ДУ свободных колебаний
Силу упругости пружины F еще называют восстанавливающей силой - всегда направлена в сторону восстановления
пружины
- ее модуль равен: F c l
Составим ДУ движения точки в проекции на ось х
|
|
|
mx c l cx |
mx |
F |
|
|
|
|
|
mx cx 0 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
x |
k |
x 0 |
(3) |
|||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 |
k – частота колебаний точки, [рад/c] |
||||||||
m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение уравнения свободных колебаний Решение уравнения (3) в форме
x C1 sin kt C2 cos kt (5)
C1,C2 - постоянные интегрирования
Можно получить другую форму решения:
x Asin(kt ) (7)
Связь между константами C1 Acos C2 Asin
A,
A
-постоянные интегрирования
-начальная фаза [радиан]
-амплитуда колебаний точки [м]
Колебания, совершаемые точкой по формуле (7) называются гармоническими колебаниями.
График свободных колебаний |
|
|
|
|
||
x |
T |
|
|
2 |
x 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
x k |
|
||
A |
|
|
|
|
c |
|
Asin |
|
t |
|
|
||
|
|
k m |
||||
|
|
|
||||
–A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение |
||||
A – амплитуда колебаний, [м] |
x Asin(kt ) |
|||||
(t) kt |
- фаза колебаний |
|||||
|
|
|
|
|||
(0) |
- начальная фаза |
|
T 2 |
/ k |
||
k – круговая частота колебаний |
|
|||||
- период колебаний, [c] |
||||||
|
|
|||||
Постоянные интегрирования A, Подставим начальные условия
t 0 : x(0) x0 |
, v(0) x(0) v0 |
|
|
|
|
в общее решение |
x Asin(kt ) |
|
Получим |
||
x0 Asin , |
|
v0 x(0) Ak cos |
|
|
|
Найдем постоянные интегрирования A,
tg sin / cos (x0/A) /(v0 / Ak) kx0/v0 sin2 cos2 1
(x0/A)2 (v0 / Ak)2 1, A 
x02 v02 / k 2
Свойства свободных колебаний
1. Амплитуда и начальная фаза колебаний
зависят от начальных условий задачи
A x02 v02 / k 2 , |
tg kx0 /v0 |
(8) |
2. Частота и период колебаний не зависят от
начальных условий задачи и полностью определяются
параметрами самой колебательной системы
k |
c / m |
T 2 / k |
(9) |
Если в задаче требуется определить амплитуду и период колебаний, то можно воспользоваться (8-9), не решая ДУ.
Свободные колебания при наличии постоянной силы P
c |
|
l |
|
|
0 |
O |
|
l |
O1 |
|
s |
|
|
λ |
m |
F |
l |
x |
P
x
O1 - начало отсчета x, в поло-
жении равновесия груза
P mg - сила тяжести
s ls ls lo |
|
статическая деформация пружины
Рассматриваем прямолинейное движение точки массой m под действием восстанавливающей силы F.
Силу тяжести учитываем.
Условие равновесия mg c s 0 s mg / c
Восстанавливающая сила
Fx c(x s )
mx c(x s ) mg
Уравнение свободных колебаний (P=const) |
|
mx c(x s ) mg |
(10) |
|
|
С учетом условия равновесия mg c s
mx cx
Получим ДУ свободных колебаний при наличии постоянной силы, аналогичное (3)
x |
k |
2 |
x 0 |
|
|
|
|
|
(11) |
|
|
|
|
|
Общее решение |
x C1 sin kt C2 |
cos kt |
||
|
|
x Asin(kt ) |
||
Постоянная сила, не изменяя характер колебаний, смещает центр колебаний в сторону ее действия на величину статической деформации s
Свободные затухающие колебания
c |
0 |
|
l |
l
O1 |
λ |
|
s |
R |
|
F |
x |
m |
|
P
x
Силы: F, P, R
Сила сопротивления
R v
Второй закон Ньютона
mx cx x
ДУ свободных затухающих колебаний
|
|
|
2 |
x 0 |
x |
2bx k |
|
||
b / 2m |
k 2 c / m |
|||
O1 - начало отсчета в положении равновесия груза
ДУ свободных затухающих колебаний
|
|
2 |
x 0 |
(12) |
x |
2bx k |
|
|
|
b / 2m k 2 c / m |
b k |
|||
1. Случай малого сопротивления среды |
||||
Общее решение уравнения
x e bt (C |
sin k |
t C |
2 |
cos k |
t) |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
x Ae bt sin(k1t ) |
|
|
(13) |
||
Выражение для скорости
v x Ae bt ( b sin(k1t ) k1 cos(k1t ))
Постоянные интегрирования
Используем начальные условия
x(0) x0 v(0) v0
x0 Asin
v0 A( bsin k1 cos )
Найдем постоянные интегрирования
A 
x02 (v0 bx0 )2 / k12
tg x0 k1 |
/(v0 bx0 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 k 2 |
b2 |
частота колебаний |
|||
|
|
|
|
|
||
T1 2 / k1 |
2 / |
k 2 b2 |
период колебаний |
|||