π			sin8ϕ	π		π
4	1			2	4			sin8ϕ	4		π
S = 4∫		sin			4ϕdϕ = ∫(1	− cos8ϕ)dϕ =	ϕ −			=		.
S = 4∫		sin			4ϕdϕ = ∫(1	− cos8ϕ)dϕ =	ϕ −			=		.
0	2				0			8	0		4
0	2				0			8	0		4

Задача 70. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: r = 2sinϕ, r =1 (r ≥1).

Данная фигура схематично изображена на рисунке (Фиг. 10).

Фиг. 10.

Она ограничена кривыми BNA и BMA . Найдем точки пересечения кривых r = 2sinϕ, r =1. Получаем 2sinϕ =1. На отрезке [0;2π] уравнение имеет два

корня ϕ 1				= π		, ϕ		2 =			5π	. Следовательно, в полярной системе координат луч
корня ϕ 1				= π		, ϕ		2 =		6		. Следовательно, в полярной системе координат луч
				6						6										5π
ОА имеет уравнение ϕ = π , луч ОВ -																		ϕ =		5π	, кривая BNA - r = 2sinϕ,
ОА имеет уравнение ϕ = π , луч ОВ -																		ϕ =		6	, кривая BNA - r = 2sinϕ,
кривая BMA - r =1.												6								6
кривая BMA - r =1.
							5π			[4sin2 ϕ −1]dϕ =							5π							5π
		Тогда S = ∫6							1								∫6	1 [1 − 2cos2ϕ]dϕ = 1
		Тогда S = ∫6							1								∫6	1 [1 − 2cos2ϕ]dϕ = 1				[ϕ −sin 2ϕ]	6		=
								π	2								π	2			2		π
								6								6							6
								6								6
=	1	5π	−sin		5π				1		π	−sin	π		π			3	.
								−						=		+
	2	6						−	2				3	=	3	+		2
	2	6				3			2		6		3		3			2

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть имеется некоторое тело в пространстве. Обозначим Q(z) -

площади его сечений плоскостями, перпендикулярными оси Z. Требуется определить объем тела.

Будем предполагать, что плоскости пересекают данное тело при значениях z, лежащих на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок [a;b] на n частей

	65
точками z0	( z0 =a), z1, …, zi , zi+1,…, zn	( zn =b). Обозначим: zi = zi+1 − zi ,
Vi - объем слоя толщины zi , заключенного между сечениями z= zi и
z= zi+1. Если	zi достаточно мало, то приближенно этот объем можно
оценить как объем цилиндра высоты zi		и площади основания Q(ci ) , где

zi ≤ ci	≤ zi+1 , то есть Vi ≈Q(ci ) zi .
Тогда полный объем V приближенно равен
n−1	n−1
V ≈ ∑	Vi =∑Q(ci ) zi .
i=0	i=0

Полученная сумма является интегральной суммой для функции Q(z) на отрезке [a;b]. Окончательная формула для объема имеет вид

V = ∫Q(z)dz

Замечание. В частности, если тело получено вращением относительно оси X криволинейной трапеции, ограниченной линиями: x = a, x =b ,

y = f1(x),

y = f2 (x) , где 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) при a ≤ x ≤b , то площадь сечения

равна Q(x)=π[f2

2 (x) − f12 (x)]

и объем соответственно равен

V =π∫b [f22 (x) − f12 (x)].

Задача 71. Найти объем эллипсоида

=1.

Рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями,

перпендикулярными оси Z. Преобразуем уравнение эллипсоида

1 −

=1.

a 1

−

1 −

Следовательно, сечением эллипсоида является эллипс с полуосями a 1−

b 1 −

. Как было показано ранее, площадь эллипса с полуосями a,b равна

πab . Следовательно площадь сечения эллипсоида Q(z) выражается формулой

		z2
	−			, где − c ≤ z ≤ c .
			2
Q(z) =πab 1		c

−

πabc .

Тогда V = ∫πab 1

dz =πab z −

−c

Задача 72. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями.

y = cos1 x ; y = 0; x = 0; x = π4 .

π
4	1		π
Решение. V =π ∫0		dx =πtgx	04

	cos2 x
	cos2 x

=π .

Вычисление длин кривых.

Предположим, что в пространстве (X,Y,Z) параметрически задана

x =ϕ(t)

кривая y =ψ(t) . Требуется определить длину дуги данной кривой, если

z = χ(t)

значения параметра t при этом изменяются на отрезке [a;b] (дуга АВ на фиг. 11).

Фиг. 11.

Относительно функций ϕ(t),ψ(t), χ(t) будем предполагать, что они являются непрерывными и имеют непрерывные производные на отрезке [a;b].

