Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
yfcnt / Dyn.Lek_2.ppt
Скачиваний:
16
Добавлен:
14.03.2016
Размер:
2.62 Mб
Скачать

График свободных затухающих колебаний

T1

x 1

x Ae bt

x3

2

 

x

 

t2

t

t1

t3

x Ae bt

A1 Ae bt

- экспоненциальный закон убывания амплитуды колебаний по времени

Декремент затухания

Выясним, как меняется амплитуда колебаний за один период xn Ae btn sin(k1tn )

xn 1 Ae btn 1 sin(k1tn 1 )

с учетом

tn 1 tn

T1

 

 

получим

xn 1 / xn

e

bT1

(14)

 

Размах колебаний убывает по геометрической прогрессии

e bT1 - декремент затухания

bT1 - логарифмический декремент затухания

Декремент затухания показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за один период.

Свойства свободных затухающих колебаний

b k

 

x Ae bt sin(k1t )

Основное влияние сопротивления среды (в случае b<k) на свободные колебания сказывается в уменьшении амплитуды колебаний по времени, т.е. в их затухании.

Свободные затухающие колебания b k

 

 

 

 

 

2

x 0

 

 

 

x

2bx k

 

 

b k

2. Случай большого сопротивления среды

Общее решение уравнения

 

 

 

 

x C1eq1t

C2eq2t

 

(15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q b b2

k

2 , q

2

 

b

b2 k 2

1

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

q1

0

 

q2

 

 

 

 

- апериодическое движение точки, не является типично колебательным, соответствует достаточно быстрому затуханию по времени

Свободные затухающие колебания

b k

 

 

 

2

x 0

 

x

2bx k

 

 

3. Случай

b k

 

 

Общее решение уравнения

 

 

x e bt (C

 

C

t)

(16)

 

 

1

2

 

 

- движение точки апериодическое, соответствует быстрому затуханию по времени

Графики свободных затухающих колебаний в случае

большого сопротивления среды

b k

а)

б)

в)

x

x

x

 

 

m

 

 

x0

x0

t

x0

t

 

t

 

x0 0, v0 0

x0 0, v0 0

x0 0, v0 0

Вынужденные колебания

(без учета сопротивления среды)

O1 -начало отсчета в положении равновесия груза

01

 

 

 

 

 

Силы: F, P,Q

 

 

 

 

 

Q Q0 sin pt

- вынуждающая сила

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

M

Q0 - амплитуда,

 

 

p - частота

 

 

 

 

P

 

 

Уравнение движения

 

 

 

 

Q

mx cx Q0 sin pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

c

 

 

Q0

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

m x m sin pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДУ вынужденных колебаний (без учета сопротивления)

 

2

x p0

sin pt

(17)

p0

Q0 / m

x k

 

 

ДУ вынужденных колебаний (без учета сопротивления среды)

 

k

2

x p0 sin pt

(17)

x

 

 

Уравнение неоднородное и его решение можно записать

x1

x x1 x2

- общее решение однородного уравнения

x2

x1 Asin(kt )

- частное решение полного уравнения

 

x2 B sin pt

Подставляя это решение в (17), получим

p2 B sin pt k 2 B sin pt p0 sin pt

Решение ДУ вынужденных колебаний

p2 B sin pt k 2 B sin pt p0 sin pt

Это равенство должно выполнятся для любого t

B(k 2 p2 ) p0

B p0 /(k 2 p2 )

Для случая

p k

x2 ( p0 /(k 2 p2 ))sin pt

Общее решение:

x Asin(kt ) ( p0 /(k 2 p2 ))sin pt (18)

Вынужденные колебания (резонанс)

Случай совпадения собственной частота колебаний с

частотой возмущающей силы называется резонансом.

k p

Подставим частное решение полного уравнения

 

x2 Ct cos pt в уравнение

 

 

2

x p0 sin pt

 

Получим

 

x p

 

 

x2

( p0

/ 2 p)t sin( pt / 2)

x2 ( p0 / 2 p)t cos pt или

 

 

 

 

 

 

 

 

- сдвиг по фазе между вынужденными колебаниями и возмущающей силой при резонансе равен / 2

т.е. максимальному значению вынуждающей силы соответствует положение равновесия и, наоборот, когда значение силы равно нулю, отклонение от положения статического равновесия максимальное

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке yfcnt