График вынужденных колебаний при резонансе |
|
||||
x |
|
|
|
p k |
|
x p0t / 2 p |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
x p0t / 2 p |
|
k |
2 |
x p0 |
sin pt |
x |
|
||||
|
Общее решение |
|
|
|
|
x Asin(kt ) ( p0 / 2 p)t cos pt
При резонансе (без учета сопротивления среды) происходит линейный неограниченный рост амплитуды по времени.
Свойства вынужденных колебаний (без учета сил сопротивления)
-Вынужденные колебания происходят с постоянной амплитудой, которая не зависит от начальных условий.
-Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы. То есть происходит “захват” частоты вынуждающей силой (приложенная сила “вынуждает” систему колебаться со своей частотой).
-Фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы совпадают при k>p и сдвинуты на 90° при k<p.
Вынужденные колебания
O1
01
F
P
x
при наличии сопротивления среды
- начало отсчета в положении равновесия груза
|
Силы: |
F, P, R,Q |
F cx |
R |
R v |
Q Q0 sin pt |
|
Уравнение движения |
|
||
M |
|
||
Q |
mx cx x Q0 sin pt |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
c |
Q0 |
||
|
x |
|
|
x |
|
x m sin pt |
|
m |
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Введем обозначения
2b / m, |
k 2 c / m, p |
0 |
Q / m |
|
|
0 |
ДУ вынужденных колебаний при наличии сопротивления
|
|
|
2 |
x p0 sin pt |
(19) |
x 2bx k |
|
|
|||
x x1 x2 |
- общее решение полного уравнения |
||||
- общее решение однородного уравнения b<k |
|
||||
|
|
x |
|
Ae bt sin(k t ) |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
x2 B sin( pt ) - частное решение полного уравнения
-постоянные
pt - фаза колебаний
Найдем B, , подставим частное решение в (19)
|
|
2 |
sin( pt ) |
x Bp cos( pt ) |
x Bp |
|
Константы интегрирования
|
|
|
|
|
(20) |
|
B( p2 |
k 2 )sin 2bpB cos p0 (cos sin sin cos ) |
|||||
Чтобы (20) выполнялось для любого t, коэффициенты |
||||||
при |
sin и |
cos |
должны быть равны, |
|||
следовательно |
|
|
|
2bp p0 sin |
||
|
B(k 2 p2 ) p0 cos |
|||||
Далее воспользуемся формулами из тригонометрии |
||||||
|
sin2 cos2 1 |
tg sin / cos |
||||
В результате получим |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
B p / (k 2 |
p2 )2 4b2 p2 |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
tg 2bp /(k 2 p2 )
Решение ДУ вынужденных колебаний при наличии сопротивлении среды
Общее решение
x Ae bt sin(k t ) B sin( pt ) (21) |
|
1 |
|
Собственные |
Вынужденные |
колебания |
колебания |
Возмущающая сила все время поддерживает колебательное движение точки, в результате чего она колеблется с постоянной амплитудой B
B p0 / 
(k 2 p2 ) 4b2 p2
Частота, период и амплитуда вынужденных колебаний
Сопротивление среды не изменяет частоту и период
вынужденных колебаний. Точка колеблется с частотой p возмущающей силы.
Q Q0 sin pt |
T 2 / k |
k 2 c / m |
|
|
|
|
|
|
В случае резонанса |
p k |
амплитуда |
Bres p0 / 2bp p0m / p
Увеличение сопротивления среды приводит при резонансе к уменьшению амплитуды колебаний (это свойство часто используется в технике)
График вынужденных колебаний
x Ae bt sin(k1t ) B sin( pt )
а) Собственные колебания при наличии сопротивления
б) Вынуждающая сила B - амплитуда
ty
в) Вынужденные колебания при наличии сопротивления
ty - время установления
Коэффициент динамичности
Bst |
|
p0 |
Q0 |
- статическое перемещение точки |
|
k 2 |
|||||
|
|
c |
под действием постоянной силы Q0 |
B / Bst
коэффициент динамичности показывает,
во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний B
под действием возмущающей силы больше статического перемещения при действии постоянной силы Q0
Подставим новые обозначения z p / k |
h b / k |
в выражение для амплитуды и начальной фазы
B p0 / |
(k 2 p2 ) 4b2 p2 |
tg 2bp /(k 2 p2 ) |
Коэффициент динамичности
Получим коэффициент динамичности
1/ |
(1 z 2 ) 4h2 z 2 |
||
z p / k |
|
- соотношение частот |
|
h b / k |
- характеризует сопротивление среды |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Важные характеристики колебательной системы
Амплитудно - частотная характеристика (АЧХ) Фазо - частотная характеристика (ФЧХ)