Разобьем отрезок [a;b]		на n частей точками t0			(t0 =a), t1 , …, ti , ti+1 ,…, tn
(tn =b). Обозначим:	ti	=ti+1 −ti ,	si - длина дуги M i M i+1 , где координаты
точек соответственно равны M i (ϕ(ti );ψ(ti ); χ(ti )),
M i+1(ϕ(ti+1);ψ(ti+1); χ(ti+1)). Если			ti достаточно мало, то приближенно si -
длину дуги M i M i+1	можно заменить величиной				li - длиной секущей
M i M i+1 .		→
				zi }, где
Рассмотрим вектор	M i M i+1 ={ xi ;		yi ;
xi =ϕ(ti+1) −ϕ(ti ) ,	yi =ψ(ti+1) −ψ(ti ) ,			zi = χ(ti+1) − χ(ti ) .
				→

Значение li равно модулю вектора M i M i+1 , то есть

, где a ≤t ≤b , то ее длина вычисляется по аналогичной формуле

= x

2 + y

+ z 2 .

Согласно теореме Лагранжа

xi =ϕ(ti+1) −ϕ(ti ) =ϕ′(τ1i ) ti ,

yi =ψ(ti+1 ) −ψ(ti ) =ψ′(τ2i ) ti ,

= χ(ti+1) − χ(ti ) = χ′(τ3i ) ti , где точки τ1i ,τ2i ,τ3i лежат на отрезке [ti , ti+1 ].

Тогда L - длина дуги АВ приближенно равна

n−1

[

]

[

2i ]

[

]

∑ i

′

L ≈

l ≈ ϕ

)

+ ψ

)

t .

(τ

(τ )

χ (τ

i=0

Полученная сумма не является интегральной суммой, поскольку точки

τ1i ,τ2i ,τ3i

не обязаны совпадать. Однако, поскольку τ1i ,τ2i ,τ3i лежат на

отрезке длиной ti , то можно показать, что ее предел при стремлении к

нулю максимального значения

равен пределу интегральной суммы для

функции

′

+[ψ

′

на отрезке [a;b] .

[ϕ (t)]

(t)]

[χ (t)]

Следовательно

L = ∫b

[ϕ′(t)]2 +[ψ′(t)]2 +[χ′(t)]2 dt .

С точки зрения математики вопрос о длине кривой, это не совсем простой вопрос. Фактически мы определяем длину кривой, как предел длин секущих и показываем, что этот предел равен полученному определенному интегралу.

Замечание 1. Если кривая задана параметрически на плоскости

x =ϕ(t)

y =ψ(t)

L = ∫b	[ϕ′(t)]2 +[ψ′(t)]2 dt .
a

Замечание 2. Если кривая на плоскости задана уравнением y = f (x) ,

где a ≤ x ≤b , то можно считать, что роль параметра t играет независимая переменная x . Тогда длина кривой вычисляется по формуле

b	′	2
L = ∫
	1 +[f (x)] dx .

Задача 73. Найти длину кривой, заданной уравнением: y = 12 (ex + e−x ), 0 ≤ x ≤1.

			1			′	2	1		ex	− e−x			2	1	e2x + 2 + e−2x		dx =
Решение. L = ∫					1 +[f (x)]			dx = ∫		1 +	2			dx = ∫			4
			0					0							0
1	ex + e−x			2	1 ex + e−x					ex − e−x		1	e − e−1			e2 −1

= ∫				dx = ∫					dx =			=			=		.
		2					2			2				2		2e
0					0							0

Задача 74. Найти длину кривой, заданной уравнениями:

x = 2sin

0 ≤ t ≤

y = 2cos

dy 2

[6sin

+ [− 6cos

dt =

Решение. L = ∫

dt = ∫

t cost]

t sin t]

= ∫2

6sint costdt =3∫2 sin 2tdt = −

3 cos2t

3 cosπ

3 cos0 =3 .

= −

Задача 75. Найти длину кривой, заданной уравнениями:

x = 2cost

0 ≤t ≤ 2π.

y = 2sin t

z =3t

2π

dx 2

2π

Решение. L = ∫

dt =

∫

[− 2sin t] +[2cost]

+[3] dt =

2π

2π = 2π 13 .

= ∫ 13dt = 13t

Замечание. Если кривая задана уравнением в полярной системе координат r = f (ϕ) , где α ≤ϕ ≤ β , то, поскольку x = r cosϕ, y = r sinϕ , ее

x = f (ϕ)cosϕ

можно рассматривать как заданную параметрически ,

y = f (ϕ)sinϕ

где роль параметра играет угол φ (α ≤ϕ ≤ β ). Тогда длина кривой вычисляется по формуле

β	dx 2	dy	2	β	2	′	2
L = ∫		+		dϕ = ∫	[f (ϕ)]	+[f (ϕ)] dϕ .

α	dϕ	dϕ		α

Задача 76. Найти длину кривой, заданной уравнением r = 4sinϕ, где

0 ≤ϕ ≤π .

