Амплитудно-частотная характеристика
(АЧХ)
h=0
η |
h=0,1 |
|
|
h=0,2 |
1 |
h=0,3 |
|
|
- резонанс |
|
|
1 |
z=p/k |
|
||
- коэффициент динамичности |
|
|
z p / k |
- соотношение частот |
|
h b / k |
- характеризует сопротивление среды |
|
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ)
β 
π |
x B sin( pt ) |
|
|
|
|
|
h=0,1 |
|
π/2 |
h=0,2 |
|
|
|
|
|
h=0,3 |
|
0 |
1 - резонанс |
z=p/k |
- сдвиг фазы (между колебаниями и возмущающей
силой)
Свойства вынужденных колебаний
1.Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от
начальных условий задачи.
2.Вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают.
3.Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы.
4.Даже при малой возмущающей силе можно получить интенсивные вынужденные колебания, если сопротивление мало, а частота p близка к k.
5.Даже при большой возмущающей силе можно сделать вынужденные колебания сколь угодно малыми, если частота p>>k.
Сложная колебательная система
- имеет набор собственных частот
k1, k2 ,..., kn
- имеет набор возмущающих сил с частотами
p1, p2 ,..., pm
- содержит много резонансов |
|
|
pi k j |
i 1,..., m, |
j 1,..., n, |
Применение резонансов на практике
Резонанс “полезен” – “настройка” колебательной системы на резонанс.
Резонанс “вреден” – “отстройка” колебательной системы от резонанса.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Задача 1. Замена нескольких пружин эквивалентной
a) Последовательное соединение пружин
c1 |
Статическое удлинение пружин 1 и 2 |
||
|
s s1 |
s2 |
|
c2 |
s mg |
/ c1 mg / c2 |
|
Статическое удлинение эквивалентной |
|||
|
|||
m |
пружины |
s mg / cэкв |
|
|
|||
В результате получим
1/ cэкв 1/ c1 1/ c2 |
c |
экв |
c c |
2 |
/(c |
c |
2 |
) |
|
|
1 |
1 |
|
|
Задача 1(продолжение).
б) Параллельное соединение пружин
c1 |
|
c |
Определяющие соотношения |
||||||
|
|
P P mg, |
Pl P l |
|
|||||
|
|
2 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
m |
|
|
P1 sc1, |
P2 sc2 |
|
|||
|
l2 |
|
c1 P1 / s , |
c2 P2 / s |
|||||
l1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P1 |
mg |
P2 |
сэкв |
mg / s (P1 |
P2 ) / s |
||||
|
|
|
сэкв |
P1 |
/ s P2 / s |
c1 |
c2 |
||
В результате получим |
сэкв c1 |
c2 |
|
|
|||||
Задача 2.
Груз массой 3кг совершает затухающие колебания с периодом T1=0,3c и декрементом затухания λ=0,5. Определить коэффициент жесткости пружины с и коэффициент μ вязкого сопротивления. Во сколько нужно уменьшить массу груза, чтобы движение груза стало апериодическим?
Решение
|
|
|
|
|
e bT1 , |
|
|
|
|
T 2 / |
|
k 2 b2 , |
k |
|
|
|
|||
|
c m |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим числовые значения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||
0.3 2 / |
k 2 b2 , 0.5 e bT1 , |
k |
|
||||||
c / 3 |
|||||||||
Решаем эти уравнения относительно b, k, c
b 2,31 |
k 21,1 |
c 0,136 |
Задача 2 (продолжение)
Следовательно
c 0,136(Н / м) 2mb 13,86(Н с / м)
Пусть m1 новая масса, тогда a m / m1
b1 / 2m1 a / 2m, k1 
c / m1 k 
a
Наименьшая масса при которой движение будет апериодическим, находится из условия
b1 k1
Откуда находим
a m
m1 (k2m / )2 83
Уточнение рекомендаций к решению задач для случая колебательного движения точки
1. Выбрать систему координат.
Ось x направлять в сторону удлинения пружины, начало – в положении равновесия груза
2. Изобразить все силы.
Силы: упругости пружины, сила тяжести, сила сопротивления среды, вынуждающая сила
3. Написать второй закон Ньютона, получить ДУ. Получить ДУ в “стандартном” виде, правильно
4. |
выразив l |
через x. |
; x(0) v0 |
Написать НУ. |
x(0) x0 |
||
|
|
|
|
Не ошибиться при нахождении |
xo |
||
5. |
Решить ДУ с использованием НУ. |
||
Взять готовое решение “стандартного” ДУ
Заключение Свободные незатухающие колебания:
1.Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий задачи
2.Частота и период колебаний не зависят от начальных условий задачи и полностью определяются параметрами самой колебательной системы
3.Постоянная сила, не изменяя характер колебаний, смещает центр колебаний в сторону ее действия на величину статической деформации
Свободные затухающие колебания:
Основное влияние сопротивления среды на свободные колебания сказывается в уменьшении амплитуды колебаний по времени, т.е. в их затухании.