График свободных затухающих колебаний
T1
x 1
x Ae bt
x3
2 |
|
x |
|
t2 |
t |
t1 |
t3 |
x Ae bt
A1 Ae bt
- экспоненциальный закон убывания амплитуды колебаний по времени
Декремент затухания
Выясним, как меняется амплитуда колебаний за один период xn Ae btn sin(k1tn )
xn 1 Ae btn 1 sin(k1tn 1 )
с учетом |
tn 1 tn |
T1 |
|
|
получим |
xn 1 / xn |
e |
bT1 |
(14) |
|
Размах колебаний убывает по геометрической прогрессии
e bT1 - декремент затухания
bT1 - логарифмический декремент затухания
Декремент затухания показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за один период.
Свойства свободных затухающих колебаний |
b k |
|
x Ae bt sin(k1t )
Основное влияние сопротивления среды (в случае b<k) на свободные колебания сказывается в уменьшении амплитуды колебаний по времени, т.е. в их затухании.
Свободные затухающие колебания b k
|
|
|
|
|
2 |
x 0 |
|
|
|
|
x |
2bx k |
|
|
b k |
||||||
2. Случай большого сопротивления среды |
||||||||||
Общее решение уравнения |
|
|
|
|||||||
|
x C1eq1t |
C2eq2t |
|
(15) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q b b2 |
k |
2 , q |
2 |
|
b |
b2 k 2 |
||||
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
q1 |
0 |
|
q2 |
|
|
|
|
||
- апериодическое движение точки, не является типично колебательным, соответствует достаточно быстрому затуханию по времени
Свободные затухающие колебания |
b k |
|
|
|
2 |
x 0 |
|
|
x |
2bx k |
|
|
|||
3. Случай |
b k |
|
|
|||
Общее решение уравнения |
|
|||||
|
x e bt (C |
|
C |
t) |
(16) |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
- движение точки апериодическое, соответствует быстрому затуханию по времени
Графики свободных затухающих колебаний в случае |
|
большого сопротивления среды |
b k |
а) |
б) |
в) |
x |
x |
x |
|
|
m |
|
|
x0 |
x0 |
t |
x0 |
t |
|
t |
|
x0 0, v0 0 |
x0 0, v0 0 |
x0 0, v0 0 |
Вынужденные колебания
(без учета сопротивления среды)
O1 -начало отсчета в положении равновесия груза
01 |
|
|
|
|
|
Силы: F, P,Q |
||||||
|
|
|
|
|
Q Q0 sin pt |
- вынуждающая сила |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
F |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
M |
Q0 - амплитуда, |
|
|
p - частота |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
||||||||||||
P |
|
|
Уравнение движения |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
Q |
mx cx Q0 sin pt |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
c |
|
|
Q0 |
|
|||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
m x m sin pt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДУ вынужденных колебаний (без учета сопротивления)
|
2 |
x p0 |
sin pt |
(17) |
p0 |
Q0 / m |
x k |
|
|
ДУ вынужденных колебаний (без учета сопротивления среды)
|
k |
2 |
x p0 sin pt |
(17) |
x |
|
|
Уравнение неоднородное и его решение можно записать
x1 |
x x1 x2 |
- общее решение однородного уравнения |
|
x2 |
x1 Asin(kt ) |
- частное решение полного уравнения |
|
|
x2 B sin pt |
Подставляя это решение в (17), получим
p2 B sin pt k 2 B sin pt p0 sin pt
Решение ДУ вынужденных колебаний
p2 B sin pt k 2 B sin pt p0 sin pt
Это равенство должно выполнятся для любого t
B(k 2 p2 ) p0 |
B p0 /(k 2 p2 ) |
Для случая |
p k |
x2 ( p0 /(k 2 p2 ))sin pt
Общее решение:
x Asin(kt ) ( p0 /(k 2 p2 ))sin pt (18)
Вынужденные колебания (резонанс)
Случай совпадения собственной частота колебаний с
частотой возмущающей силы называется резонансом.
k p
Подставим частное решение полного уравнения
|
x2 Ct cos pt в уравнение |
|
|
2 |
x p0 sin pt |
||
|
Получим |
|
x p |
|
|||
|
x2 |
( p0 |
/ 2 p)t sin( pt / 2) |
||||
x2 ( p0 / 2 p)t cos pt или |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- сдвиг по фазе между вынужденными колебаниями и возмущающей силой при резонансе равен / 2
т.е. максимальному значению вынуждающей силы соответствует положение равновесия и, наоборот, когда значение силы равно нулю, отклонение от положения статического равновесия максимальное