Решение.

π	dx 2	dy 2	π	2	2	π
L = ∫		+	dϕ = ∫	[4sinϕ]	+[4cosϕ]	dϕ = ∫4dϕ = 4π

0	dϕ	dϕ	0			0

5. Механические приложения определенного интеграла

Вычисление силы давления жидкости на вертикально погруженную в нее пластину

Пусть имеется пластина, вертикально погруженная в жидкость (Фиг. 12). Будем предполагать, что ось Z перпендикулярна свободной поверхности жидкости, а ее начало совпадает со свободной поверхностью. Верхний край пластины находится на глубине z = a , нижний на глубине

z =b . Пусть ширина пластины l в направлении, перпендикулярном оси Z, - переменная, являющаяся известной функцией l =l(z) . Плотность жидкости

обозначим ρ . Требуется определить силу давления жидкости на пластину. (Напомним из курса физики, что давление p на глубине z равно p = ρ g z ,

где g =9,81 м/ сек2 - ускорение свободного падения.)

Фиг. 12

Разделим пластину на n частей прямыми, параллельными свободной поверхности: z = z0 (z0 = a) , z = z1 , …, z = zi , z = zi+1 ,…., z = zn (zn =b) .

Обозначим zi = zi+1 − zi .

Оценим Fi - значение силы, действующей на часть пластины, лежащую между прямыми z = zi и z = zi+1 .

Если zi = zi+1 − zi достаточно мало, то давление pi на таком узком слое можно приближенно считать постоянным и принять равным pi ≈ ρgzi .

Сам слой можно приближенно считать прямоугольным,		а его площадь Si
принять равной	Si ≈l(zi ) zi . Тогда значение силы Fi	можно выразить
соотношением	Fi ≈ pi Si ≈ ρgzil(zi ) zi .

Следовательно, суммарная сила F, действующая на пластину

n−1

приближенно равна F ≈ ∑ρgzil(zi ) zi . Полученная сумма является

i=0

интегральной суммой для функции ρ g z l(z) на отрезке a ≤ z ≤b .

Окончательно получаем F = ∫ρ g z l(z)dz .

Задача 78. Найти силу давления жидкости плотности ρ на

вертикально погруженную в нее пластину, имеющую форму трапеции с верхним основанием а, нижним основанием b, высотой h, если верхнее основание находится на поверхности воды.

Поскольку пластина имеет форму трапеции, то ее ширина l(z) является линейной функцией z вида l(z) = kz + c . Так как l(0) = a , l(h) =b , то

l(z) = b −h a z + a .

Следовательно

b − a

(2b + a)h2

F = ∫ρgz

z + a dz = ρg

+ a

= ρg

Вычисление работы переменной силы

Пусть переменная сила F(x) перемещает точку по прямой из положения x=a в положение x=b. Требуется определить работу, совершенную данной силой. Разобьем весь путь из положения x=a в положение x=b на n частей

точками x0	(x0 = a) , x1 , …, xi , xi+1 ,…., xn (zn =b) . Обозначим
xi = xi+1 − xi .
Работу по перемещению из положения xi в xi+1 обозначим Ai . Если
xi = xi+1 − xi	достаточно малая величина, то силу при перемещении из
положения xi	в xi+1 можно приближенно считать постоянной и равной

F(xi ) . Тогда значение Ai ≈ F (xi ) xi . Тогда полная работа A приближенно

n−1

равна - A ≈ ∑F (xi ) xi .

i=0

Полученная сумма является интегральной суммой для функции F(x) на отрезке [a;b]. Следовательно, выражение для работы может быть записано в

виде A = ∫F (x)dx .

Задача 79. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы вытащить из жидкости плотности ρ конус радиуса R, высоты H, плотности ρ1 , если в

начальный момент вершина конуса находится на поверхности, а плоскость основания параллельна поверхности жидкости.

Решение. Ось Z направим перпендикулярно поверхности жидкости, а ее начало поместим на ее поверхности (Фиг. 13).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.11.20183 Мб18MetFiz1.doc
#
06.11.20181 Мб31MetHist1.doc
#
06.11.20181 Мб31MetHist2.doc
#
15.03.2016757 Кб23metod_fmp.pdf
#
15.03.20162 Мб9metod_kki.pdf
#
15.03.20162 Мб12metod_noi.pdf
#
09.04.2015432 Кб39Metod_rek_k_prakt_bakal.docx
#
01.05.2025356 Кб1Metod_rekomendatsii_DR_2011_1_UP.doc
#
23.08.201965 Кб5Metod_ukaz_kontr_rab_5416_s_sayta_1.doc
#
10.11.20195 Мб11Metod_ukaz_po_dom_rab_EP_(red).doc
#
23.11.20191 Мб37metod3_lab.doc